第17頁（共17頁）2022年四川省廣元市中考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．（3分）若實數(shù)a的相反數(shù)是﹣3，則a等于（D）A．﹣3 B．0 C． D．32．（3分）如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（B）A．長方體 B．圓柱 C．圓錐 D．三棱柱3．（3分）下列運算正確的是（C）A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2 C．3y?2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y24．（3分）如圖，直線a∥b，將三角尺直角頂點放在直線b上，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（C）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（3分）某藥店在今年3月份購進了一批口罩，這批口罩包括一次性醫(yī)用外科口罩和N95口罩，且兩種口罩的只數(shù)相同，其中一次性醫(yī)用外科口罩花費1600元，N95口罩花費9600元．已知一次性醫(yī)用外科口罩的單價比N95口罩的單價少10元，那么一次性醫(yī)用外科口罩的單價為多少元？設(shè)一次性醫(yī)用外科口罩單價為x元，則列方程正確的是（B）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+106．（3分）如圖是根據(jù)南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統(tǒng)計圖．下列結(jié)論正確的是（D）A．平均數(shù)是6 B．眾數(shù)是7 C．中位數(shù)是11 D．方差是87．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（A）A．25° B．35° C．45° D．65°8．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點E、F，則AE的長度為（A）A． B．3 C．2 D．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∵BD＝CB＝6，∴AD＝AB﹣BC＝4，由作圖可知EF垂直平分線段AD，∴AF＝DF＝2，∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故選：A．9．（3分）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（B）A． B． C． D．【解答】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m為常數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（C）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解答】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴b＞0，∵拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正確；∵對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵經(jīng)過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正確；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正確；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＜y3，故（4）錯誤；當x＝2時，函數(shù)有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m為常數(shù)），故（5）正確；綜上所述：正確的結(jié)論有（1）（3）（5），共3個，故選：C．二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上，每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄卻最堅硬的納米材料，同時還是導(dǎo)電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000000034米，將這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為3.4×10﹣10．13．（4分）一個袋中裝有a個紅球，10個黃球，b個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么a與b的關(guān)系是a+b＝10．14．（4分）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過圓心O，若AB＝2，則陰影部分的面積為．【解答】解：如圖，過點O作AB的垂線并延長，垂足為C，交⊙O于點D，連結(jié)AO，AD，根據(jù)垂徑定理得：AC＝BC＝AB＝，∵將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過圓心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴陰影部分的面積＝S扇形ADO＝×π×22＝．故答案為：．15．（4分）如圖，已知在平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點B在第二象限內(nèi)，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過△OAB的頂點B和邊AB的中點C，如果△OAB的面積為6，那么k的值是﹣4．【解答】解：過B作BD⊥OA于D，∵點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴設(shè)B（﹣m，n），點B在第二象限內(nèi)，∵△OAB的面積為6，∴OA＝，∴A（﹣，0），∵點C是AB的中點，∴C（﹣，），∵點C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴﹣?＝﹣mn，∴﹣mn＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案為：﹣4．16．（4分）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為（24﹣12）cm．【解答】解：當點D沿DA方向下滑時，得△E'C'D'，過點C'作C'N⊥AD于點N，作C'M⊥AF于點M．∵DE＝12cm，CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝CE＝6cm，∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，∴四邊形AMC′N是矩形，∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，∴∠D′C′N＝∠E′C′M，∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），∴C′N＝C′M，∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，∴AC′平分∠BAF，∴點C在射線AC′上運動，當C′D′⊥AD時，AC′的值最大，最大值為12cm，當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．故答案為：（24﹣12）．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．（6分）計算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+＝+﹣2+1﹣2+4＝3．18．（8分）先化簡，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式組的整數(shù)解．解：原式＝÷＝?＝，解第一個不等式得：x＜3，解第二個不等式得：x≥﹣1，∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，∵x為整數(shù)，∴x的值為﹣1，0，1，2，∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，∴x只能取2，當x＝2時，原式＝＝．19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．（1）證明：∵E為AB中點，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．20．