3.1光學諧振腔的衍射理論3.2對稱共焦腔內外的光場分布3.3高斯光束的傳播特性

3.4穩定球面腔的光束傳播特性3.5激光器的輸出功率

3.6激光器的線寬極限第三章激光器的輸出特性3.7激光光束質量的品質因子M2

目標：通過諧振腔衍射理論的描述，掌握自再現模、橫模場分布、縱模間隔等基本概念與描述；理解腔內外光場分布特點，掌握高斯光束的傳播特性，理解掌握穩定球面腔的光束傳播特性；理解輸出功率特點與影響因素；掌握線寬極限的物理機制，品質因子的定義式及物理意義。本章任務：掌握激光輸出特性的理論基礎，會描述光束的傳播特性，理解掌握功率輸出特性、線寬極限的物理機制；掌握描述光束質量的品質因子的物理本質，為后期激光控制技術打下扎實基礎。第三章激光器的輸出特性§3.1光學諧振腔的衍射理論開腔模的一般物理概念---自再現?？钻@傳輸線菲涅耳—基爾霍夫衍射積分積分方程物理意義分離變量法

目標：通過諧振腔衍射理論的描述，掌握自再現模、橫模場分布、縱模間隔等基本概念與描述。本節任務：理解激光輸出特性的理論基礎，會解釋自再現模、積分方程及其解的物理含義、掌握縱模間隔表達式并會運用其進行腔模式相關計算?！?.1光學諧振腔的衍射理論一、開腔模的一般物理概念---自再現模1.開腔的自再現?；驒M模:在開腔鏡面上，經一次往返能再現的穩態場(不隨時間變化)分布。2.往返損耗：自再現模往返一次所經受的能量損耗。3.往返相移：自再現模往返一次所經受的相移。4.諧振條件：往返相移等于2π的整數倍。二、孔闌傳輸線光在平面開腔中的傳輸特點：往復傳播；逸出腔外便不能返回腔內；腔鏡邊緣存在衍射損耗。當經過足夠多次渡越，形成這樣一種場分布:渡越時分布情況不再受衍射影響，只有整體按同樣比例衰減。二、孔闌傳輸線二、孔闌傳輸線*通過孔闌傳輸線的光場分布的變化①初始入射平面波在到達腔鏡時是均勻平面波。②在到達反射鏡發生反射時，在鏡邊發生衍射，邊緣場分布出現旁瓣(強度次極大，非等相位面),波前發生改變，等相位面也發生改變，不再是均勻平面波。③此后每次在鏡面反射時均發生衍射，每經過一次反射，光波的振幅和相位分布就經歷一次改變，經過若干次反射后，光波的振幅和相位分布受衍射的影響越來越小，趨于穩定。④當等相位面經過腔鏡反射，不再發生改變時，就稱存在的模式為自再現模。⑤均勻平面波入射→自再現模。⑥空間相干性：開始自發輻射—空間非相干。⑦無源開腔中，自再現模的實現伴隨著能量的衰減；有源開腔中，自再現模可以形成自激振蕩，得到光放大，形成激光。二、孔闌傳輸線三、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分目的：用數學方法定量地表示開腔模光場分布方法：如果已知某一腔鏡鏡面上的場分布，求在衍射作用下，經一次渡越在另一腔鏡鏡面上生成的光場。

工具：菲涅耳—基爾霍夫衍射積分：如果知道光波場在任一處的空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置的振幅和相位分布。將以上積分用于開腔的兩個鏡面上的場:三、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分假設:S?尺寸遠大于λ,ρ足夠遠,使來自S的光都可以作用于P點一次渡越后,鏡Ⅱ：q次渡越后,生成的場uq+1與產生它的場uq之間滿足類似的關系:由“自再現”的概念,當q足夠大時,除了一個振幅衰減和相移的常數因子外,uq+1應能再現uq,即:代入菲涅耳-基爾霍夫積分方程,簡化后有:進一步簡化：此即為自再現模場u(x,y)應滿足的積分方程式，K(x,y,x’,y’)稱為積分方程的核。|U(x,y)|描述鏡面上場振幅的分布，其輻角argV(x,y)描述鏡面上的相位分布。四、自再現模積分方程(3-7)五、積分方程物理意義本征函數的模代表對稱開腔任一鏡面上的光場振幅分布，幅角則代表鏡面上光場的相位分布。表示的是在激光諧振腔中存在的穩定的橫向場分布，就是自再現模，通常叫做“橫?！?，m、n稱為橫模序數。圖3-3為各種橫模光斑。(1)本征函數和激光橫模圖3-3橫模光斑示意圖復數：五、積分方程物理意義α表示衰減系數,自再現模振幅按指數衰減,α↑,衰減越大,α→0,無衰減。(-β(β>0)滯后;-β(β<0)超前)表示相位滯后系數(單位相位滯后),↑相位滯后越多。1.單程損耗:單程相對功率損耗3.諧振條件:(有激活介質)一次往返的總相移等于2π的整數倍,開腔自再現模諧振條件:

