第9章法方程解算方法與平差應用實例

介紹法方程未知數及其函數、法方程系數陣行列式和逆矩陣的解算方法，及其在測量平差中的應用。本章主要內容

退出逆矩陣原位替換快速解算方法法方程原位替換快速解算方法條件平差計算表格及其應用間接平差計算表格及其應用第一節法方程原位替換快速解算方法

授課目的要求:明確用三角分解法解法方程的基本原理，掌握在緊湊格式中解法方程未知數及其函數的方法。

重點、難點:在法方程解算的緊湊格式中求解方程未知數及其函數。本次課主要內容：

一、正定矩陣的三角分解

二、具有正定系數陣的法方程及其函數的解算

設法方程的系數陣為正定矩陣，即：

（1）

將N分解為下三角陣L與其轉置矩陣的乘積，即

（2）

式中

（3）

分解式又可表示為：

一、正定矩陣的三角分解

（4）

用比較法可得：

（5）

當i=1時，有

（6）

顧及（6）式對（5）式歸納整理可得

其中(8)

(7)

1.求法方程的未知數2.求法方程未知數的函數3.法方程未知數及其函數解的緊湊格式4.算例二、具有正定系數陣的法方程及其函數的解算

設法方程為：或

(9)

其中N陣正定

(10)

(11)

將（2）式代入（9）式得：

(12)

令

(13)

(14)

則有

(15)

將（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用比較法可解得

1.求法方程未知數（i=1，2，…，t）(16)

顧及（6）式、（7）式和（8）式對（16）式歸納整理得

（i=1，2，…，t）(17)

其中

(18)

將（3）式、（14）式和（10）式代入（13）式，并用比較法得：

(19)

顧及（7）式、（17）式和（18）式對（19）式歸納整理可得：

(20)

當i=t

時有：

(21)

設法方程未知數的函數為：

(22)

將（21）式和（20）式依次代入上式并歸納整理得：

(23)

其中

(24)

當（22）式中fi=ui

(i=1,2,...,t)時，又可得：

(25)

2.求法方程未知數的函數

3.法方程未知數及其函數解的緊湊格式

利用（21）式和（20）式可求得法方程未知數，利用（23）式和（25）式可求得法方程未知數的函數值，這些計算均可在“緊湊格式”表1中進行。

表1線性對稱方程組解算的緊湊格式

12…t

當時，表1中所在的行可以略去。若未知數的函數不只一個,則每增加一個函數在表1中增加一行,填入相應和的值，按計算F的方法計算即可。

已知法方程

未知數函數式為：

按法方程解算的“緊湊格式”求xi(i=1,2,3,4)和F之值。

表2法方程解算的緊湊格式

()

x1=

()

(

)

x2=(

)

(

)

()x3=

()()

()()x4=()()

()()()4.02.017.0

1.0

2.5

4.5

2.0

5.03.07.0

1.0-17.50.0-7.036.04.算例

(4.0)

x1=

(2.0)

(17.0

)

x2=(

1.0)

(2.5

)(4.5)x3=

(2.0)(5.0)

(3.0)(7.0)x4=(1.0)(-17.5)

(0.0)(-7.0)(36.0)線性方程組解算求逆1線性方程組解算求逆2作業:

第九章習題8返回第二節

逆矩陣原位替換快速解算方法

授課目的要求:明確逆矩陣原位替換快速解算的基本原理，掌握其求解的方法步驟。

重點、難點:在緊湊格式中求逆的方法步驟。本次課主要內容：

經典矩陣求逆法回顧

一、正定矩陣三角分解求逆法概述

二、求矩陣的分解下三角陣的逆陣

三、利用分解下三角陣的逆陣求原矩陣的逆陣

四、正定矩陣三角分解求逆的緊湊格式

五、算例六、課堂練習

計算矩陣N的逆陣

由公式

1.計算代數余子式經典矩陣求逆法回顧

2.計算矩陣N的行列式

3.計算矩陣N的逆陣

此方法采用矩陣三角分解原理，將矩陣表達為分解下三角陣與其轉置陣的乘積，利用分解下三角陣的求逆結果求得原矩陣的逆陣。矩陣求逆分三步進行：第一步求約化系數，第二步求下三角陣的逆陣，第三步求原矩陣的逆陣。每一步計算均采用原位替換求解法，即將矩陣中不同位置的元素表達為相應位置的位置函數值，每一步計算是用新的位置函數值替換相應位置的原有位置函數值，最終將原矩陣中各位置的元素替換為其逆矩陣中相應位置的元素。求逆公式簡單，利于編程，節省所需內存空間。此矩陣求逆方法可用于法方程解算，各種協因數陣的計算，方差分量估計，測量數據的統計假設檢驗，粗差探測，可靠性估計等測繪數據處理和精度估計之中。

