2022年湖南省婁底市成考專升本高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

2.函數f(x)在x=x0處連續是f(x)在x=x0處極限存在的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.

4.

5.若f(x)為[a，b]上的連續函數，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不確定

6.

7.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.無法確定斂散性

8.若級數在x=-1處收斂，則此級數在x=2處

A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.不能確定

9.

10.

11.A.(2+X)^2B.3(2+X)^2C.(2+X)^4D.3(2+X)^412.級數(a為大于0的常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

13.下列函數中，在x=0處可導的是（）

A.y=|x|

B.

C.y=x3

D.y=lnx

14.設z=ln(x2+y)，則等于()。A.

B.

C.

D.

15.

16.

17.（）。A.3B.2C.1D.0

18.

19.

20.下列關于動載荷的敘述不正確的一項是()。

A.動載荷和靜載荷的本質區別是前者構件內各點的加速度必須考慮，而后者可忽略不計

B.勻速直線運動時的動荷因數為

C.自由落體沖擊時的動荷因數為

D.增大靜變形是減小沖擊載荷的主要途徑

21.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小22.

23.函數y=sinx在區間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

24.

25.

26.下列等式中正確的是()。A.

B.

C.

D.

27.

28.A.A.1

B.

C.

D.1n2

29.設是正項級數，且un＜υn(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()

A.B.C.D.30.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。A.球面B.柱面C.旋轉拋物面D.圓錐面

31.

32.設函數z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

33.設曲線y=x-ex在點(0，-1)處與直線l相切，則直線l的斜率為()．A.A.∞B.1C.0D.-134.函數f(x)在點x=x0處連續是f(x)在x0處可導的A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件

35.下列說法中不能提高梁的抗彎剛度的是()。

A.增大梁的彎度B.增加梁的支座C.提高梁的強度D.增大單位面積的抗彎截面系數36.下列命題中正確的有（）．A.A.

B.

C.

D.

37.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.238.（）。A.為無窮小B.為無窮大C.不存在，也不是無窮大D.為不定型

39.

40.

41.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

42.

43.A.A.

B.

C.

D.

44.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為（）A.A.2B.-2C.3D.-3

45.

46.設Y=x2-2x+a，貝0點x=1()。A.為y的極大值點B.為y的極小值點C.不為y的極值點D.是否為y的極值點與a有關47.設函數在x=0處連續，則a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.248.設二元函數z=xy，則點P0(0，0)A.為z的駐點，但不為極值點B.為z的駐點，且為極大值點C.為z的駐點，且為極小值點D.不為z的駐點，也不為極值點

49.

50.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

二、填空題(20題)51.

52.53.

54.

55.設f(x＋1)=3x2＋2x＋1，則f(x)=_________．

56.

57.58.設y=ex/x，則dy=________。59.方程y'-ex-y=0的通解為_____.

60.

61.62.若=-2，則a=________。63.64.65.

66.

67.

68.

69.

70.設區域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，則x2dxdy化為極坐標系下的二重積分的表達式為________。三、計算題(20題)71.

72.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則73.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．74.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．75.

76.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

77.證明：78.

79.求曲線在點(1，3)處的切線方程．80.81.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．82.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．83.84.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

85.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

86.

87.

88.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

89.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．90.求微分方程的通解．四、解答題(10題)91.

92.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.設z=z(x，y)由ez-z+xy=3所確定，求dz。

五、高等數學(0題)101.已知f(x)的一個原函數為(1+sinz)lnz，求∫xf(x)dx。

六、解答題(0題)102.

參考答案

1.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

2.A函數f(x)在x=x0處連續，則f(x)在x=x0處極限存在．但反過來卻不行，如函數f(x)=故選A。

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A本題考察了級數的絕對收斂的知識點。

8.C由題意知，級數收斂半徑R≥2，則x=2在收斂域內部，故其為絕對收斂.

9.A

10.A解析：

11.B

12.A本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

注意為p=2的p級數，因此為收斂級數，由比較判別法可知收斂，故絕對收斂，應選A．

13.C選項A中，y=|x|，在x=0處有尖點，即y=|x|在x=0處不可導；選項B中，在x=0處不存在，即在x=0處不可導；選項C中，y=x3，y'=3x2處處存在，即y=x3處處可導，也就在x=0處可導；選項D中，y=lnx，在x=0處不存在，y=lnx在x=0處不可導（事實上，在x=0點就沒定義）.

14.A本題考查的知識點為偏導數的計算。由于故知應選A。

15.B

16.A解析：

17.A

18.A

19.A

20.C

21.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮?。蕬xC．

22.B

23.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論。

24.A

25.D解析：

26.B

27.B

28.C本題考查的知識點為定積分運算．

因此選C．

29.B由正項級數的比較判別法可以得到，若小的級數發散，則大的級數必發散，故選B。

30.B

31.B

32.D本題考查的知識點為偏導數的運算。由z=sin(xy2)，知可知應選D。

33.C本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由導數的幾何意義可知，曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線斜率為0，因此選C．

34.B由可導與連續的關系：“可導必定連續，連續不一定可導”可知，應選B。

35.A

36.B本題考查的知識點為級數的性質．

可知應選B．通?？梢詫⑵渥鳛榕卸墧蛋l散的充分條件使用．

37.A

38.D

39.D解析：

40.D

41.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

42.B

43.D

44.C點(-1，0)在曲線y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由導數的幾何意義可知，曲線y=x2+5x+4在點(-1,0)處切線的斜率為3，所以選C．

45.D解析：

46.B本題考查的知識點為一元函數的極值。求解的一般步驟為：先求出函數的一階導數，令偏導數等于零，確定函數的駐點．再依極值的充分條件來判定所求駐點是否為極值點。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一駐點x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由極值的充分條件可知x=1為y的極小值點，故應選B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由極值的定義可知x=1為y的極小值點，因此選B。

47.C本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由函數連續性的定義可知，若f(x)在x=0處連續，則有，由題設f(0)=a，

可知應有a=1，故應選C．

48.A

49.C

50.A由復合函數鏈式法則可知，因此選A．

51.

解析：

52.1/z本題考查了二元函數的二階偏導數的知識點。53.本題考查的知識點為定積分的基本公式。

54.

55.

56.

57.

58.59.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.

60.

61.62.因為=a，所以a=-2。63.3yx3y-1

64.

65.

66.

67.68.1．

本題考查的知識點為函數連續性的概念．

69.70.因為D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，則=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

71.

72.由等價無窮小量的定義可知

73.

74.由二重積分物理意義知

75.由一階線性微分方程通解公式有

76.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

77.

78.

則

79.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

80.

81.函數的定義域為

注意

82.

83.

84.

列表：

說明

85.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

86.

87.

88.

89.

90.

91.92.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

93.

94.

95.

96.97.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數的特點．注意

可以看出，兩種積分次序下的二次積分都可以進行計算，但是若先對x積分，后對y積分，將簡便些．

本題中考生出現的較普遍的錯誤為，利用極坐標將二重積分化為二次積分：

右端被積函數中丟掉了r，這是考生應該注意的問題．通常若區域可以表示為

98.

99.解

100.

101.∫f"