“直線與方程”的起始課——直線的傾斜角與斜率（第1課時）教學設計教材分析公認的幾何學的確立于公元300多年前，希臘數學家歐幾里得著作《原本》創造性地用公理法對當時所了解的數學知識作了總結，16世紀后，由于生產和科學技術的發展，天文，力學，航海等方面都對幾何學提出了新的需要，17世紀法國兩位數學家笛卡爾和費馬創造性地借助坐標將幾何與代數結合起來，創立了解析幾何，使數學進入了一個新的發展時期，也就是變量數學時期?！吨本€與方程》選自人教A版普通高中數學實驗教材必修2第三章，拉開了高中階段學習平面解析幾何的帷幕，本章突出“坐標法”的核心地位，強調“數形結合”的思想。第一節，建立平面直角坐標系，用代數方法研究確定直線的幾何要素——點與斜率；第二節，根據確定直線的幾何要素，探求直線方程的幾種形式，建立了直線的代數表示；第三節，通過方程研究兩條直線的交點，并由此判斷兩條直線的位置關系，通過點的坐標和直線的方程，導出兩點間的距離，點到直線的距離，兩條平行直線間的距離等。本章的學習是進一步學習解析幾何有關知識（圓的方程、圓錐曲線方程、坐標系與參數方程）做了必要的鋪墊。直線的傾斜角與斜率是直線與方程的起始課，傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯系新舊知識的紐帶，研究斜率，直線的平行，垂直的解析表示等問題時都要用這個概念；斜率概念，不僅其建立過程很好地體現了解析法，而且它在建立直線方程，通過直線方程研究幾何問題時也起核心作用，根據以上分析，本節課的教學重點確定為教學重點：體會解析幾何研究問題的基本思想和方法；經歷幾何（傾斜角）問題代數（斜率）化的過程，代數表示（斜率）到幾何直觀（直線的傾斜程度）的過程。學情診斷分析（1）學生之前已學習過函數的解析式與平面直角坐標系中的函數圖像，有了從數到形的認識，學生知道借助圖形認識函數的性質，這是坐標法學習的基礎。（2）學生在初中平面幾何的思維模式下，即以公理為基礎用從形的角度觀察、度量幾何元素間的關系，對從代數角度借助坐標、方程來解決幾何問題感到不自然，在“幾何直觀代數表示幾何直觀”的轉化上會有一定的困難。（3）直線方程的學習安排在三角函數之前，由于對正切函數不熟悉，角的正切值只停留在直角三角形中來求，因此，傾斜角的正切值等于斜率，這一概念還不能直接引入。根據以上分析，本節課的教學難點確定為員教學難點：傾斜角概念的形成及直線的斜率與它的傾斜角之間的關系。3．教學標準設置（1）通過觀察圖片、對解析幾何史的講述，了解解析幾何研究問題的基本思想和方法，對本章知識結構有初步了解。（2）理解直線的傾斜角的定義，能準確指出直線的傾斜角.（3）理解斜率的定義及與傾斜角的關系，能通過直線的傾斜角或直線上兩點的坐標求出直線的斜率。4．教學策略分析數學學習不是簡單的“告訴”，而應是學生個性化的“體驗”。本節課采用的是“引導探究式”，即通過提問形式，引導學生積極參與問題的探索，交流，歸納的過程，本節課以問題為載體，以知識為核心，從學生的認知水平出發，進入學生的“最近發展區”。在知識方面，從初中已學過的兩點確定一條直線引出直線的傾斜角，由對傾斜角的分析得出斜率的定義和相關公式；在思想方法方面，借助于坐標系，經歷幾何（傾斜角）問題代數（斜率）化的過程，代數表示（斜率）到幾何直觀（直線的傾斜程度）的過程，滲透數形結合的思想。本節課是本章的起始課，知識引入上難度較大，特采用多媒體輔助教學教學流程：初識全章初識全章新知探究動態生成有效建構二、課堂實錄（一）創設情境，初識全章[出示幻燈片]生活中處處都有美，美的建筑，美的圖案，有立體的，有平面的，無不體現幾何的美，幾何學的確立源自公元300多年前歐幾里得的《原本》，它是從形的角度研究幾何的美，16世紀后，由于生產和科學技術的發展，天文，力學，航海等方面都有對幾何學提出了新的需要，17世紀法國兩位數學家笛卡爾和費馬創造性地借助坐標將幾何（形）與（數）代數結合起來，創立了解析幾何，使數學進入了一個新的發展時期，也就是變量數學時期。