(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移2.單程渡越的總相移

五、積分方程物理意義3.諧振條件:(有激活介質)一次往返的總相移等于2π的整數倍,(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移圖(3-4)腔中允許的縱模數要根據腔的結構，進一步簡化積分方程，使之從數學上可解。對于矩形、圓形平面鏡腔、共焦球面腔和一般球面鏡腔等常見腔型，這種簡化是可行的。關鍵：簡化K(x,y,x?,y?),即ρ(x,y,x?,y?)的表達式條件:x<<1時六、分離變量法1、矩形平面鏡腔六、分離變量法－矩形平面鏡腔六、分離變量法－矩形平面鏡腔以Um和Un表示第m個和第n個解，m和n表示相應的復常數：積分本征值問題，m、n為一系列不連續的特定值，分別對應相應的本征函數Um(x)和Un(y)。六、分離變量法－矩形平面鏡腔多模性:用和表示它們的第m個和第n個解,γm和γn表示相應的復常數,有:*數學描述:求解以上積分方程問題稱為積分本征值問題,當γm,γn取不連續的特定值時,方程才成立,γm,γn稱為方程的本征值,使方程成立的分布函數和稱為與γm,γn對應的本征函數。求解積分方程就是要求出全部的本征值和本征函數，它們決定開腔自再現模的全部特征，包括場分布(鏡面上場的振幅和相位分布)、傳輸特性(模的衰減、相移和諧振頻率等)。*意義:代表在x方向

寬度為2a,在y方向無限長的條狀腔的自再現模；代表在y方向寬度為2b,在x方向無限長的條狀腔的自再現模;矩形鏡腔為二者疊加,,即圖中陰影部分為其自再現模。

當滿足L>>a>>λ，六、分離變量法2、圓形球面腔(由圓形對稱性引入極坐標)其中

六、分離變量法-圓形球面腔分離變量:設,(m=0,1,2,---)解為多解，將其第n個解寫成Rmn(r),相應的復常數γ→γmn,則有:而整個鏡面上的場分布函數為:,γmn為與相對應的本征值。代入上式并化簡:六、分離變量法3、一般球面腔P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D1設兩反射鏡的曲率半徑分別為R1和R2，腔長為L，六、分離變量法一般球面腔①對稱開腔：R1=R2=R，g1=g2=1-L/R。②對稱共焦腔：R1=R2=R=L，g1=g2=0，平行平面腔模的自再現膜迭代計算方法迭代法的意義平行平面腔自再現模的形成對于對稱開腔，當j足夠大時，由數值計算出的uj、uj+1、uj+2…能否滿足下述關系：一、迭代計算方法

用迭代公式：…即出現穩定場分布：鏡面上各點的場振幅按同樣比例衰減(損耗)。各點的相位發生同樣大小的滯后(相移)—即“自再現”。1961年，FoxA.G.andLiT.(BellsystemTech.J.,1961,40:453)首次完成此種方法。求出平行平面腔，圓形鏡共焦腔等的自再現模。⑴迭代法直觀地證明了開腔模式的存在性。⑵迭代法模擬了孔闌傳輸的過程，形象地、具體地說明了模的各種特征。⑶普適性：計算任何幾何形狀的開腔中的自再現模。

二、迭代法的意義

振幅相位300次迭代結果三、平行平面腔自再現模的形成考察鏡的寬度為2a，腔長為L的對稱條狀腔：由矩形腔結果，模式迭代方程為：三、平行平面腔自再現模的形成選擇初始波—最簡單—均勻平面波—u1=1。(等相位面為平面(鏡面)Φ＝0)，且振幅為1。將上式代入，求出u2，然后將u2歸一化，取再計算u3。特點：⑴開始幾次渡越，振幅和相位發生很大變化，邊緣的起伏更大。象單邊衍射特征。⑵隨著渡越次數越多，場分布變化越來越小。(3)經過300次后，場分布不再變化。獲得自再現模：振幅中心強。兩邊弱。具有對稱性?；EM00模⑷相位：(相移)中心處無滯后，兩邊滯后增加，已不是平面波(等相位面已不是平面)。⑸自再現模的建立時間：(300次渡越)設λ＝1μm，⑹形成自再現模所需次數(時間)與NF有關。N↑，次數↑。N↑，δ↓(損耗小)。因而渡越次數要多。三、平行平面腔自再現模的形成§3.2對稱共焦腔內外的光場分布積分方程及其精確解鏡面上場的振幅和相位分布單程損耗單程相移和諧振頻率

目標：通過諧振腔衍射理論的解析解描述，掌握自再現模特征表示參數：鏡面光斑半徑、相位分布、衍射損耗、單程相移、諧振頻率等概念與描述，理解頻率簡并現象。本節任務：理解共焦腔內外光場分布的理論求解過程，會解釋自再現模特征表示參數定義及公式并運用之，會解釋頻率高度簡并現象?！?.2對稱共焦腔內外的光場分布一、積分方程及其精確解（方形鏡對稱共焦腔）