一、正定矩陣三角分解求逆法概述

設

(1)

(2)

由LC=I（單位陣），即(3)

用比較法可得L陣的逆陣C的全部元素，即

二、求矩陣N的分解下三角陣L的逆陣

(4)

將代入（4）式得：(5)

三、利用分解下三角陣L的逆陣C求N的逆陣對（1）式求逆可得：

設

用比較法可得計算Q陣中下三角諸元素的公式，即

(6)

四、正定矩陣三角分解求逆的緊湊格式

利用約化系數,可在“緊湊格式”表3中求得L陣的逆陣C。表3求L

陣逆陣C的緊湊格式

1.求分解下三角矩陣L的逆陣C的緊湊格式

利用C陣的元素可在緊湊格式表4中求得矩陣Q的下三角諸元素

表4求Q

陣下三角元素的緊湊格式

2.利用下三角陣L的逆陣C計算N的逆陣Q的緊湊格式

五、算例

求下述線性方程組系數陣的逆陣

解：（1）利用上次課例題解方程過程中求出的約化系數求N陣下三角陣L的逆陣C的諸元素，見表5。表5求L陣逆陣C的緊湊格式

(

)

(

)

()

()

()()()

()()()4.02.0

1.0

2.016.0

2.0

4.04.02.04.0

（2）利用C陣中的諸元素在“緊湊格式”表4中求Q陣的下三角部分見表6。

表6求Q陣下三角部分諸元素的緊湊格式

(

)

(

)()

()

()()()

()()()0.500

-0.125

0.250

-0.094-0.0620.500

-0.140-0.094-0.2500.500..\矩陣運算器.exe線性方程組解算求逆1線性方程組解算求逆2

解方程過程中已求出約化系數陣為試求方程組系數陣的逆陣Q。設線性對稱方程組的系數矩陣為：課堂練習

作業:

第九章習題10返回第三節條件平差應用實例

授課目的要求:熟悉條件平差的計算表格，掌握條件平差計算表格的使用方法重點、難點:條件平差計算表格的使用方法。

一、條件平差公式復習

二、條件平差的計算表格及其使用三、算例本次課主要內容：

法方程：平差值函數的協因數計算式：

令

上式兩端同乘以，并移項得：

再令則有

將其解

代入平差值函數的協因數計算式得

一、條件平差公式復習

已知條件平差的函數模型為：

式中

為評定平差問題中某量的精度，所列立的權函數式為：

二、條件平差的計算表格及其使用

式中

依據上述有關數據可編制條件方程及權函數系數表見表1。

表1

條件方程及權函數系數表觀測序號

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn

椐表1中的數據，便可計算法方程

NK+W=0（轉換系數方程Naaq+fe=0）的系數nji和轉換系數方程中的常數項

fei

,以及平差值函數的權倒數計算式

中的

將上述計算結果填寫在編制好的法方程（轉換系數方程）及其函數解算表2中（每計算一個填寫一個，依次計算填寫）。

表1

條件方程及權函數系數表觀測序號

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn表2

法方程未知數及其函數解算表表中后兩行分別是函數

中未知數Ki和qi(i=a,b,…,r)的系數及函數式中的常數項。

上表填寫完畢后，即可在表2中求解Ki(i=a,b,…,r)、-VTPV及

，計算結果填于表2中相應元素的右邊如表3所示。

表3法方程及其函數解算表

求得聯系數Ki(i=a,b,...,r)后按在表1中求改正數vi,按求得并按公式，

求得單位權中誤差和平差值函數的中誤差。

例題如下圖所示水準網，已知A點的高程為：觀測高差及路線長度如圖中所示。試按條件平差法求未知點高程平差值及最弱點高程平差值的中誤差。

解：1.列立條件式和權函數式

本問題中

n=5，t=3，

r=n-t=2，條件方程式為：

改正數條件方程：最弱點平差值函數式為：

權函數式為：

2.建立條件方程系數及權函數系數表

取1公里水準觀測高差為單位權觀測值(也可另取它值，要看計算是否方便而定)。

條件方程系數及權函數系數表

序號

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

111

－1

1

1

1

1

4

2

4

4

2

3.組成并解算法方程,求未知數及其函數

序號

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1－1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