解析幾何解決問的思想和方法圖示：圖形圖形點直角坐標系坐標方程幾何代數坐標法數形結合本章知識結構：從幾何直觀到代數表示（建立直線的方程）傾斜角斜率傾斜角斜率直線二元一次方程直線二元一次方程一般式一般式兩點式兩點式從代數表示到幾何直觀（通過方程研究幾何性質和度量）平行和垂平行和垂直的判定相交平行（一個交點）（無交點）距離兩點間的距離點到直線的距離兩條平行線間的距離兩直線的位置關系本章將借助于坐標系從三個方面（即直線的傾斜角與斜率，直線的方程，直線的交點坐標與距離公式）來研究最簡單的幾何圖形——直線[評析]通過對本章整體分析和解析幾發展史的講述，激發學生對知識的探究熱情和興趣（二）問題引導，探究新知1．引入傾斜角問題1：確定平面直角坐標系內直線需要哪些幾何要素？活動1：（得出傾斜角的定義）師：對于平面直角坐標系內的一條直線L,它的位置由哪些條件確定？生：兩點確定一條直線[出示幻燈片]師：觀察圖形，過一點P可以作無數條直線，這些直線的共同點與不同點分別是什么？生：共同點是都過點P，不同點是（可能有三種回答①方向不同②傾斜程度不同③傾斜角不同）師：由圖形可看出，過一點有無數條直線，要確定其中某一條直線還需要給出其傾斜程度定義：（板述）當直線l與x軸相交時：我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l的傾斜角?；顒?：（得出傾斜角的范圍）同桌相互合作在草稿紙上建一個直角坐標系，（取一個點）用鉛筆模擬成一條直線師：（1）每條直線是否有唯一的傾斜角，反之，傾斜角相同的直線是否唯一確定？（2）傾斜角的范圍是多少？生1：當直線l與x軸平行或重合時，我們取00作為直線的傾斜角；傾斜角相同的直線是一組平行線，只知道傾斜角不能確定直線生2：傾斜角的范圍是[00，1800）師：同學們觀察得非常準確，根據同學們的回答我對傾斜角作如下總結：[出示幻燈片]每條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角是幾何直觀（形）的刻畫直線的傾斜程度的；傾斜角的范圍是[00，1800）；確定一條直線有兩種方式，且兩種方式是一致的。（兩個點也可以確定直線的傾斜程度與傾斜角確定直線的傾斜程度是一致的）[評析]由平面幾何知識引出直線的傾斜角，符合學生的認知水平，對傾斜角的自主探索發現尊重了學生學知識的“生成權”。斜率概念的構建問題2：直線的傾斜程度與傾斜角有什么關系？活動1：（得出直線的傾斜程度（斜率）為傾斜角的正切值）師：日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量是什么？生：可能有兩種回答（①坡度②斜率）[出示幻燈片]師：哪個蹺蹺板的坡度（斜率）大？為什么？坡度與什么有關？生：可能有兩種回答（①蹺起越高則坡度越大②高度/前進度大的坡度大③坡度比越大則坡度越大）師：坡度只與蹺起的高度有關嗎？[出示幻燈片]生：與高度/前進度有關即與坡度比有關。師：哪是斜坡的傾斜角？傾斜角與坡度比有什么關系？[出示幻燈片]生：傾斜角的正切值與坡度比相等師：同學們回答的非常好，高度/前進度即坡度比等于傾斜角的正切值，我們稱它為斜率，用小寫字母κ表示即κ=tanα（α是傾斜角）（板述）斜率的定義：把一條直線傾斜角α（α≠900）的正切值叫做這條直線的斜率。即κ=tanα活動2：（得出隨傾斜角的變化，斜率的符號怎樣變化）（幾何畫板演示）老師借助幾何畫板演示或學生親自操作師：我們發現，直線的斜率有時為正數，有時為負數，它的符號和直線的傾斜角具有怎樣的關系呢？生：直線的斜率為正時：00＜α＜900直線的斜率為負時：900＜α＜1800直線的斜率為零時：α=00α=900時斜率不存在。師：當傾斜角α=900時直線沒有傾斜，所以斜率不存在。故κ=tanα（α≠900）（板述）任何直線都有唯一的傾斜角，但傾斜角α=900時斜率不存在。[評析]選擇傾斜角的正切函數作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能，體現的是思維的廣闊性。