尺寸，有。當滿足條件：時，其自再現模umn(x.y)所滿足的積分方程為式：變量代換：分離變量,令：1)一、積分方程及其精確解代入上式，得到Fm(X)、Gn(Y)分別滿足的方程：兩個積分方程是有限付氏變換，它們的解是長橢球函數：(Goyd,Gordon)本征函數：長橢球函數本征值：為徑向長橢球函數二、鏡面上場的振幅和相位分布1、厄米—高斯近似：當共焦腔有較大的NF，即x<<a、y<<a，(仍有)，(光束半徑較小)，則積分限可擴展到-∞→+∞。上式中，先求第一式：對上式對X兩次微分，得：考慮如下積分：利用，在∞趨于0二、鏡面上場的振幅和相位分布－厄米-高斯近似將（2）與（3）相加，得：分部積分法：滿足同一形式的方程與線性諧振子的Schr?dinger方程相同：二、鏡面上場的振幅和相位分布－厄米-高斯近似方程的解(本征函數)是厄米－高斯函數，即有：同理：式中Cm為歸一化常數，Hm(X)是階厄米多項式。將上式代入并換回坐標x，y，得到大菲涅耳數共焦腔衍射積分方程的本征函數（場分布）：為歸一化常數。為m階（n階）厄米函數。為高斯函數二、鏡面上場的振幅和相位分布厄米多項式表達式：2、鏡面上的振幅和相位分布：m,n=0,1,2,…表示取整數二、鏡面上場的振幅和相位分布階數為0、1、2最低階次的厄米－高斯分布和鏡面上光強分布圖象：二、鏡面上場的振幅和相位分布*基模：取m=n=0，稱為基模，（最低階）所以，場分布函數：特征：⑴高斯函數，⑵當時，振幅下降，⑶通常用半徑的圓來定義基模光斑的大小,稱共焦腔基模在鏡面上的光斑尺寸(半徑),(3-23)二、鏡面上場的振幅和相位分布注意：（1）理論上，高斯函數是延伸到處，只是在的區域內光強已很弱。（2）僅與曲率半徑R(焦距)、腔長、波長有關，與鏡面尺寸無關。（）（邊緣δ可略）（3）半功率點（基模強度的一半處）的光斑尺寸：強度：當，有：解得：（4）借用光斑尺寸，本征函數（3-18）式為：二、鏡面上場的振幅和相位分布* 高階橫模：例：（1）節線：TEM10：有x＝0一條節線。TEM20:有x＝m

兩節線依此類推：m表示在TEMmn模沿x方向有m條節線。同理：n表示在TEMmn模沿y方向有n條節線。特點：不等間距，中間密,由H（X）零點方程決定。邊緣強，中間弱。二、鏡面上場的振幅和相位分布* 高階橫模：x坐標：，對y坐標：x坐標y坐標由ws可求高階模光斑的大小。例：（2）光斑尺寸：* 相位分布：鏡面上的相位分布由umn(x,y)的輻角決定。由于（3-18）為實數，這就表明鏡面上的各點相位相同。即：共焦腔反射鏡面本身構成了場的一個等相位面，對任何m、n都成立。這與平行平面腔不同。三、單程損耗* 共焦腔自再現模TEMmn的單程功率損耗：

結合其他教材有結論：⑴均勻平面波的衍射(夫瑯和費)損耗比平面鏡腔的自再現模的損耗大的多。⑵平面鏡腔的損耗比共焦腔的損耗大的多。見圖4－5。圖4-5不同腔的衍射損耗曲線四、單程相移和諧振頻率1、共焦腔TEMmn模在腔內單次渡越的總相移：2、共焦腔諧振條件：而結論：由相移表達式可以看出，共焦腔相移與菲涅耳數無關，不同橫模的相移之差為/2的整數倍。q：縱模m，n：橫模四、單程相移和諧振頻率3、共焦腔的振蕩頻譜：4、頻率簡并：當q一定時橫模頻率間隔為：通常q表征沿Z軸（腔軸）方向的場分布，稱為縱模。屬于同一橫模（m、n一定）的相鄰縱模頻率間隔為3-16&26式：共焦腔對于所有（2q+m+n）相同的模式，有相同的諧振頻率，如TEMmnq、TEMm-1,n+1,q、TEMm,n-2,q+1、TEMm-2,n,q+1、…稱為模式的頻率簡并。注意：不同的橫模的損耗不同，因此，一般頻率簡并的模式，損耗并不簡并。圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜五、共焦腔行波場與腔內外的光場分布1.腔內的光場可以通過基爾霍夫衍射公式計算由鏡面M1上的場分布在腔內造成的行波求得。腔外的光場則就是腔內沿一個方向傳播的行波透過鏡面的部分。即行波函數乘以鏡面的透射率t。

圖3-7計算腔內外光場分布的示意圖§3.2對稱共焦腔內外的光場分布積分方程及其精確解鏡面上場的振幅和相位分布單程損耗單程相移和諧振頻率§3.3高斯光束傳播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模體積等相位面的分布遠場發散角