（9分）為豐富學生課余活動，明德中學組建了A體育類、B美術(shù)類、C音樂類和D其它類四類學生活動社團，要求每人必須參加且只參加一類活動．學校隨機抽取八年級（1）班全體學生進行調(diào)查，以了解學生參團情況．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：（1）八年級（1）班學生總?cè)藬?shù)是40人，補全條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖中區(qū)域C所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為90°；（2）明德中學共有學生2500人，請估算該校參與體育類和美術(shù)類社團的學生總?cè)藬?shù)；（3）校園藝術(shù)節(jié)到了，學校將從符合條件的4名社團學生（男女各2名）中隨機選擇兩名學生擔任開幕式主持人，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中1名男生和1名女生的概率．解：（1）八年級（1）班學生總?cè)藬?shù)是：12÷30%＝40，選擇C的學生有：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），扇形統(tǒng)計圖中區(qū)域C所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝90°，故答案為：40，90°，補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示；（2）2500×＝1625（人），答：估算該校參與體育類和美術(shù)類社團的學生有1625人；（3）設(shè)男生用A表示，女生有B表示，樹狀圖如下所示：由上可得，存在12種可能性，其中恰好選中1名男生和1名女生的可能性有8種，故恰好選中1名男生和1名女生的概率是＝．21．（9分）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．解：過點A作AH⊥DE，垂足為H，設(shè)EH＝x米，在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，∴AH＝EH?tan45°＝x（米），∵CE＝80米，∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝40+40，經(jīng)檢驗：x＝40+40是原方程的根，∴AH＝EH＝（40+40）米，在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，∴DH＝＝（40+40）米，∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，∴隧道EF的長度為（80+70）米．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝x+b的圖象與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點B（1，6），并與x軸交于點A．點C是線段AB上一點，△OAC與△OAB的面積比為2：3．（1）求k和b的值；（2）若將△OAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C′落在x軸正半軸上，得到△OA′C′，判斷點A′是否在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，并說明理由．解：（1）∵函數(shù)y＝x+b的圖像與函數(shù)y＝（x＞0）的圖像相交于點B（1，6），∴6＝1+b，6＝，∴b＝5，k＝6；（2）點A′不在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，理由如下：過點C作CM⊥x軸于M，過點B作BN⊥x軸于N，過A'作A'G⊥x軸于G，∵點B（1，6），∴ON＝1，BN＝6，∵△OAC與△OAB的面積比為2：3，∴＝＝，∴＝，∴CM＝BN＝4，即點C的縱坐標為4，把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，∴C（﹣1，4），∴OC'＝OC＝＝＝，∵y＝x+5中，當y＝0時，x＝﹣5，∴OA＝5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△OAC≌△OA'C'，∴OA?CM＝OC?A'G，∴A'G＝＝＝在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，∴點A'的坐標為（，），∵×≠6，∴點A′不在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．23．（10分）為推進“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計劃購進一批圖書．已知購買2本科技類圖書和3本文學類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學類圖書需282元．（1）科技類圖書與文學類圖書的單價分別為多少元？（2）為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進兩種圖書共計100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準備多少購書款？解：（1）設(shè)科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，依題意得：，解得：．答：科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元．（2）設(shè)科技類圖書的購買數(shù)量為m本，購買這兩種圖書的總金額為w元，則文學類圖書的購買數(shù)量為（100﹣m）本．①當30≤m≤40時，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，∵12＞0，∴w隨m的增大而增大，∴2960≤w≤3080；②當40＜m≤50時，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，∵﹣1＜0，∴當m＞26時，w隨m的增大而減小，∴2700≤w＜3080；③當50＜m≤60時，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，∵2＞0，∴w隨m的增大而增大，∴2700＜w≤2720．綜上，當30≤m≤60時，w的最小值為2700．答：社區(qū)至少要準備2700元購書款．24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是邊BC的中點，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵點E是邊BC的中點，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD?AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半徑為．25．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為135°；（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α時①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，∴∠BCD＝90°﹣α，∵CD＝CA，CD＝CB，∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，故答案為：135°；（2）①依題意補全圖形如圖，由旋轉(zhuǎn)得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，∴∠BCD＝90°+α，∵CD＝CA，CD＝CB，∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；②CE＝2BE﹣AD．證明：過點C作CG∥BD，交EB的延長線于點G，∵BC＝CD，CE平分∠BCD，∴CE垂直平分BD，∴BE＝DE，∠EFB＝90°，由①知，∠ADB＝45°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴∠FEB＝45°，∵BD∥CG，∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，∴EC＝CG，EG＝EC，∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，∴∠ACE＝∠BCG，∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE＝BG，∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，∴CE＝2BE﹣AD．26．（14分）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+b