第六章不等式16.2

均值不等式

考點搜索●利用基本不等式證明不等式●運用重要不等式求最值●重要不等式在實際問題中的應用高考猜想在求函數的最值和實際問題中運用重要不等式，選擇題、填空題或解答題中均可能作為工具出現.2

一、算術平均數與幾何平均數定理1.若a＞0，b＞0，則稱①_______為兩個正數的算術平均數，稱②_______為兩個正數的幾何平均數.2.如果a、b為實數，那么a2+b2≥2abab≤③_______，當且僅當a=b時取“=”號.3.如果a、b為正實數，那么≤④_______，當且僅當a=b時取等號.3如果a+b為定值P,那么ab有最⑤____值，為⑥____;如果ab為定值S,那么a+b有最⑦___值,為⑧____.這一結論稱為均值定理.其應用的三個條件依次為⑨_____、⑩_____、11_______.

二、不等式恒成立問題不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在12_______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在13_______________.大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix4

盤點指南：①;②;③;④;⑤大；⑥;⑦小；⑧;⑨一正；⑩二定；三相等；11

a≥［f(x)］max;12

a≤［f(x)］min5若x,y∈

,且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的是()A.當且僅當x=y時，s有最小值B.當且僅當x=y時，p有最大值C.當且僅當p為定值時，s有最小值D.若s為定值，則當且僅當x=y時，p有最大值

解：由均值不等式易得答案為D.D6若x,y∈

,x+y≤4,則下列不等式中成立的是()

解：故選B.B7設a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是()

解法1：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各選項中的不等式,易判斷不成立.

解法2：可逐項使用均值不等式判斷不等式成立;8B.因為相乘得成立;C.因為又由得所以成立;D.因為，所以所以即不成立,故選D.91.今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確.有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結果的和的一半就是物體的真實重量,這種說法對嗎?并說明你的理由.

解：不對.設左、右臂長分別是l1,l2,物體放在左、右托盤稱得重量分別為a,b，真實重量為G.題型1利用均值不等式比較代數式的大小10則由杠桿平衡衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a.②①×②得G2=ab,所以.由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式式知知說法不對,真實重量是兩兩次稱量結果果的幾何平均均值.點評：本題考查均值值不等式,杠桿平衡原理理知識及分析析問題、解決決問題的能力力，屬跨學科科(數學、物理)的創新問題.均值不等式應應用的條件是是“一正二定定三相等”，，即兩個數都都為正數，兩兩個數的和或或積是定值，，有相等的可可取值.11已知a、b、c都是正正數，，且a+b+c=1.求證：：證明：：因為所以同理，，有所以但由于于3a+2≠≠1，所以以上式式不能能取等等號.所以122.(1)已知x>0,y>0,且求求x+y的最小小值;(2)已知x<,求函數數的的最最大值值;(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小小值.解：(1)因為x>0,y>0,所以題型2求函數數或代代數式式的最最值13當且僅僅當即即y=3x時,上式等等號成成立.又所所以x=4,y=12時，(x+y)min=16.(2)因為x<,所以5-4x>0,所以以當且且僅僅當當即即x=1時,上式式等等號號成成立立,故當當x=1時，，ymax=1.14(3)由2x+8y-xy=0，得得2x+8y=xy，所所以以所以以x+y=(x+y)()=10+=10+2()≥≥10+2××2=18,當且且僅僅當當，，即即x=2y時取取等等號號.又2x+8y-xy=0，所所以以x=12,y=6,所以以當當x=12,y=6時，，x+y取最最小小值值18.15點評評：：第(2)小題題是是一一類類應應用用均均值值不不等等式式求求分分式式型型函函數數的的最最值值的的題題型型，，此此類類問問題題求求解解中中注注意意變變形形配配湊湊成成兩兩個個正正數數的的和和式式(或積式)，且它們們的積(或和)式為定值值的形式式，然后后看能否否有相等等條件，，若有再再利用均均值不等等式得出出函數的的最值；；若沒有有，則利利用函數數的單調調性求解解.第(1)(3)小題可利利用已知知條件轉轉化為(2)的形式.1617183.若對任意意正實數數x、y,不等式恒恒成立立，則a的最小值值是.解：若不等式式恒成立立,則恒恒成立立.所以因為所以當當且且僅當x=y時取等號號.所以a≥，故amin=.題型3用均值不不等式求求解不等等式中的恒成立問問題19點評：求恒成立中中的問題的的方法比較較多，本題題利用的是是分離變量量法：即一一邊為所求求參數a；另一邊是是其他參數數的式子，，然后求其其式子的最最值.從填空題的的角度來思思考，本題題也可以利利用對稱式式的特點取取x=y=1，由此猜想想a的值.2021已知a、b、c∈R,求證：證明：因為所以同理,三式相加得得221.均值不等式式具有將““和式”轉轉化為“