目標：理解掌握高斯光束傳輸相關特性本節任務：會表述高斯光束傳輸相關特性參數及運用相關公式計算。§3.3高斯光束傳播特性

BoydandGordon(1961)證明：鏡面上的場能用厄米－高斯函數描述的條件下，共焦腔場可以解析地表示為3－29式：一、共焦腔中的厄米－高斯光束其中：而：是TEMmn模在腔內任意點(x,y,z)處的電場強度，Cmn為歸一化常數。二、振幅分布和光斑尺寸共焦場的振幅分布：對基模：二、振幅分布和光斑尺寸定義：在振幅的處的基模的光斑尺寸（z點）：因為x，y方向的對稱性，可理解Eoo(x，y)是以z軸為對稱軸的旋轉。位置z中心（O）鏡面（）任意點（z）光斑w(z)最小光斑w0(z=0)稱為高斯光束的基模腰斑半徑（束腰）。（3-31）可寫為：光斑沿z軸的變化為雙曲線。三、模體積1．概念：模體積就是該模式在腔內所占有的空間范圍。

3．共焦腔基模的模體積：2．模體積與輸出功率的關系（除損耗外）：模體積越大，參與該模式振蕩的反轉粒子數就越多，輸出功率也越大，反之，則小。4．共焦腔高階模的模體積：TEMmn模的模體積是基模的倍，模的階次越高，模體積越大，多模的輸出功率比單模的大。三、模體積5．舉例：

共焦腔CO2激光器：腔長L＝1m，放電管直徑2a=2cm，。激活介質體積：基模的模體積：基模的模體積率：高功率的基模輸出很難，只有用非穩腔。

四、等相位面的分布共焦腔場相位分布由相位函數描述：忽略微小變化（oz<<L）引起的的變化：得：相位隨坐標x,y,z而變化，與腔軸相交于zo點的等相位面方程由下式給出：四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：---拋物面方程，頂點在z＝zo處拋物面焦距：（3-38）與腔軸線在zo點相交的等相位面的曲率半徑：

⑴zo＞0（等相位面位于右側），z－zo<0,z在zo左側，凹向中心zo＜0（等相位面位于左側），z－zo＞0，z在zo右側，凹向中心四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：⑵曲率半徑R隨zo而變化：當時，,對稱共焦腔的反射鏡面為等相位面。⑶zo＝0時，R(zo)，O點等相位面為平面。

zo

時，R(zo)，無窮遠，平面。⑷如果在場的任意一個等相位面處，放置一個相同曲率的反射鏡，則入射在該鏡片上的場將準確地沿原路返回。共焦場不會被擾動。這樣任何一組這樣的鏡片，都可以構成與原共焦腔等價的球面鏡腔。等相位面隨zo變化過程中，曲率半徑R，曲率中心都在不斷的變化之中。五、遠場發散角發散角（全角）定義：雙曲線的兩條漸近線之間的夾角2.共焦腔基模光束的理論發散角具有毫弧度的數量級，它的方向性相當好。

3.由于高階模的發散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時，光束的方向性要比單基模振蕩差。

討論1.由波動光學知道，在單色平行光照明下，一個半徑為r的圓孔夫瑯和費衍射角(主極大至第一極小值之間的夾角)。與上式相比較可知．高斯光束半角遠場發散角在數值上等于以腰斑為半徑的光束的衍射角，即它已達到了衍射極限。

§3.4圓形鏡共焦腔FoxandLi的數值解拉蓋爾－高斯近似模的特征圓形鏡共焦腔的行波場一、FoxandLi的數值解特點：（與平行平面鏡腔相比）⑴振幅：圓形鏡共焦腔中的場更集中在反射鏡的中心附近，在相同的NF時，鏡的邊緣處的場振幅降落到比平面鏡腔更低的值。⑵等相位面：圓形鏡共焦腔反射鏡面為場的等相位面，即等相位面為球面。⑶相移：模的單程附加相移與菲涅爾數N無關,平面鏡腔的與N有關;共焦腔的與N無關。單程相移對m,n是不同的，有：，與方形鏡共焦腔和平面鏡腔不同⑷損耗：不同橫模的衍射損耗不同，隨模的階次增加而迅速增大，在相同的NF下，比平面腔的損耗小的多。但比方形鏡共焦腔的損耗大幾倍。二、拉蓋爾－高斯近似其中為締合拉蓋爾多項式條件：，圓形鏡共焦腔模集中于鏡中心附近，超橢球函數近似到拉蓋爾－高斯函數：鏡面上表示自再現模的本征函數為：n=0、1、2…二、拉蓋爾－高斯近似1、圖象：角向m=0，徑向n取0、1、2（節圓）：2、圖象：對于輻角方向的節線，m取不同的值.共焦腔模的小結在菲涅耳數N＞＞1的條件下，共焦腔的自再現模能以厄米－高斯（方鏡）和蓋拉爾－高斯函數（圓鏡）近似描述。1．鏡面上的場：①振幅：方鏡方向節線方向節線圓鏡m輻角方向節線n徑向r方向節線基模鏡面光斑：共焦腔模的小結*基橫模

