2022-2023學年湖南省株洲市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.A.A.∞B.1C.0D.－1

3.

4.下列命題不正確的是()。

A.兩個無窮大量之和仍為無窮大量

B.上萬個無窮小量之和仍為無窮小量

C.兩個無窮大量之積仍為無窮大量

D.兩個有界變量之和仍為有界變量

5.若，則()。A.-1B.0C.1D.不存在

6.下列關系正確的是()。A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.A.6YB.6XYC.3XD.3X^2

10.設z=y2x，則等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

11.

12.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，Fn沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

13.擺動導桿機構如圖所示，已知φ=ωt(ω為常數)，O點到滑竿CD間的距離為l，則關于滑竿上銷釘A的運動參數計算有誤的是()。

A.運動方程為x=ltan∮=ltanωt

B.速度方程為

C.加速度方程

D.加速度方程

14.以下結論正確的是（）．

A.

B.

C.

D.

15.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

16.設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，則在(0，1)內曲線y=f(x)的所有切線中()．A.A.至少有一條平行于x軸B.至少有一條平行于y軸C.沒有一條平行于x軸D.可能有一條平行于y軸

17.

18.

19.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

20.A.

B.x2

C.2x

D.

二、填空題(20題)21.

22.設區域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

23.如果函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

24.

25.

26.

27.微分方程y"+y=0的通解為______．

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.已知當x→0時，-1與x2是等價無窮小，則a=________。

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.

44.

45.

46.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

47.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

48.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

50.

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

53.證明：

54.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

55.求微分方程的通解．

56.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

59.

60.

四、解答題(10題)61.

62.設y=e-3x+x3，求y'。

63.

64.

65.計算

66.

67.

68.

69.已知f(x)在[a，b]上連續且f(a)=f(b)，在（a，b)內f''(x)存在，連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，試證在（a，b)內至少有一點ξ使得f''(ξ)=0.

70.

五、高等數學(0題)71.設生產某產品利潤L(x)=5000+x一0．0001x2百元[單位：件]，問生產多少件時利潤最大，最大利潤是多少?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

2.C本題考查的知識點為導數的幾何意義．

3.D

4.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是無窮大。

5.D不存在。

6.B由不定積分的性質可知，故選B．

7.D解析：

8.D

9.D

10.D本題考查的知識點為偏導數的運算．

z=y2x，若求，則需將z認定為指數函數．從而有

可知應選D．

11.A解析：

12.C

13.C

14.C

15.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

16.A本題考查的知識點有兩個：羅爾中值定理；導數的幾何意義．

由題設條件可知f(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理，因此至少存在一點ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．這表明曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線必定平行于x軸，可知A正確，C不正確．

如果曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線平行于y軸，其中ξ∈(0，1)，這條切線的斜率為∞，這表明f'(ξ)=∞為無窮大，此時說明f(x)在點x=ξ不可導．因此可知B，D都不正確．

本題對照幾何圖形易于找出解答，只需依題設條件，畫出一條曲線，則可以知道應該選A．

有些考生選B，D，這是由于不明確導數的幾何意義而導致的錯誤．

17.A解析：

18.C

19.B本題考查的知識點為不定積分運算．

因此選B．

20.C

21.

22.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

23.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

24.

25.

26.0本題考查了利用極坐標求二重積分的知識點.

27.y=C1cosx+C2sinx本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

特征方程為r2+1=0，特征根為r=±i，因此所給微分方程的通解為y=C1cosx+C2sinx．

28.

29.

本題考查的知識點為定積分運算．

30.

31.(03)(0,3)解析：

32.y=xe+Cy=xe+C解析：

33.

34.當x→0時，-1與x2等價，應滿足所以當a=2時是等價的。

35.y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)解析：

36.

37.

解析：

38.

39.1/2本題考查的知識點為極限的運算．

40.1/21/2解析：

41.

42.由二重積分物理意義知

43.

44.

45.

46.

47.由等價無窮小量的定義可知

48.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

49.

50.

51.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

52.

53.

54.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

55.

56.

列表：

說明

57.

58.函數的定義域為

注意

59.

則

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.

62.

63.

64.

65.

本題考查的知識點為不定積分的運算．

需指出，由于不是標準公式的形式，可以利用湊微分法求解．

66.

67.

68.

69.由題意知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)內有一點η1，使得f'(η1)=0，在（c，6)內有一點η2，使得f'(η2）=0，這里a＜η1＜c＜b，再由羅爾定理，知在(η1，η2)內有一點ξ使得f''(ξ)=0.

70.本題考查的知識點為隱函數的求導．求解的關鍵是將所給方程認作y為x的隱函數．

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(