上海民辦新高級中學2022-2023學年高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若有四個不同的正數滿足（為常數），且，，則的值為（

）

A．10

B．12

C．20

D．12或20參考答案：D略2.若偶函數f（x）在（﹣∞，0）內單調遞減，則不等式f（﹣2）＜f（lgx）的解集是(

)A．（0，100） B．（，100）C．（，+∞） D．（0，）∪（100，+∞）參考答案：D【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可．【解答】解：若偶函數f（x）在（﹣∞，0）內單調遞減，則函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增，則不等式f（﹣2）＜f（lgx）等價為f（2）＜f（|lgx|），即|lgx|＞2，即lgx＞2或lgx＜﹣2，即x＞100或0＜x＜，故選：D【點評】本題主要考查不等式的求解，根據函數的奇偶性和單調性的關系將不等式進行等價轉化是解決本題的關鍵．3.在三棱錐S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．2π B．2π C．6π D．12π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】構造長方體，使得面上的對角線長分別為2，，，則長方體的對角線長等于三棱錐S﹣ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐S﹣ABC外接球的表面積．【解答】解：∵三棱錐S﹣ABC中，SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，∴構造長方體，使得面上的對角線長分別為2，，，則長方體的對角線長等于三棱錐S﹣ABC外接球的直徑．設長方體的棱長分別為x，y，z，則x2+y2=4，y2+z2=3，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=6∴三棱錐S﹣ABC外接球的直徑為，∴三棱錐S﹣ABC外接球的表面積為=6π．故選：C．4.為了得到函數y=cos(x+)的圖象，只需把余弦曲線y=cosx上的所有的點

(

)A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度參考答案：A略5.3分）若α的終邊與單位圓交于點（，﹣），則cosα=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣參考答案：A考點： 任意角的三角函數的定義．專題： 三角函數的求值．分析： 由條件利用任意角的三角函數的定義，求得cosα的值．解答： 由題意可得，x=，y=﹣，r==1，∴cosα==，故選：A．點評： 本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題．6.sin75°cos30°﹣sin15°sin150°的值等于(

)A．1 B． C． D．參考答案：C【考點】兩角和與差的正弦函數．【專題】函數思想；轉化法；函數的性質及應用；三角函數的求值．【分析】由誘導公式和兩角和與差的三角形函數化簡可得．【解答】解：由三角函數公式化簡可得sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=sin（90°﹣15°）cos30°﹣sin15°sin（180°﹣30°）=cos15°cos30°﹣sin15°sin30°=cos（15°+30°）=cos45°=，故選：C．【點評】本題考查兩角和與差的正弦函數，涉及誘導公式的應用，屬基礎題．7.若則.

.

.

.參考答案：C8.函數f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數判斷；函數的圖象．【分析】函數f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點，即為函數f（x）=2cosπx與函數g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點的橫坐標，由圖象變化的法則和余弦函數的特點作出函數的圖象，由對稱性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點，即為函數f（x）=﹣2cosπx與函數g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點的橫坐標，由圖象變化的法則可知：y=ln|x﹣1|的圖象作關于y軸的對稱后和原來的一起構成y=ln|x|的圖象，在向右平移1個單位得到y=ln|x﹣1|的圖象又f（x）=﹣2cosπx的周期為2，如圖所示：兩圖象都關于直線x=1對稱，且共有A，B，C，D，E，F，6個交點，由中點坐標公式可得：xA+xF=2，xB+xE=2，xC+xD=2，故所有交點的橫坐標之和為6，故選：C．【點評】本題考查函數圖象的作法，熟練作出函數的圖象是解決問題的關鍵，屬中檔題．9.的值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.（5分）設函數f（x）=3x2﹣1，則f（a）﹣f（﹣a）的值是（） A． 0 B． 3a2﹣1 C． 6a2﹣2 D． 6a2參考答案：A考點： 函數的值．專題： 函數的性質及應用．分析： 直接利用函數的解析式求解函數值即可．解答： 函數f（x）=3x2﹣1，則f（a）﹣f（﹣a）=3a2﹣1﹣（3（﹣a）2﹣1）=0．故選：A．點評： 本題考查函數值的求法，基本知識的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC中，,則＝

▲

.參考答案：1612.函數y=的定義域是_______________.參考答案：略13.設集合A={1,2}，則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數是________．參考答案：414.方程9x﹣6?3x﹣7=0的解是

．參考答案：x=log37【考點】函數與方程的綜合運用；一元二次不等式的解法．【專題】計算題；整體思想．【分析】把3x看做一個整體，得到關于它的一元二次方程求出解，利用對數定義得到x的解．【解答】解：把3x看做一個整體，（3x）2﹣6?3x﹣7=0；可得3x=7或3x=﹣1（舍去），∴x=log37．故答案為x=log37【點評】考查學生整體代換的數學思想，以及對數函數定義的理解能力．函數與方程的綜合運用能力．15.若，則___▲___.參考答案：110由題意得.

