會計學1第7章有限脈沖響應數字濾波器的設計7.1線性相位FIR數字濾波器的條件和特點

FIR濾波器具有線性相位的特性，它的幅度有特殊的對稱性，零點和網絡結構也很特別。

1.線性相位的條件對于長度為N的h(n)，傳輸函數為第1頁/共30頁

式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數，可能取負值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數，即

θ(ω)=-τω,τ為常數(7.1.3)

如果θ(ω)滿足下式也稱為線性相位，

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)

嚴格地說，此時θ(ω)不具有線性相位。但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數，即第2頁/共30頁

所以兩種情況都稱為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位；滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。

FIR濾波器具有第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即

h(n)=h(N-n-1)

FIR濾波器具有第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即

h(n)=-h(N-n-1)

2.線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點第3頁/共30頁第4頁/共30頁第5頁/共30頁

3.線性相位FIR濾波器零點分布特點第一類和第二類線性相位的系統函數分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：

圖7.1.1線性相位FIR濾波器零點分布

第6頁/共30頁4.線性相位FIR濾波器網絡結構設N為偶數，則有

令m=N-n-1,則有第7頁/共30頁如果N為奇數，則將中間項h［(N-1)/2］單獨列出，從上面的公式可以看出，線性相位FIR濾波器比FIR濾波器的直接型結構節省乘法器近一半。線性相位濾波器的網絡結構圖如下：第8頁/共30頁圖7.1.2第一類線性相位網絡結構第9頁/共30頁圖7.1.3第二類線性相位網絡結構第10頁/共30頁7.2利用窗函數法設計FIR濾波器

設希望設計的濾波器傳輸函數為Hd(ejω)，hd(n)是它的單位脈沖響應，因此對于理想的低通濾波器，它的傳遞函數為第11頁/共30頁

相應的單位取樣響應hd(n)為

為了構造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)第12頁/共30頁

我們實際實現的濾波器的單位取樣響應為h(n),長度為N，其系統函數為H(z)，圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應及矩形窗第13頁/共30頁

以上就是用窗函數法設計FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(ejω)是一個以2π為周期的函數，可以展為傅氏級數，即根據復卷積定理，得到：

式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即第14頁/共30頁RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數；將Hd(ejω)寫成下式：按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為將Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：第15頁/共30頁

將H(ejω)寫成下式：其卷積結果用圖表示比較直觀。第16頁/共30頁

圖7.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響第17頁/共30頁

通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點：

(1)在理想特性不連續點ω=ωc附近H(ω)有過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)通帶內H(ω)有波動，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內H(ω)有余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。

第18頁/共30頁

下面介紹幾種常用的窗函數。設

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函數。

1.矩形窗(RectangleWindow)2.三角形窗(BartlettWindow)3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗

4.哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗

5.布萊克曼(Blackman)窗第19頁/共30頁圖7.2.4常用的窗函數第20頁/共30頁

圖7.2.5常用窗函數的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第21頁/共30頁

圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第22頁/共30頁

下面介紹用窗函數設計FIR濾波器的步驟。

(1)根據技術要求確定待求濾波器的單位取樣響應hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，那么單位取樣響應用下式求出：第23頁/共30頁(2)根據對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數的形式，并估計窗口長度N。設待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數主瓣寬度。

(3)計算濾波器的單位取樣響應h(n)，

h(n)=hd(n)w(n)(4)驗算技術指標是否滿足要求。設計出的濾波器頻率響應用下式計算：第24頁/共30頁

例7.2.1用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,ωc=0.2πrad。解：用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有第25頁/共30頁

用漢寧窗設計：用布萊克曼窗設計：它們的幅頻特性如圖所示。第26頁/共30頁圖7.2.7例7.2.1的低通幅度特性第27頁/共30頁7.5IIR和FIR數字濾波器的比較

首先，從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數的極點可位于單位圓內的任何地方，因此可用較低的階數獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。FIR濾波器可得到線性相位，階數較高。第28頁/共30頁