由上表中的數值計算法方程（轉換系數方程）系數和轉換系數方程常數項，將計算結果依次填入法方程未知數及其函數解算表中，并在表中解算

和之值，見下表

法方程未知數及其函數解算表

()

k1=

()

(

)

k2=(

)

(

)

()()()

()10.0-2.08.0

8.06.00.0

4.0

4.08.0-1-1

7.67.6

4.8-143.37

由V=P-1BTK，顧及P為對角陣，按

(i=1,2,...,n)

計算觀測值改正數，結果見下表。

條件方程系數及權函數系數表

序號

aiKa=-1

biKb=-1

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1

-1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

-4

0

-4

-4

-2

2.346

0.389

-2.735

2.196

-1.807

4.計算觀測值改正數vi及平差值

6.精度評定

單位權中誤差為：

D點高程平差值的中誤差為：

5.計算待定點高程平差值

作業:

第五章習題32

返回第四節間接平差應用實例

授課目的要求:熟悉間接平差的計算表格，掌握條件平差計算表格的使用方法。

重點、難點:間接平差計算表格的使用方法。本次課主要內容：

一、間接平差公式復習

二、間接平差的計算表格及其使用三、算例

法方程：參數平差值函數的協因數計算式：

令

上式兩端同乘以，并移項得：

將其解

代入平差值函數的協因數計算式得一、間接平差公式復習

已知間接平差的函數模型為：式中

為評定平差問題中某量的精度，所列立的權函數式為：式中

二、間接平差的計算表格及其使用

依據上述有關數據可編制誤差方程系數及常數項表，見表4表4誤差方程系數及常數項表觀測序號

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

2

┆

n

a1

a2

┆

an

b1

b2

┆

bn

...

...

...

...

t1

t2

┆

tn

--l1

-l2

┆

-ln

p1

p2

┆

pn

據表中的數據，便可計算法方程

，轉換系數方程

NBBq–F=0的系數陣中的

nji

和常數項

-wi，以及計算式(=-W)中的

將上述計算結果填寫在編制好的法方程（轉換系數方程）及其函數(VTPV,-)

解算表中(每計算一個填寫一個，依次計算填寫）。

觀測序號

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

a1

b1

...t1-l1

p1

2a2

b2

...t2

-l2

p2

┆┆

┆

...┆┆┆

n

an

bn

...tn-ln

pn

表5法方程未知數及其函數計算表（）

x1=

（）（）

x2=（）（）

（）

xt=

（）（）

（）（

）（）（）

（）（

）

表中后兩行既分別是法方程和轉換系數方程的常數項，又分別是函數中未知數

和qi(i=1,2,…,t)的系數。

上表填寫完畢后，即可在表5中計算、

VTPV和。結果填于表5中相應元素的右邊，如表6所示.

表6法方程未知數及其函數解算表

求得未知數近似值向量的改正數向量

后，按

求未知數平差值向量，代入誤差方程可求得改正數向量V，V的計算可在表4中進行(

)，按可求得，按公式，可求得單位權中誤差和平差值函數的中誤差。

若要求未知數平差值協因數陣，則由，計算，再計算，計算表格為表7和表8。

表7

求L陣逆矩陣C的諸元素用表

表中為解法方程過程中求得的約化系數，為求得的L陣逆陣C中的諸元素。求陣下三角部分諸元素用表表8

表中為下三角陣L的逆陣C中的諸元素，為陣下三角部分的諸元素。

繼續

如下圖所示水準網，已知A點的高程為：=124.385m，觀測高差及路線長度如圖中所示。試按參數平差法求未知點高程平差值及其中誤差。三、算例

解：1.列立誤差方程式和權函數式本問題中

n=5，t=3，

r=n-t=2，設參數：計算參數近似值：觀測方程：誤差方程常數項計算：

2.建立誤差方程系數、常數項表

取4公里水準觀測高差為單位權觀測值(也可另取它值，要看計算是否方便而定)。誤差方程系數及權函數系數表

序號

a1

bici

-li

P＝1/Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-8

-6

1

2

1

1

2

1

誤差方程：

計算法方程（轉換系數方程）系數和轉換系數方程常數項，將計算結果依次填入法方程未知數及其函數解算表中，并在表中解算

和

之值。

序號

a1

b2ci

-li

P＝1/Sivi

(mm)

(m)

1

1

1

2

-1

1

2

3

-1

-8

1

4

-1

1

1

5

1-1

-6

2

法方程未知數及其函數解算表（）

x1=

（）（）

x2=

（）（）