第四節定積分的應用4.1微元法基本思想4.2定積分的幾何應用4.3定積分的物理應用2/1/20231南京郵電大學邱中華表示為1、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區間[a,b]上的某分布f(x)

有關的2)U

對區間[a,b]

具有可加性

,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義一個整體量;一、微元法的基本思想2/1/20232南京郵電大學邱中華

平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等。在實際應用時，然后把dA在[a,b]上作定積分，這就是所說的微元法或元素法。abxyo應用方向：2、如何應用定積分解決問題?元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環,扇,片,殼等2/1/20233南京郵電大學邱中華3.應用微元法的一般步驟：(1)根據具體問題，選取一個變量x為積分變量，并確定它的變化區間[a,b]；(2)在

[a,b]上，任取一小區間[x,x+dx]；2/1/20234南京郵電大學邱中華二、平面圖形的面積1.直角坐標情形設曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右圖所示圖形面積為2/1/20235南京郵電大學邱中華例1.

計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有2/1/20236南京郵電大學邱中華一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數方程

給出時,按順時針方向規定起點和終點的參數值則曲邊梯形面積2.參數表示的情形2/1/20237南京郵電大學邱中華例2.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式2/1/20238南京郵電大學邱中華3.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區間上任取小區間則對應該小區間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為2/1/20239南京郵電大學邱中華2/1/202310南京郵電大學邱中華例3.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積2/1/202311南京郵電大學邱中華例4.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:2/1/202312南京郵電大學邱中華三、立體的體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應于小區間的體積元素為因此所求立體體積為上連續,1.平行截面面積已知的立體的體積2/1/202313南京郵電大學邱中華例5.

一平面經過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.2/1/202314南京郵電大學邱中華考慮連續曲線段軸旋轉一周圍成的立體體積時,有當考慮連續曲線段繞y

軸旋轉一周圍成的立體體積時,有2.旋轉體的體積2/1/202315南京郵電大學邱中華例6.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉而轉而成的橢球體的體積.解:將方程改寫為則(利用對稱性)2/1/202316南京郵電大學邱中華例7.

圓

繞x=-b(0<a<b)旋轉一周所生成立體的體積。

解

建立坐標系

-bOaxy2/1/202317南京郵電大學邱中華四、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱2/1/202318南京郵電大學邱中華(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長2/1/202319南京郵電大學邱中華(2)曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長2/1/202320南京郵電大學邱中華(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):注意:求弧長時積分上下限必須上大下小。2/1/202321南京郵電大學邱中華例8.求拋物線被圓所截下的有限部分的弧長。解：Oyx2/1/202322南京郵電大學邱中華例9.

求連續曲線段解:的弧長.2/1/202323南京郵電大學邱中華五、曲率及曲率半徑在光滑弧上自點M

開始取弧段,其長為對應切線定義弧段上的平均曲率點

M

處的曲率注意:

直線上任意點處的曲率為0!轉角為2/1/202324南京郵電大學邱中華例10.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.2/1/202325南京郵電大學邱中華有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設曲線弧則由2/1/202326南京郵電大學邱中華曲率圓與曲率半徑設M

為曲線C

上任一點,在點在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點M

處曲率圓與曲線有下列密切關系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側法線上取點D

使2/1/202327南京郵電大學邱中華六、變力沿直線所作的功設物體在連續變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區間

上所作的功為2/1/202328南京郵電大學邱中華例11.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a

處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣2/1/202329南京郵電大學邱中華例12.半徑為R的球沉入水中,球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現將球從水中取出,需作多少功？相應于區間[x，x+dx]的球體中的薄片的體積約為當球體恰好露出水面時，這一薄片在水面以上移動的路程為R+x，解：建立如圖所示坐標系克服重力做功為OxR+xx水面x+dx由于球的比重與水相同，則這部分的球由x提升到水面不做功奇函數2/1/202330南京郵電大學邱中華面積為A的平板七、液體側壓力設液體密度為深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決.平板一側所受的壓力為??2/1/202331南京郵電大學邱中華小窄條上各點的壓強例13.

的液體,

求桶的一個端面所受的側壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側壓力元素端面所受側壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內盛半桶密度為2/1/202332南京郵電大學邱中華說明:當桶內充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數2/1/202333南京郵電大學邱中華例14.一底為10cm,

高為6cm的等腰三角形薄片,鉛直地沉入水中,頂在上,底邊在下且與水面平行,而頂離水面3cm,試求它的一個側面所受的水壓力。解：建立坐標系如圖所示。直線AB的方程為xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy2/1/202334南京郵電大學邱中華八、引力問題質量分別為的質點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質點的連線若考慮物體對質點的引力,則需用積分解決.2/1/202335南京郵電大學邱中華課堂練習解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.又故在區域2/1/202336南京郵電大學邱中華設平面圖形A

由與所確定,求圖形A

繞直線x＝2旋轉一周所得旋轉體的體積.提示：選x為積分變量.旋轉體的體積為2.若選

y為積分變量,則2/1/202337南京郵電大學邱中華提示:

作x軸如圖.3.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由