①振幅：對稱高斯分布，二者相同高階模：二者不同*高階橫模：方鏡圓鏡方鏡圓鏡共焦腔模的小結②單程相移和諧振頻率：注意：n腳標的頻率間隔不同，頻率簡并不同（都高度簡并）③單程衍射損耗相移方鏡圓鏡頻率方鏡圓鏡方鏡圓鏡共焦腔模的小結式中：在N>>1的條件下，利用菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式，將共焦腔整個空間的場分布解析地表示出來。這就是厄米－高斯光束（方鏡）或拉蓋爾－高斯光束（圓鏡）。圓鏡方鏡2．行波場：所以二種高斯光束的行為特性相似，只是輪廓不同。共焦腔模的小結基橫模體積：遠場發散全角：3．高斯光束基本特性：光斑尺寸：等相位面曲率半徑：都唯一地由焦距f(腔長L)決定，與反射鏡橫向尺寸無關。所以f或w0（由f決定）可作為表征共焦腔高斯光束的特征參數。對比平行平面鏡w(z)、都與鏡尺寸a有關。

高亮度：共焦腔模的小結①基橫模體積很小，易產生多橫模振蕩。缺點：4．只有精確解才能正確描述共焦腔的損耗特性。每一橫模的損耗都唯一地由腔的菲涅耳數NF決定。不同的橫模的損耗也不相同。5．共焦腔具有衍射損耗低、模式鑒別力高、易于調整。②對稱共焦腔是理想情況（介穩）R1＝R2＝L。如果調整或加工，使得R1＜L＜R2，則腔成為非穩腔。因此對反射鏡曲率半徑的加工和鏡的間距的調整是苛刻的§3.3高斯光束傳播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模體積等相位面的分布遠場發散角

目標：理解掌握高斯光束傳輸相關特性本節任務：會表述高斯光束傳輸相關特性參數及運用相關公式計算?！?.3高斯光束傳播特性§3.4穩定球面腔的光束傳播特性穩定球面腔的等價共焦腔穩定球面腔的光束傳播特性

目標：與共焦腔比較，理解掌握穩定球面腔光束傳輸相關特性本節任務：會表述并證明穩定球面腔的共焦腔的等價性；會運用相關公式進行計算?！?.4穩定球面腔的光束傳播特性一、一般穩定球面腔與共焦腔的等價性

“等價”—指是有相同的“自再現?！?。以共焦腔模式的等相位面分布為依據。根據前面的討論，由（3-38）式等相位面曲率公式為：1．任意一個共焦球面腔與無窮多個穩定球面腔等價：＊與無窮多個球面腔等價：前已證明，在共焦腔場的任意兩個等相位面上放置兩塊有相應曲率半徑的球面反射鏡，則共焦腔場將不會受到擾動，維持原來的光波場狀態和特征。但它們就構成一個新的球面腔。即它的場與共焦腔的完全相同。這就是二者“等價”的概念。因為共焦腔的等相位面可以有無窮多個，因此構成的等價球面腔也是無窮多的。

一、一般穩定球面腔與共焦腔的等價性1．任意一個共焦球面腔與無窮多個穩定球面腔等價：＊這些等價球面都是穩定腔：圖中，任意c1、c2處的反射鏡的曲率半徑分別為：等價球面腔的腔長可證(后面)R1,R2,L滿足,的穩定性判據。故等價球面腔都是穩定的。一、一般穩定球面腔與共焦腔的等價性2.任意一個穩定球面腔唯一等價于某一個共焦腔：設：已找到等價共焦腔，焦距f，中心為0處，其行波場的某兩個等相位面與給定的球面腔鏡面重合，則有：3-48：前提：已知R1、R2、L為一穩定球面腔。上式聯立消去一、一般穩定球面腔與共焦腔的等價性2.任意一個穩定球面腔唯一等價于某一個共焦腔：必有①若引入諧振腔幾何結構因子：則（3－48）式為：和或②