16.已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一個周期內的圖象如圖所示，則函數的解析式為．直線y=與函數y=f（x）（x∈R）圖象的所有交點的坐標為．．參考答案：f（x）=2sin（x+）．（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可知A=2，T=4π，從而可求ω，再由ω×+φ=+2kπ可求得φ，從而可得答案．然后解方程2sin（x+）=，結合正弦函數的圖象可得x=x=+4kπ或+4kπ（k∈Z），由此即可得到直線y=與函數f（x）圖象的所有交點的坐標．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），∴A=2，周期T==﹣（﹣）=4π，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+φ），又f（﹣）=2sin（×（﹣）+φ）=0，∴φ﹣=kπ，k∈Z，|φ|＜π，∴φ=．∴f（x）=2sin（x+）．當f（x）=時，即2sin（x+）=，可得sin（x+）=，∴x+=+2kπ或x+=+2kπ（k∈Z），可得x=+4kπ或+4kπ（k∈Z）由此可得，直線y=與函數f（x）圖象的所有交點的坐標為：（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．故答案為：f（x）=2sin（x+），（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．17.平面向量中，若，=1，且，則向量=____。參考答案：

解析：方向相同，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)已知均為銳角，，求的值.參考答案：解：由已知得

，.∵且α、β都是銳角，∴.∴

又，∴.

略19.市內電話費是這樣規定的，每打一次電話不超過3分鐘付電話費0.18元，超過3分鐘而不超過6分鐘的付電話費0.36元，依次類推，每次打電話分鐘應付話費y元，寫出函數解析式并畫出函數圖象.參考答案：略20.如圖所示，△ABC是邊長為1的正三角形，點P1，P2，P3四等分線段BC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若點Q是線段AP3上一點，且，求實數m的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）以作為基底，表示出，然后利用數量積的運算法則計算即可求出；（Ⅱ）由平面向量數量積的運算及其運算可得：設，又，所以，解得，得解．【詳解】（Ⅰ）由題意得，則（Ⅱ）因為點Q是線段上一點，所以設，又，所以，故，解得，因此所求實數m的值為.【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算以及數量積的運算以及平面向量基本定理的應用,屬于中檔題.21.上海某學校要從藝術節活動中所產生的4名書法比賽一等獎的同學和2名繪畫比賽一等獎的同學中選出2名志愿者，參加即將在上海舉行的世博會的志愿服務工作．(1)求選出的兩名志愿者都是獲得書法比賽一等獎的同學的概率；(2)求選出的兩名志愿者中一名是獲得書法比賽一等獎，另一名是獲得繪畫比賽一等獎的同學的概率．參考答案：解：把4名獲書法比賽一等獎的同學編號為1，2，3，4，2名獲繪畫比賽一等獎的同學編號為5，6.從6名同學中任選兩名的所有可能結果如下：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)，共15個………………4分

(1)從6名同學中任選兩名，都是書法比賽一等獎的所有可能是：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個.

………6分∴選出的兩名志愿者都是書法比賽一等獎的概率

……………8分(2)從6名同學中任選兩名，一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的所有可能是：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，共8個.…………10分∴選出的兩名志愿者一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的概率是

22.（本小題滿分12分）兩個重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車.已知該車每次拖4節車廂，一日能來回16次，如果每次拖7節車廂，則每日能來回10次．(1)若每日來回的次數是車頭每次拖掛車廂節數的一次函數，求此一次函數解析式；(2)在（1）的條件下，每節車廂能載乘客110人．問這列火車每天來回多少次才能使運營人數最多?并求出每天最多運營人數.

參考答案：解：（1）設每日來回次,每次掛節車廂,由題意

……………1分由已知可得方程組:

…………3分解得: