信號與系統復習書中最重要的三大變換幾乎都有。第一章信號與系統1、信號的分類①連續信號和離散信號②周期信號和非周期信號連續周期信號f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，離散周期信號f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，假設其周期之比T1/T2為有理數，那么其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。③能量信號和功率信號④因果信號和反因果信號2、信號的根本運算〔+-×÷〕2.1信號的〔+-×÷〕2.2信號的時間變換運算〔反轉、平移和尺度變換〕3、奇異信號3.1單位沖激函數的性質f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)4、系統的分類與性質4.1連續系統和離散系統4.2動態系統與即時系統4.3線性系統與非線性系統①線性性質T[af(·)]=aT[f(·)](齊次性)T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]〔可加性〕②當動態系統滿足以下三個條件時該系統為線性系統：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}](可分解性)T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](零狀態線性)T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}](零輸入線性)4.4時不變系統與時變系統T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)(時不變性質)直觀判斷方法：假設f(·)前出現變系數，或有反轉、展縮變換，那么系統為時變系統。LTI連續系統的微分特性和積分特性①微分特性：假設f(t)→yf(t)，那么f’(t)→y’f(t)②積分特性：假設f(t)→yf(t)，那么4.5因果系統與非因果系統5、系統的框圖描述第二章連續系統的時域分析1、LTI連續系統的響應1.1微分方程的經典解y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解〕描述某系統的微分方程為y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求〔1〕當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；〔2〕當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解2、沖激響應系統在單位沖激信號作用下的零狀態響應，求解方法①系數平衡法系統方程兩端對應系數相等②由單位階躍響應求單位沖激響應，即例y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應h(t)。3、階躍響應系統在單位階躍信號作用下的零狀態響應。4、卷積積分4.1定義4.2任意信號作用下的零狀態響應4.3卷積積分的求法按照定義圖解法4.4卷積積分的性質①交換律②結合律③分配律④積分性質⑤微分性質⑥任意時間函數與沖激函數的卷積f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)；f(t)*δ’(t)=f’(t)；f(t)*ε(t)⑦卷積的時移性質f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第三章離散系統的時域分析1、LTI離散系統的響應1.1差分與差分方程1.2差分方程的經典解〔和微分方程相類似〕y(k)=yh(k)+yp(k)當特征根λ為單根時，齊次解yn(k)形式為：Cλk當特征根λ為r重根時，齊次解yn(k)形式為：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk當特征根λ為一對共軛復根時，齊次解yn(k)形式為：1.2.2特解yp(k):特解的形式與鼓勵的形式雷同(r≥1〕。①所有特征根均不等于1時;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根時;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]〔2〕鼓勵f(k)=ak①當a不等于特征根時;yp(k)=Pak②當a是r重特征根時;yp(k)=〔Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak〔3〕鼓勵f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)假設描述某系統的差分方程為y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)初始條件y(0)=0，y(1)=–1；鼓勵f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。1.3零輸入響應和零狀態響應2、單位序列響應和階躍響應2.1單位序列響應2.1.1定義2.1.2求法遞推求初始值，求齊次差分方程的解例某系統的差分方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求單位序列響應h(k)。例假設方程為：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求單位序列響應h(k)2.2階躍響應2.2.1定義，h，h(k)=g(k)3常用序列4離散信號的卷積和4.1任意序列的分解f(k)4.2列作用下的零狀態響應4.3定義4.4卷積和的求法4.4.1圖解法卷積過程可分解為四步：〔1〕換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)〔2〕反轉平移：由f2(i)反轉→f2(–i)右移k→f2(k–i)〔3〕乘積：f1(i)f2(k–i)〔4〕求和：i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。4.1.2不進位乘法求卷積例f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=04.2卷積和的性質4.2.1法的三律：(1)交換律,(2)分配律,(3)結合律.4.2.2f〔4.2.2f〔k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)4.2.34.2.3.f(k)*ε(k)=f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)第四章連續系統的頻域分析1傅里葉級數1.1傅里葉級數的三角形式1.2波形的對稱特性和諧波特性A.f(t)為偶函數——對稱縱坐標展開為余弦級數B.f(t)為奇函數——對稱于原點展開為正弦級數Cf(t)為奇諧函數——f(t)=–f(t±T/2)傅里葉級數中只含奇次諧波分量Df(t)為偶諧函數——f(t)=f(t±T/2)只有直流(常數)和偶次諧波。1.3傅里葉級數的指數形式n=0,±n=0,±1,±2，…2周期信號頻譜的特點(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖。3傅里葉變換3.1定義3.2常用函數的傅里葉變換〔1〕單邊指數函數f(t)=e–tε(t)，>0實數〔2〕雙邊指數函數f(t)=e–t,>0〔3〕門函數(矩形脈沖)〔4〕沖激函數(t)、′(t)〔5〕常數1〔6〕符號函數〔7〕階躍函數3.3傅里葉變換的性質 [af[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]〔2〕時移性質(TimeshiftingProperty)FF(jt)←→2πf(–ω)〔3〕對稱性質(SymmetricalProperty)〔4〕頻移性質(FrequencyShiftingProperty)〔5〕尺度變換性質(ScalingTransformProperty)〔6〕卷積性質(ConvolutionProperty)IfIff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)ThenfThenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)〔7〕時域的微分和積分〔8〕頻域的微分和積分(–jt)(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)〔9〕怕賽瓦爾關系〔10〕奇偶性(Parity)4周期信號的傅里葉變換5連續系統的頻域分析5.1Y(jY(j)=F(j)H(j)5.2無失真傳輸y(t)=Kf(t–td)Y(j)=Ke–jtdF(j)例：系統的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，那么以下信號通過該系統時，不產生失真的是(A)(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)6抽樣定理第五章連續系統的s域分析二、求解方法1、局部分式展開法〔1〕F(s)為單極點〔單根〕〔2〕假設F(s)包含共軛復根時(p1,2=–±j)〔3〕F(s)有重極點〔重根〕假設A(s)=0在s=p1處有r重根，K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1三、系統的s域分析方法思路：用拉普拉斯變換微分特性例1描述某LTI系統的微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)初始狀態y(0-)=1，y'(0-)=-1，鼓勵f(t)=5cost(t)，求系統的全響應y(t)四、系統函數H(s)=L[h(t)]H(s)=L[h(t)]系統的s域框圖第六章離散系統的z域分析附：局部重要內容〔無z變換〕第一章：1．連續時間信號與離散時間信號2．模擬信號與數字信號3．信號的運算〔1〕移位、反褶與尺度變換〔2〕微分和積分〔3〕兩信號相加或相乘4．〔1〕單位階躍信號〔2〕單位沖激信號〔當〔當時〕=1\*GB3①抽樣性：=2\*GB3②偶對稱性：=3\*GB3③尺度變換性：=4\*GB3④相乘性質：沖激偶信號5．線性時不變系統〔1〕疊加性與均勻性〔2〕時不變性〔3〕因果性第二章1．系統的狀態〔起始狀態，初始條件〕2．系統的全響應〔1〕求解方法：經典法，雙零法〔2〕系統響應的分解：自由響應，強迫響應，零狀態響應，零輸入響應3．線性系統的特性響應的可分解性系統響應可以分解為零輸入響應和零狀態響應。零狀態線性當起始狀態為零時，系統的零狀態響應對外加鼓勵信號呈現線性。零輸入線性當外加鼓勵為零時，系統的零輸入響應對于各起始狀態呈線性關系。第三章1．周期信號的傅里葉級數〔1〕三角函數形式的傅里葉級數〔2〕指數形式的傅里葉級數2．傅里葉變換定義為正變換逆變換3．傅里葉變換的性質(1)對稱性假設，那么(2)線性性假設，那么(3)奇偶虛實性假設，那么①是實偶函數，即為的實偶函數。②是實奇函數，即為的虛奇函數。(4)尺度變換特性假設，那么式中為非零實常數。(5)時移特性假設，那么(6)頻移特性假設，那么(7)時域微分特性假設，那么(8)頻域微分特性假設，那么(9)時域積分特性假設，那么(10)時域卷積定理假設，那么(11)頻域卷積定理假設，