第五章維納濾波5.1維納濾波問題描述5.2維納濾波器的時域解5.3維納預測器5.4維納濾波器的應用2023/1/141/315.1維納濾波問題描述……2023/1/14NorbertWiener美國數學家BS

atTuftsCollegePhDatHarvardUniversity1949年出版的書籍《Extrapolation,Interpolation,andSmoothingofStationaryTimeSeries》（平穩時間序列的外延、內插和平滑）被引用次數：41602/315.1維納濾波問題描述……2023/1/14真實信號觀察/測量數據加性噪聲/干擾線性估計問題最小均方誤差估計(minimummean-squareerror)估計誤差維納濾波->對真實信號的最小均方誤差估計問題.3/315.1維納濾波問題描述2023/1/14平滑濾波預測

這里我們只考慮濾波和預測問題！4/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/145.2.1因果的維納濾波器設h(n)是物理可實現的，也即因果序列：h(n)=0,n<0將上式對h(m)求偏導(m=0,1,2,…)，得：5/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/14即：用相關函數R來表達上式，則得到維納－霍夫方程的離散形式：6/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/14從維納－霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h:hopt(n)。求到hopt(n),這時的均方誤差為最小：7/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/145.2.2有限脈沖響應法求解維納-霍夫方程如何求解維納－霍夫方程，即下式hopt(n)。有限脈沖響應指h(n)是因果序列，并且序列長度為N，則：8/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/14于是得到N個線性方程：轉化成矩陣形式：簡化形式：自相關矩陣待求單位脈沖響應互相關序列9/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/14只要Rxx是非奇異的，就可以求單位脈沖響應H：求到hopt(n),這時的均方誤差為最小：進一步簡化：10/315.2維納濾波器的時域解……2023/1/14當有限長的N不大時，可以通過下式求解：當有限長的N較大時，可以通過下式求解：舉例：若信號s(n)與噪聲w(n)互不相關，即：則有：11/315.2維納濾波器的時域解2023/1/14有限長序列維納—霍夫方程和均方誤差轉化如下：【例5-1】參見教材pp.7212/315.3維納預測器……2023/1/14上節主要用當前觀測信號x(n)和過去觀測數據x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……來估計當前信號值本節主要用當前觀測信號x(n)和過去觀測數據x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……來估計當前或將來的信號值。也是用真值和估計值的均方差最小為估計準則。13/315.3維納預測器……2023/1/145.3.1因果的維納濾波預測器如下圖所示就是維納預測器的模型（N>0），yd(n)是期望得到的輸出，y(n)是實際的估計值。與維納濾波器的推導一樣，設h(n)是物理可實現的，即因果序列：h(n)=0，當n<0時，則有14/315.3維納預測器……2023/1/14要使均方誤差最小，則將上式對h(m)分別求偏導，并且等于0，則：即：用相關函數R來表達上式：如果是N點長序列，則有：15/315.3維納預測器……2023/1/145.3.2一步線性預測器對于純預測問題（沒有噪聲信號w(n)）,有：然而預測的問題往往建立在過去的p個觀測值的基礎上來預測當前值，即：這就是一步線性預測公式，常用如下式子表示：16/315.3維納預測器……2023/1/14式中，p為階數，。預測的均方誤差為：要使均方誤差最小，將上式右邊分別對求偏導，得p個等式：最小均方誤差為：17/315.3維納預測器……2023/1/14Yule-Walker方程Yule-Walker方程與維納-霍夫方程比較：（1）維納-霍夫方程要估計的量是s(n),Yule-Walker方程估計的量是x(n)本身；（2）維納-霍夫方程要已知x(n)與s(n)的互相關函數，實際中往往是未知的，Yule-Walker方程只需x(n)的自相關函數。結論：Yule-Walker方程比維納-霍夫方程更具有實用價值。維納-霍夫方程18/315.3維納預測器2023/1/14pp.81,【例5-5】19/31回顧2023/1/141、濾波器的目的？信號和干擾以及隨機噪聲同時輸入濾波器時，在輸出端能將信號的盡可能精確的還原出來。2、維納濾波器的輸入與輸出的關系？20/312023/1/14回顧3、平滑（內插）、濾波、預測的概念？平滑濾波預測

