第十二章極限與導數數學歸納法及其應用第講1（第二課時）1題型3

用數學歸納法探求數列的通項公式1.已知數列{an}滿足：a1=1，a2=

，an(an+1-1)=n(an+1-

an)(n≥2)，求數列{an}的通項公式.解：由已知可得因為a1=1，a2=

，所以

由此猜想：2證明:(1)當n=1時，結論成立.(2)假設當n=k時結論成立，即則當n=k+1時，所以當n=k+1時，結論也成立.綜合(1)(2)知，數列{an}的通項公式是3點評：“歸納—猜想—證明”是求數列的通項公式與前n項和公式的常用方法，也是近幾年高考理科數學試卷中數列問題的一個主要類型，應引起足夠的重視.4數列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N*).(1)計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an;(2)用數學歸納法證明(1)中的猜想.解：(1)當n=1時，a1=S1=2-a1,所以a1=1;當n=2時，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2=

;當n=3時，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3=

;當n=4時，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,所以a4=

.由此猜想5(2)證明:①當n=1時，a1=1，結論成立.②假設n=k(k≥1且k∈N*)時,結論成立，即那么當n=k+1(k≥1且k∈N*)時，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以這表明n=k+1時，結論也成立.由①②知，猜想

成立.6題型4用數學歸納法探求數列的有關性質2.已知兩個數列{an}、{bn}滿足：a1=2，b1=-1，且an=an-1·b=，試推測an+bn的變化規律，并證明你的結論.解：當n=1時，a1+b1=1.因為所以a2+b2=1，…由此猜測：an+bn=1.證明：(1)當n=1時，a1+b1=1顯然成立.7(2)假設當n=k時，ak+bk=1，即bk=1-ak成立，則ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1所以當n=k+1時，結論成立.綜合(1)(2)知，對任意n∈N*，都有an+bn=1.故an+bn=1，為定值.8點評：探求數列中的有關性質，一般是先觀察n=1，2，3時的命題的性質，對這幾項進行歸納、分析，猜想出一般性的結論，然后用數學歸納法來證明.9已知數列{an}是公差不為零的等差數列，且a4是a2與a8的等比中項，設bn=anan+1an+2，Sn為數列{bn}的前n項和，試推斷是否存在常數p，使對一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？說明你的理由.解：設數列{an}的公差為d(d≠0).由已知，得a2a8=a42，所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，則a1=d，所以an=nd.10(1)當n=1時，所所以以4a1S1=b1a4成立.(2)假設當n=k時，4a1Sk=bkak+3成立,即則11所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，即n=k+1時，有有4a1Sn=bnan+3成立.綜合(1)(2)知，存存在常常數p=4，使對一一切n∈N*，都有pa1Sn=bnan+3成立.123.已已知知數列列{an}滿足足:證明：：證法1：(1)當n=1時時，因為所以不不等式式成立立.(2)假設設當n=k時不等等式成成立，，即則題型5用數學學歸納納法證證數列列不等等式13因為所以14所以即當n=k+1時時，不等式式成立立.綜綜合(1)(2)知知，對任意意n∈N*都成成立.證法2：(1)當n=1時，所以不等式式成立.當n=2時，所以不等式式成立.15(2)假設當n=k(k≥2)時不等式成成立，即因為函數在［0，］］上是增函函數，所以16即所以當n=k+1時不等式成成立.綜合(1)(2)知，對對任意n∈N*都成立.17證法3：(1)同證法1.(2)假設當n=k時，不等式式成立，即若若則若18則所以當n=k+1時，不等式式成成立.綜合(1)(2)知，對任意n∈N*都成立.19點評：用數學歸納納法證明不不等式的關關鍵是“變變形”，即即在歸納假假設的基礎礎上通過放放縮、比較較、綜合等等證明不等等式的方法法，得到要要證明的目目標不等式式.20已知數列{an}的通項求證：證明：(1)當n=1時，所以不等式式成立.(2)假設n=k時，不等式式成立，即成成立.21則當n=k+1時，所以當n=k+1時，不等式式成立.綜合(1)(2)知，對任意意n∈N*，不等式都成成立.221.數學歸納法法原理類似似于“多米米諾骨牌游游戲”，其其實質是逐逐一驗證對對一切從n0開始的正整整數，命題題都成立，，它是一種種從有限驗驗證無窮的的數學方法法.2.歸納法是推理理的方法，數數學歸納法是是證明的方法法，由歸納法法得出的結論論不一定正確確，只有用數數學歸納法證證明后才能確確定其真實性性.3.“歸納——猜想——證明”是求解解某些探索性性問題的一種種重要的思想想方法，它在在數列問題中中有著廣泛的的應用，必須須熟練掌握.234.數學歸納法應應用中的存在在性問題，應應先取特殊值值，求得參數數取值，然后后再用數學歸歸納法嚴格證證明，不需再再考慮參數其其他取值情況況.5.在用數學歸納納法證明數列列不等式時，，需要從問題題要證的結論