求導法一、內容歸納求導法之所以成為高中階段一定掌握的基本方法和技術,是基于求導法在函數問題中應用廣泛，好多函數不等式或相關的函數問題都需借助求導法，經過判斷單調性，經過分析單調區間、最值、極值等函數性質加以解決。例1求f(x)x22x3,x[1,1]的最大值與最小值.解：f'(x)2x2令f'(x)0,則x1,而f'(x)0,則x1.函數f(x)在-1,1上遞減.則有f(x)minf(1)2f(x)maxf(1)6評析：利用求導法判斷函數單調性追求最值，方法直接簡潔。例2求f(x)2x4-x3值域.解：由2x40解得x2,即f(x)的定義域為，x30f'(x)112x32x42x42x322x4x3由f'(x)0可知，2x32x4,即x4則f(x)在2.單調遞加.f(x)minf(2)1即f(x)的值域是-1，+.評析：求函數值域是中學教課中的難點，一般可以經過觀察圖像或不等式性質來解，也可以經過函數單調性求最值，此題形式較為復雜，較難作出函數圖像，可采納求導法判斷函數的單調性來解。例3已知m,n是正整數，且1mn,證明：1+mn(1n)m證明：因為1mn且m,n為正整數,2mn構造函數f(x)=ln(1x)(x2)xxln(1x)求導f‘(x)=1xx2由x2可知，0x1,ln(1x)ln31,則f'(x)0.1+x即f(x)=ln(1x)在2，+單調遞減.x因為2mn,則ln(1m)ln(1n)mn則有nln(1m)mln(1n),即證1+mn(1n)m.評析：利用求導法證明不等式，要點是如何依據不等式的構造特色構造輔助函數（函數與方程思想），把不等式的證明轉變成利用導數研究函數的單調性或最值，從而證明不等式。例4乞降Sn12x3x2......nxn1(x0)解：當x1時，Sn123......n(n1)n=2當x1時，xx2x3........xnxxn11x兩邊求導，(xx2x3........xn)'(xxn1)'1x即12x3x2......nxn1=1(n1)xnnxn1(1x)2n(n1),x1則Sn2nn11(n1)xnx,x1(1x)2評析:數列是一種特別的函數，它有通項公式an和前n項和公式Sn，而且an和Sn都是關于n的函數，所以可以把Sn看作是某個函數的導數，此題利用求導法解題有效的避開了錯位相消的繁瑣運算。例5若命題“x0,,不等式exsinxkx”是真命題，則實數k的取值范圍是（）2A.,1B.,e2C.(1,D.e2,e2)解(法1)：令f(x)exsinxkx.Qx0,2,不等式exsinxkx"是真命題且f(0)0f'(x)ex(sinxcosx)k0在x0,恒成立2kex(sinxcosx)在x0,恒成立2令g(x)ex(sinxcosx),g'(x)2excosx0故g(x)在0,上單調遞加.2所以g(x)g(0)1,即k1.應選A.解(法2)：令f(x)exsinx,g(x)kx.Qx0,,不等式exsinxkx"是真命題2f(x)g(x)在x0,恒成立2在x0,時，f(x)的圖像不在g(x)圖像的下方.2作f(x)的圖像：‘x）=xQx0,,f（sinxcosx2esin(x)024令g(x)xx'(x)2excosx0e（sincosx）,g由f(0)0,f'(0)1即g(x)x恰好與f(x)相切.有圖像知：只要k1評析：此題利用數形聯合思想，運用求導法作出較為正確的函數圖像，充分利用圖像的直觀表現，找尋不等式成立的臨界條件，解答簡潔明快。練習題1若函數f(x)x-1sin2xasinx在,單調遞加，則a的取值范圍。3利用導數乞降：利用求導法證明以下不等式（1）已知：x(0)，求證1lnx11；x1xx（2）已知：nN且n2，求證：111lnn111。23n2n1參照答案1.分析：此題觀察恒成立問題，對原函數求導可得f'(x)12cos2xacosx4cos2xacosx5，若原函數在R上單調遞加，則333f'(x)0恒成立，設cosxt,(t[1,1])，y'4t23at50,分別帶入t1和3t1，解得1,1.332.分析:∵，兩邊都是關于x的函數，求導得。令x=1得，即證。3.分析（1）令11t，由x>0，∴t>1，x1xt1原不等式等價于11lntt1t令f(t)=t-1-lnt，∵f(t)11當t(1,)時，有f(t)0，∴函數f(t)在t(1,)遞加t∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令g(t)lnt11t1，則有g(t)t20tg(t)在(1,