和但②不能同時滿足諧振腔穩定性條件，只有條件①滿足。所以：－－證明了前題的穩定條件，也說明球面腔是穩定的。二、鏡面上的光斑尺寸按前面共焦腔討論，基模的光斑尺寸為：＊代入f可得出一般穩定球面腔的行波場基模光斑尺寸。＊再代入Z1、Z2，可得出兩個鏡面上的光斑尺寸：利用二、鏡面上的光斑尺寸表示腔長相同的共焦腔鏡面上的光斑半徑?？傻靡话惴€定球面腔中束腰的尺寸：由共焦腔中基模束腰的公式：以上三式只對穩定腔運用，因為當或時，、成為復數。沒意義。當，或（但）時，和中至少一個趨于發散。（而）所以試用條件為穩定腔二、鏡面上的光斑尺寸原腔鏡面上光斑尺寸3－50二、鏡面上的光斑尺寸作為一般穩定球面腔的例子：對稱球面腔，光腰位于腔中心討論：①（共焦腔）鏡面上光斑最小。②（平行平面腔）鏡面光斑趨于無窮。③（共心腔）鏡面光斑趨于無窮。除去兩種極限情況，其它情況，光斑尺寸與共焦腔相差不大。三、等相位面的分布將f代入得：將中的z1和z2代入得：四、諧振頻率從共焦腔的相位函數式出發:得（方鏡）（圓鏡）以（3－48）式之f、z1、z2、分別代入上式，并利用諧振條件：利用（方鏡）（圓鏡）可見：對一般穩定球面腔而言，共焦腔模的高度簡并現象已經減弱四、諧振頻率例：對于兩塊全同的大曲率半徑球面鏡構成的近平面腔的頻譜，與共焦腔相比，縱模的簡并已消除，橫模的簡并仍存在。即：代入方鏡公式得：五、衍射損耗＊由于穩定球面腔與等價共焦腔有相同的行波場，而且反射鏡的鏡面都為等相位面，那么它們的衍射損耗應遵守相同的規律。a：腔鏡尺度（方＿線度；圓＿半徑）＊前面已經討論：對稱共焦腔的單程衍射損耗單值地與菲涅耳數NF有關（反比）對稱共焦腔鏡面上的光斑尺寸為：從此式可以看出：為鏡的面積量綱，為光斑面積，正比于鏡面積與鏡面上光斑的面積之比。鏡面積↑或鏡上光斑面積↓，則。五、衍射損耗＊對于一般穩定球面腔，鏡面半徑為，鏡面上光斑半徑;其等效共焦腔,鏡面半徑為，鏡面上光斑半徑.則說明兩腔的單程損耗相同。將的具體表達式代入上式得：根據上面的討論：如果引入穩定球面腔的有效菲涅耳數：五、衍射損耗＊從以上分析可見：對一般穩定球面腔，每一個反射鏡對應著一個有效菲涅耳數，即使二鏡的線度相同，相應的有效菲涅耳數也不一定相同。當時：＊求出有效菲涅耳數后，即可按共焦腔的單程損耗曲線來查得一般穩定腔的損耗值。＊兩鏡的平均單程損耗值：六、基模遠場發散角根據遠場發散角（全角）的表達式（：例：將f的表達式（3－48）代入上式，得到一般穩態球面腔的基模遠場發散角（全角）對于對稱穩定球面腔，平凹穩定腔是以上的特例。非對稱穩定球面腔的所有參數全部求出

①平凹腔：②對稱穩定球面腔：③對稱共焦腔：④半共焦腔：小結

一、任意一個共焦腔與無窮多個穩定球面腔等價，而任一穩定球面腔唯一等價于一個共焦腔。等價共焦腔位置：①基模鏡面光斑尺寸：3－48二、一般穩定球面腔特征：ws為同腔長共焦腔鏡面的光斑尺寸小結

②模體積：二、一般穩定球面腔特征：⑥發散角：③等相位面分布：鏡面為等相位面。④諧振頻率（圓鏡）：（方鏡）⑤衍射損耗：求等效菲涅耳數－－兩鏡平均§3.4穩定球面腔的光束傳播特性穩定球面腔的等價共焦腔穩定球面腔的光束傳播特性

目標：與共焦腔比較，理解掌握穩定球面腔光束傳輸相關特性本節任務：會表述并證明穩定球面腔的共焦腔的等價性；會運用相關公式進行計算。§3.4穩定球面腔的光束傳播特性§3.5激光器的輸出功率均勻加寬連續激光器的輸出功率脈沖激光器的輸出功率

目標：理解均勻、非均勻增寬介質激光器輸出功率的公式推導思路和過程；掌握輸出功率的影響參數。本節任務：會分析均勻、非均勻增寬介質激光穩定輸出過程，并運用相關公式進行計算，會解釋蘭姆凹陷形成過程和結果。§3.5激光器的輸出功率1.激光器穩定運轉的形成過程*隨PP↑→Δn↑，當Δn≈Δnt時，G0(νq)=Gt小信號增益系數=閾值增益系數激光開始自激振蕩,但如果僅維持在這個水平上，腔內激光是很弱的。*當Δn>Δnt，G0(νq)>Gt，則↑→≈Is，G(νq,

)飽和→Δn↓→G0(νq)↓這樣就出現了一個矛盾的過程：pump持續作用，使G0↑，而增益飽和使G0↓一、均勻加寬連續激光器的輸出功率§3.5激光器的輸出功率*當pump一定時，僅當G(νq,

)=Gt時，不再增加，系統已達到平衡---穩定的工作狀態，

)=Gt=G(νq,

此時,已成為大信號*若再增加pump速率，則重復上述過程[G0↑→↑→G(νq,)飽和→Δn↓→G0(νq)↓→G0≈Gt]最后腔內光強達到一個新的穩定狀態，而增益系數仍然滿足G(νq,

)=Gt=*當激光器穩定運轉時，大信號增益總是等于閾值增益的數值、連續或長脈沖激光器的輸出功率1.激光器穩定運轉的形成過程§3.5激光器的輸出功率*對于均勻加寬介質正比于曲線G0(ν)-Gt所包含的面積*對于非均勻加寬介質正比于G0(ν)

