2022-2023學年內蒙古自治區呼和浩特市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設y=2-cosx，則y'=

A.1-sinxB.1+sinxC.-sinxD.sinx

2.方程z=x2+y2表示的二次曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.圓錐面

D.拋物面

3.設f(xo)=0，f(xo)<0，則下列結論中必定正確的是

A.xo為f(x)的極大值點

B.xo為f(x)的極小值點

C.xo不為f(x)的極值點

D.xo可能不為f(x)的極值點

4.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

5.設球面方程為(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4，則該球的球心坐標與半徑分別為()A.(-1，2，-3)；2B.(-1，2，-3)；4C.(1，-2，3)；2D.(1，-2，3)；4

6.

7.

8.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

9.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

10.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

11.

12.設y=lnx，則y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

13.

14.鑒別的方法主要有查證法、比較法、佐證法、邏輯法。其中（）是指通過尋找物證、人證來驗證信息的可靠程度的方法。

A.查證法B.比較法C.佐證法D.邏輯法

15.

16.設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，則在(0，1)內曲線y=f(x)的所有切線中()．A.A.至少有一條平行于x軸B.至少有一條平行于y軸C.沒有一條平行于x軸D.可能有一條平行于y軸17.設()．A.A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確18.（）。A.

B.

C.

D.

19.

A.(-2，2)

B.(-∞，0)

C.(0，+∞)

D.(-∞，+∞)

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

25.

26.

27.28.29.設y=5+lnx，則dy=________。

30.

31.

32.

33.

34.

35.曲線y=1-x-x3的拐點是__________。

36.微分方程y"+y=0的通解為______．

37.

38.函數的間斷點為______．

39.

40.

三、計算題(20題)41.42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．43.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．44.

45.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．46.47.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．48.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

49.

50.51.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

54.

55.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.

57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.求微分方程的通解．59.證明：60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.計算∫tanxdx．62.63.

64.

65.66.

67.

68.將f(x)=e-2x展開為x的冪級數．

69.求y=xex的極值及曲線的凹凸區間與拐點．70.五、高等數學(0題)71.求y=ln(x2+1)的凹凸區間，拐點。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D解析：y=2-cosx，則y'=2'-(cosx)'=sinx。因此選D。

2.D對照標準二次曲面的方程可知z=x2+y2表示的二次曲面是拋物面，故選D．

3.A

4.B

5.C

6.A解析：

7.B解析：

8.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛頓－萊布尼茨公式．

可知應選D．

9.C

10.C

11.C

12.D由于Y=lnx，可得知，因此選D．

13.B

14.C解析：佐證法是指通過尋找物證、人證來驗證信息的可靠程度的方法。

15.D

16.A本題考查的知識點有兩個：羅爾中值定理；導數的幾何意義．

由題設條件可知f(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理，因此至少存在一點ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．這表明曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線必定平行于x軸，可知A正確，C不正確．

如果曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線平行于y軸，其中ξ∈(0，1)，這條切線的斜率為∞，這表明f'(ξ)=∞為無窮大，此時說明f(x)在點x=ξ不可導．因此可知B，D都不正確．

本題對照幾何圖形易于找出解答，只需依題設條件，畫出一條曲線，則可以知道應該選A．

有些考生選B，D，這是由于不明確導數的幾何意義而導致的錯誤．

17.D

18.A

19.A

20.A21.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本題考查的知識點為平面與直線的方程．

由題設條件可知應該利用點法式方程來確定所求平面方程．

所給直線z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直線1，則平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．則由平面的點法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

為所求平面方程．

或寫為3x-y＋z－5＝0．

上述兩個結果都正確，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0稱為平面的點法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

稱為平面的－般式方程．

22.2

23.1

24.0因為sinx為f(x)的一個原函數，所以f(x)=(sinx)"=cosx，f"(x)=-sinx。

25.22解析：

26.-3e-3x-3e-3x

解析：

27.

28.0

本題考查的知識點為無窮小量的性質．

29.

30.

31.

32.y=xe+Cy=xe+C解析：

33.

34.

35.(01)36.y=C1cosx+C2sinx本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

特征方程為r2+1=0，特征根為r=±i，因此所給微分方程的通解為y=C1cosx+C2sinx．

37.00解析：38.本題考查的知識點為判定函數的間斷點．

僅當，即x=±1時，函數沒有定義，因此x=±1為函數的間斷點。

39.

40.

41.42.函數的定義域為

注意

43.

44.

則

45.

46.

47.

48.

49.由一階線性微分方程通解公式有

50.

51.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

52.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.

列表：

說明

54.

55.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

56.

57.由二重積分物理意義知

58.

59.

60.由等價無窮小量的定義可知

61.

；本題考查的知識點為定積分的換元積分法．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.解

69.y=xex

的定義域為(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex．令y'=0，得駐點x1=-1．令y"=0，得x2=-2．

極小值點為x=-1，極小值為

曲線的凹區間為(