21/312023/1/14回顧4、判斷維納濾波器的類型有限脈沖維納-霍夫方程因果維納-霍夫方程信號與噪聲不相關的有限脈沖維納-霍夫方程Yule-Walker方程22/312023/1/14回顧5、將【例5-5】中的p=3，實現一步線性預測器，并求最小均方誤差。23/315.4維納濾波器的應用……2023/1/14應用例子1：維納濾波方法提取腦電誘發電位維納濾波器的傳遞函數：兩信號的相干函數：前i次觀測信號的功率譜密度和前i-1次的關系修正如下：噪聲修正如下：相干函數加權構造的維納濾波器：24/315.4維納濾波器的應用……2023/1/14應用例子2：時-頻平面維納濾波在高分辨心電圖的應用對每次觀測用短時傅立葉變換求時頻表示（TFR）：對N次觀測的時頻表示（TFR）求平均：樣本平均為：樣本平均的時頻表示（TFR）為：25/315.4維納濾波器的應用……2023/1/14得到一個基于樣本平均的簡單時－頻平面后驗維納濾波器：分別對和修正：26/315.4維納濾波器的應用……2023/1/14流程圖如下：27/315.4維納濾波器的應用2023/1/14結果如下：（a）原信號是兩個正弦波，觀測信號混有白噪聲測量的單個樣本樣本平均TFPW濾波原始信號（b）原信號是線性調頻信號，觀測信號混有白噪聲測量的單個樣本樣本平均TFPW濾波原始信號28/31本章小結2023/1/141、掌握：維納濾波的數學模型；2、熟悉：維納濾波器的時域解；3、了解：維納預測器和維納濾波的應用。29/31本章習題2023/1/141、總結和歸納維納濾波器。30/312023/1/14下集預告第六章卡爾曼濾波31/31實驗三詳解……2023/1/14clearallnp=0:99;%p=sin(pi/5*np);%正弦%p=exp(-0.06*np);%指數衰減%p=sin(pi/5*np).*exp(-0.06*np);%指數衰減正弦p=ones(size(np));%方波figure;subplot(2,2,1);plot(np,p);n=0:1000;w=randn(size(n));s=zeros(size(n));A=3;%衰減系數s(100:199)=s(100:199)+A*p;s(500:599)=s(500:599)+A/3*p;s(800:899)=s(800:899)+A/3/3*p;x=s+w;figure;subplot(3,1,1);plot(n,w);title('Noise');subplot(3,1,2);plot(n,s);title('Signal');subplot(3,1,3);plot(n,x);title('SignalwithNoise');p=[p,zeros(1,length(x)-length(p))];%如果要求歸一化相關系數（相干系數），兩個序列要同樣長Rpw=xcorr(w,p,'coeff');Rps=xcorr(s,p,'coeff');Rpx=xcorr(x,p,'coeff');n2=(n(1)-n(end)):(n(end)-n(1));figure;subplot(3,1,1);plot(n2,Rpw);title('Rpwofp(n)andw(n)');title('Rpwofp(n)andw(n)');subplot(3,1,2);plot(n2,Rps);title('Rpsofp(n)ands(n)');title('Rpsofp(n)ands(n)');subplot(3,1,3);plot(n2,Rpx);title('Rpxofp(n)andx(n)');title('Rpxofp(n)andx(n)');源程序：32/31實驗三詳解……2023/1/141、模板為方波信號，A=3，噪聲均值為0，方差為133/31實驗三詳解……2023/1/142、模板為正弦信號，A=3，噪聲均值為0，方差為134/31實驗三詳解……2023/1/143、模板為指數衰減信號，A=3，噪聲均值為0，方差為135/31實驗三詳解……2023/1/144、模板為指數衰減正弦信號，A=3，噪聲均值為0，方差為136/31實驗三詳解……2023/1/145、只改變模板信號的形狀，A=3，噪聲均值為0，方差為1方波正弦波指數衰減波指數正弦衰減波37/31實驗三詳解……2023/1/146、模板信號為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為0.5、1和2噪聲均值為0，方差為0.5噪聲均值為0，方差為1噪聲均值為0，方差為238/31實驗三詳解……2023/1/147、模板信號為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數：線性互相干函數線性互相關函數線性卷積函數39/31實驗三詳解……2023/1/148、模板信號為正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數：線性互相干函數線性互相關函數線性卷積函數40/31實驗三詳解……2023/1/149、模板信號為指數衰減波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數：線性互相干函數線性互相關函數線性卷積函數41/31實驗三詳解2023/1/1410、模板信號為指數衰減正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數：線性互相干函數線性互相關函數線性卷積函數42/31實驗三詳解2023/1/1411、模板信號為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，2種循環函數：1001點循環相關函數1001點循環卷積函數Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*Vps;Vpx=circler(p);Cpx=x*Vpx;Vpw=circlel(p);Rpw=w*Vpw;Vps=circlel(p);Rps=s*Vps;Vpx=circlel(p);Rpx=x*Vpx;43/31實驗三詳解2023/1/1412、模板信號為正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，2種循環函數：1001點循環相關函數1001點循環卷積函數Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*