曲線上的燒孔面積2.均勻增寬型介質激光器的輸出功率穩定出光時激光器內諸參數的表達式、連續或長脈沖激光器的輸出功率1.激光器穩定運轉的形成過程§3.5激光器的輸出功率圖(3-11)諧振腔內光強(1)腔內最小的光強I+(0)(2)腔內最大光強I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a內)(3)輸出光強：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a內)(4)鏡面損耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a內)剩余部分：I+’(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a內)(5)最大最小光強、輸出光強和鏡面損耗之間關系

由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光強對于腔內任何一處z都有兩束傳播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子數反轉分布值發生飽和，增益系數也發生飽和，近似用平均光強2I代替腔內光強I+(z)+I-(2L-z)，用作為腔內的平均增益系數，則腔內的平均行波光強為：2.均勻增寬型介質激光器的輸出功率穩定出光時激光器內諸參數的表達式3-612.均勻增寬型介質激光器的輸出功率②激光器的輸出功率對M1有：激光器的總損耗為：如果很小，將用級數展開取一級近似，可得：(1)理想的情況，將全反射鏡M2上的鏡面損耗都折合到M1上，對M2有：激光器輸出光強也可以表示為：若激光器的平均截面為A，則其輸出功率為：2.均勻增寬型介質激光器的輸出功率②激光器的輸出功率激光器輸出光強也可以表示為：3-65(1)P與Is的關系:兩者成正比(2)P與A的關系:A越大，P越大；而高階橫模的光束截面要比基橫的大(3)P與t1的關系:實際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，即希望這要求t1大，a1小，使t1>>a1

t1過大又使增益系數的閾值G閾升高，而如果介質的雙程增益系數2LG0不夠大將會導致腔內光強減小，使輸出功率降低。嚴重時使腔內不能形成激光。t1過小，雖然使G閾降低,光強增強，但鏡面損耗a1I-(2L)也將增大。2.均勻增寬型介質激光器的輸出功率③輸出功率與諸參量之間的關系解此方程得：

為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的透射率取最佳值：此時，激光器得輸出功率為：

2.均勻增寬型介質激光器的輸出功率②激光器的輸出功率3-671).穩定出光時激光器內諸參數的表達式(1)腔內最大光強(2)輸出光強(3)鏡面損耗(4)最小光強：光波在腔內傳播情況如圖3-12所示

圖3-12非均勻增寬激光器腔內的光強(5)非均勻增寬型介質的增益系數隨頻率而變光波的頻率ν不在非均勻增寬介質的中心頻率處，光波在腔內傳播時將有兩部分粒子—和粒子對它的放大作出貢獻。3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率即頻率為的光波，和兩束光在增益系數的曲線上的兩側對稱的“燒”了兩個孔。如圖3-13所示。非均勻增寬激光器的“燒孔效應”腔內不同地點的光強不同，取I作為平均光強，當增益不太大時I=I+=I-，則介質對光波的平均增益系數為：這就是非均勻增寬型介質對非中心頻率光波的增益系數的表達式。(5)非均勻增寬型介質的增益系數隨頻率而變光波的頻率ν不在非均勻增寬介質的中心頻率處，光波在腔內傳播時將有兩部分粒子—和粒子對它的放大作出貢獻。3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率光波的頻率為線型函數的中心頻率，它只能使介質中速度為的這部分粒子數密度反轉分布值飽和。此時腔內的光強為I++I-，故介質對的增益系數為：若用平均光強2I來代替，則光波在腔中的平均增益系數可表示為：(5)非均勻增寬型介質的增益系數隨頻率而變3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率3-74若腔內各頻率的光強都等于Is，則以及附近的光波所獲得的增益系數分別為：若增益系數的閾值都相等，則和附近頻率為光波的平均光強分別為下值，且前者比后者要弱：(5)非均勻增寬型介質的增益系數隨頻率而變3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率3-74若腔內只允許一個諧振頻率，且，激光器在理想的情況下，仍有：依3-72此時腔內的平均光強為：激光器的輸出光強為：若光束的截面為A，則激光器的輸出功率為：(1)單頻激光器的輸出功率

2).激光器的輸出功率3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率3-79激光器輸出光強為：若腔內單縱模的頻率為，激光器腔內平均光強為：若光束的截面為A，激光器的輸出功率為：3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

2).激光器的輸出功率3-823-79與一般情形比較，多了一個1/2因子，可見νq=ν0時的輸出功率下降了。①當νq=ν1時，，P=0。

②νq=ν2時，，在ν2和=2ν0-ν2處形成兩個燒孔，這兩部分粒子對頻率ν2模有貢獻，P2∝兩孔(凹陷)面積之和，③當νq=ν3時，兩孔面積增加,則P3>P2。④當νq→ν0，且，兩個靠近的燒孔開始發生重疊，兩個燒孔面積之和小于未重合時的面積和，故P開始小于P3。⑤當νq=ν0時，兩個燒孔完全重合，此時僅有υz的一部分粒子對ν0模有貢獻，雖然，有最大值，但由于燒孔面積減少了(Δn減少了)，所以，P0仍下降到某一極小值。蘭姆凹陷：(Ⅰ)分析輸出功率與單縱模頻率νq的關系，P∝GD(ν1)∝燒孔面積。3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

