2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．2．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知（i為虛數單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．4．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．5．函數（其中，，）的圖象如圖，則此函數表達式為（）A． B．C． D．6．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．7．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結果是（）A． B． C． D．8．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．19．復數（）A． B． C．0 D．10．設函數在定義城內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A． B．C． D．11．已知函數若對區間內的任意實數，都有，則實數的取值范圍是(）A． B． C． D．12．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足：點在直線上，若使、、構成等比數列，則______14．定義在R上的函數滿足：①對任意的，都有；②當時，，則函數的解析式可以是______________.15．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產品不斷涌現，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發展的主要動力.假定現在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環次數達到2000次的概率為85%，充放電循環次數達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.16．的展開式中常數項是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數，其中為自然對數的底數.（1）若函數在區間上是單調函數，試求的取值范圍；（2）若函數在區間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.19．（12分）已知函數.（1）討論函數的極值；（2）記關于的方程的兩根分別為，求證：.20．（12分）2019年6月，國內的運營牌照開始發放.從到，我們國家的移動通信業務用了不到20年的時間，完成了技術上的飛躍，躋身世界先進水平.為了解高校學生對的消費意愿，2019年8月，從某地在校大學生中隨機抽取了1000人進行調查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預計升級到的時段人數早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學生升級時間的早晚與大學生愿意為套餐支付更多的費用作比較，可得出下圖的關系（例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數占所有早期體驗用戶的）.（1）從該地高校大學生中隨機抽取1人，估計該學生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率；（2）從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取1人，以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數，求的分布列和數學期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐，能否認為樣本中早期體驗用戶的人數有變化？說明理由.21．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題．2．D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.3．A【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題．4．C【解析】

利用代入計算即可.【詳解】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.5．B【解析】

由圖象的頂點坐標求出，由周期求出，通過圖象經過點，求出，從而得出函數解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點應對應正弦曲線中的點，所以，解得，故函數表達式為．故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數圖象及性質，三角函數的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數形結合思想，屬于基礎題.6．D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．7．B【解析】

列舉出循環的每一步，可得出輸出結果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎題.8．A【解析】

利用復數的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數模的運算，屬于基礎題.9．C【解析】略10．D【解析】

根據的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數，且在上存在正數，使得在上為增函數，在為減函數，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數圖象的識別，此類問題應根據原函數的單調性來考慮導函數的符號與零點情況，本題屬于基礎題.11．C【解析】分析：先求導,再對a分類討論求函數的單調區間，再畫圖分析轉化對區間內的任意實數，都有，得到關于a的不等式組，再解不等式組得到實數a的取值范圍.詳解：由題得.當a＜1時，，所以函數f（x）在單調遞減，因為對區間內的任意實數，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當1≤a<e時，函數f(x)在[0,lna]單調遞增，在(lna,1]單調遞減.所以因為對區間內的任意實數，都有，所以，所以即令，所以所以函數g(a)在（1，e）上單調遞減，所以，所以當1≤a<e時，滿足題意.當a時，函數f(x)在(0,1)單調遞增,因為對區間內的任意實數，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點睛：本題的難點在于“對區間內的任意實數，都有”的轉化.由于是函數的問題，所以我們要聯想到利用函數的性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數的單調性和最值聯系起來，完成了數學問題的等價轉化，找到了問題的突破口.12．D【解析】

畫出，，根據向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．13【解析】

根據點在直線上可求得，由等比中項的定義可構造方程求得結果.【詳解】在上，，成等比數列，，即，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查根據三項成等比數列求解參數值的問題，涉及到等比中項的應用，屬于基礎題.14．（或，答案不唯一）【解析】

由可得是奇函數，再由時，可得到滿足條件的奇函數非常多，屬于開放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數，由時，，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點睛】本題考查抽象函數的性質，涉及到由表達式確定函數奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.15．【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【點睛】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數學應用，數學運算的能力，屬于基礎題.16．-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據二面角的余弦值，可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點，連結.則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,則，于是，，設平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區間內恰有一個零點，轉化為在區間內恰有兩個零點，由（1）的結論對分類討論，根據單調性，結合零點存在性定理，即可求出結論.【詳解】（1）由題意得，則，當函數在區間上單調遞增時，在區間上恒成立.∴（其中），解得.當函數在區間上單調遞減時，在區間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數的取值范圍是.（2）.由，知在區間內恰有一個零點，設該零點為，則在區間內不單調.∴在區間內存在零點，同理在區間內存在零點.∴在區間內恰有兩個零點.由（1）易知，當時，在區間上單調遞增，故在區間內至多有一個零點，不合題意.當時，在區間上單調遞減，故在區間內至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數在區間上單凋遞減，在區間上單調遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查導數的綜合應用，涉及到函數的單調性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于較難題.19．（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）對函數求導，對參數討論，得函數單調區間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構造新函數利用函數單調性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數在上單調遞增，此時函數既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，此時函數有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，此時函數有極大值，無極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設，只需證：，設，則，故在上單調遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數極值及利用導數證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉化為證明一元不等式，再轉化為函數最值問題.利用導數證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構造函數，然后根據函數的單調性或最值，證明.20．（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發生概率小，但是發生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發生變化，詳見解析【解析】

（1）由從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨立事件的概率計算公式，分別求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到的概率估計為樣本中早期體驗用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨立，且，，所以，，，所以的分布列為0120.180.490.33故的數學期望.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，那么.回答一：事件雖然發生概率小，但是發生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發生變化.回答二：事件發生概率小，所以可以認為早期體驗用戶人數增加.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列，數學期望的求解及應用，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數學期望公式計算出數學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數學期望是理科高考數學必考問題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.