為了突破教學難點，從日常生活實際出發，借助信息技術工具演示，讓學生感受數學知識的串聯和呼應，同時體現了數形結合的思想。斜率公式的推導問題3：斜率的值與直線上兩點的坐標有什么關系師：有了斜率的定義，我們不僅可以由圖形觀察直線的斜率，還可以計算出直線的斜率。請同學們指出OA,OB,AB的傾斜角（的值）為多少度？并求出其斜率。[出示幻燈片]y4224B（-3，3）A（3，3）xOy4224B（-3，3）A（3，3）xO生：直線OA的傾斜角為450，斜率為1,直線OB的傾斜角為1350，斜率為-1,直線AB的傾斜角為00斜率為0。師：我們知道兩點可以確定一條直線，現在A(3,3),B(-3,3),O(0,0)能否用A，O兩點的坐標計算直線的斜率呢？直線直線呢?與前面求得的是否一致?學生相互之間討論交流后展示生：，，方案二：學生可能出現以下情況生：設C(3,0),Rt△ACO中,設D(-3,0),Rt△BCO中因為直線AB與x軸平行所以傾斜角為00斜率為0。師：以上方法用到點的坐標，答案正確，我們從求直線OA的斜率過程中可以得到，再應用到，中都成立。師：如果直線經過兩點，，求直線的斜率呢?生:活動：（幾何畫板演示證明）一方面計算，另一方面計算，展示無論怎樣變總有=師：在上述演示下，請回答課本第85頁“思考”欄目的幾個問題生：（1）成立，因為分子為0，分母不為0（2）與兩點坐標的順序無關（3）不適合，因為分母為0。師：同學們的分析非常好，根據同學們的分析我來歸納一下公式=是利用直線上兩點的坐標通過代數（數）的辦法計算得到直線的斜率，體現了從幾何直觀（形）到代數表示（數）這一解析幾何解決問題的方式，也與幾何公理“兩點確定一條直線”一致。雖然與兩點坐標的順序無關但兩點坐標的順序要一致。公式中也與傾斜角α=900時斜率不存在一致。[評析]讓學生在互動交流中探討，在對“幾何畫板”的實踐中得到證實，體會知識的探索過程，提高學習的熱情（三）典例分析，動態生成例：[出示幻燈片]師生活動：教師引導并要求學生畫圖師：因為直線經過原點，還需要什么條件就可以畫圖了？生：另外一個點師：請同學們畫出符合要求的直線[評析]通過例題的講解，學生的動手體驗，讓傾斜角與斜率在應用中生成，提高學生對傾斜角與斜率的理性認識，體會數形結合思想。（四）歸納小結，有效建構師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？可以從知識、方法、思想等方面談一談。生：………師:同學們歸納得非常好,我們還可以用框圖的形式加以歸納:[出示幻燈片]知識結構:確定平面直角坐標系內直線的幾何要素確定平面直角坐標系內直線的幾何要素點和傾斜角兩個不同的點=數學思想::直線的傾斜角直線的傾斜角直線的斜率幾何代數代數化數形結合[評析]讓學談收獲是加深對本節知識的理解,形成自覺內化的意示（五）課后檢測，鞏固提升（1）教材第86頁練習1、2、3、4題（2）教材第89頁習題組第4、5題作業說明：作業（1）是基礎題，作用為鞏固斜率的定義式和公式，要求做在課本上；作業（2）是提高題，作用是應用斜率知識來解決問題，要求做在作業本上。[評析]學生獨立思考完成作業的過程是將知識進一步鞏固的過程直線與方程直線與方程斜率公式：——直線的傾斜角與斜率傾斜角：例2：當直線l與x軸相交時：我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l的傾斜角。當直線l與x軸平行或重合時：我們規定它的傾斜角為00。斜率：把一條直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即κ=tanα（α≠900）三、教學反思通過本節課的教學實踐，認識到新課程標準下的課堂教學“效在課堂，功在課外”，要想在課堂上達到滿意的效果，必須在課外進行大量的準備。本節課作為本章乃至整個解析幾何的起始課，在思維方式及解決問題的思想方法上需要老師的引導，在知識內容上需要從解析幾何的發展史、已學過的知識和日常生活問題進行引入。從而達到思想方法的“滲透”，