(Ⅱ)在P～νq關系曲線上，于中心頻率ν0處出現凹陷，稱為

蘭姆凹陷(多普勒加寬介質)。(Ⅲ)蘭姆凹陷的寬度:因時，兩燒孔開始重疊，所以，蘭姆凹陷的寬度≈燒孔的寬度，即(Ⅳ)蘭姆凹陷與氣壓P的關系：當激光管內氣壓增高時，以碰撞加寬為主的均勻加寬ΔνH≈ΔνL增加，則凹陷變寬，變淺；當氣壓高到一定程度，譜線以均勻加寬為主時，蘭姆凹陷消失。蘭姆凹陷：3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

圖(3-14)曲線與“蘭姆凹陷”圖(3-14)為曲線；圖(3-15)為蘭姆凹陷與氣壓的關系曲線圖(3-15)“蘭姆凹陷”與管中氣壓的關系3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率若腔內允許多個諧振頻率，且相鄰兩個縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度以及各頻率的燒孔都是彼此獨立的，則平均光強為：(2)多頻激光器的輸出功率

輸出功率為：多頻激光器的輸出功率為：3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率若腔內多縱模的頻率對稱的分布在的兩側，也即有一個縱模率，必有另一個縱模頻率，則在理想情況下縱模的增益系數為：縱模在腔內的平均光強為：縱模的輸出功率為：該多模激光器的輸出功率為：(2)多頻激光器的輸出功率

3.非均勻增寬型介質激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率二、短脈沖(t0<<τ2)激光器的輸出能量閾值泵浦能量Δnt≈n2t，四能級Δnt≈n/2，三能級所以，對于四能級系統，若泵浦能量為EP，則有：個粒子從E1經E3躍遷到E2能級當EP>EPt→N2>N2t→g>gt=δ/l→(I↑→Is飽和作用)→N2↓當N2>N2t，受激輻射迅速衰減至熄滅，剩余的n2tV個粒子由自發輻射返回基態，它們對激光能量沒有貢獻，所以，凈受激發射光子數(對受激發射有貢獻的上能級粒子數)為：§3.5激光器的輸出功率所以，腔內產生激光能量為：設腔由一全反射鏡和一透過率為T的輸出鏡構成，腔內光能部分損耗(α)，部分輸出(T)，則輸出能量為：說明：E∝EPt，輸出能量與泵浦能量是線性關系二、短脈沖(t0<<τ2)激光器的輸出能量其中η0=T/(T+α))§3.5激光器的輸出功率§3.5激光器的輸出功率均勻加寬連續激光器的輸出功率脈沖激光器的輸出功率

目標：理解均勻、非均勻增寬介質激光器輸出功率的公式推導思路和過程；掌握輸出功率的影響參數。本節任務：會分析并運用相關公式進行計算?！?.5激光器的輸出功率1.造成線寬的原因2.激光器的線寬§3.6激光器的線寬極限3.造成激光器線寬的原因4.激光線寬與激光器輸出功率成反比

目標：理解掌握激光器線寬的起因以及影響。本節任務：會分析激光器的線寬極限?！?.6激光器的線寬極限1.造成線寬的原因(1)能級的有限壽命造成了譜線的自然寬度(2)發光粒子之間的碰撞造成了譜線的碰撞寬度(或壓力寬度)。(3)發光粒子的熱運動造成了譜線的多普勒寬度。實際的譜線線型是以上三者共同作用的結果，我們把這樣的譜線叫做發光物質的熒光譜線，其線寬叫做熒光線寬。2.激光器的線寬§3.6激光器的線寬極限對一個激光器來說，當它在穩定工作時，其增益正好等于總損耗。這時的理想情況是：損耗的能量在腔內的受激過程中得到了補充，而且在受激過程中產生的光波與原來光波有相同的位相，所以新產生的光波與原來的光波相干疊加，使腔內光波的振幅始終保持恒定，相應的就有無限長的波列，故線寬應為“0”。圖(3-16)熒光譜線與理想的單色激光譜線§3.6激光器的線寬極限2.激光器的線寬如果激光器是單模輸出的話，那么它輸出的譜線應該是落在熒光線寬范圍內的一條“線”(見圖(3-16))。3.造成激光器線寬的原因另一方面，腔內自發輻射又產生一列一列前后位相無關的波列，這些波列和相干的波列的光強相疊加，使腔內的光強保持穩定。而這樣一些一段一段的互相獨立的自發輻射的波列也要造成一定的線寬。首先,實際的激光器盡管它的自發輻射相對于受激輻射來說是極其微弱的，但它畢竟還是不可避免地存在著，而且在激光器的輸出功率中也貢獻它極其微小的一個份額。這樣，激光器的增益就應該包括受激過程和自發過程兩部分的貢獻。在振蕩達到平衡時，激光器內的能量平衡，應該是介質的受激輻射增益與自發輻射增益之和等于腔的總損耗，因而受激輻射的增益應略小于總損耗。這樣，對于受激輻射的相干光來說，每一個波列都存在一定的衰減率，正是這種衰減造成了一定的線寬，這是問題的一面?！?.6激光器的線寬極限