★線性代數基本內容、方法及要求第一部分行列式【主要內容】1、行列式的定義、性質、展開定理、及其應用——克萊姆法則2、排列與逆序3、方陣的行列式4、幾個重要公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）為階方陣，為常數）（其中5、行列式的常見計算方法：（1）利用性質化行列式為上（下）三角形；（2）利用行列式的展開定理降階；（3）根據行列式的特點借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟記幾個特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會求一個排列的逆序數。3、能熟練應用行列式的性質、展開法則準確計算3-5階行列式的值。4、會計算簡單的階行列式。5、知道并會用克萊姆法則。第二部分矩陣【主要內容】1、矩陣的概念、運算性質、特殊矩陣及其性質。2、方陣的行列式3、可逆矩陣的定義、性質、求法（公式法、初等變換法、分塊對角陣求逆）。4、階矩陣可逆為非奇異(非退化)的矩陣。為滿秩矩陣。只有零解有唯一解的行（列）向量組線性無關的特征值全不為零。可以經過初等變換化為單位矩陣。可以表示成一系列初等矩陣的乘積。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質及其二者之間的關系。6、矩陣秩的概念及其求法（（1）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運算：加法，數乘，乘法以及分塊矩陣求逆。【要求】1、了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對角矩陣，上、下三角形矩陣，對稱矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性質。2、熟悉矩陣的加法，數乘，乘法，轉置等運算法則，會求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關系。4、掌握矩陣可逆的充要條件，會求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分向量組的線性相關性【主要內容】1、向量、向量組的線性表示：設有單個向量，向量組：（1）向量可被向量組線性表示，向量組：，則（2）向量組可被向量組線性表示（3）向量組與向量組等價的充分必要條件是：（4）基本題型：判斷向量或向量組是否可由向量組線性表示？如果能，寫出表達式。解法：以向量組：以及向量或向量組:為列向量構成矩陣，并對其進行初等行變換化為簡化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關性判別向量組的線性相關、線性無關的常用方法：方法一：（1）向量方程（2）向量方程方法二：求向量組的秩（1）秩只有零解向量組向量組線性無關；線性相關。有非零解小于個數s等于個數s向量組線性相關（2）秩向量組線性無關。（3）特別的，如果向量組的向量個數與向量的維數相同，則向量組線性無關向量組線性相關以向量組以向量組為列向量的矩陣的行列式非零；為列向量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無關組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎解系的關系）及其求法。基本題型：判斷向量組的相關性以及求出向量組的極大無關組。4、等價向量組的定義、性質、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關系。【要求】1、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個向量組等價的含義。2、掌握向量組線性相關、線性無關的定義，并會判斷一個具體向量組的線性相關性。3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關系，會求一個具體向量組的秩及其極大無關組。4、了解向量空間及其基和維數的概念。第四部分線性方程組【主要內容】1、齊次線性方程組2、齊次線性方程組3、非齊次線性方程組4、非齊次線性方程組特別地，1）增廣矩陣非齊次線性方程組2）增廣矩陣只有零解有非零解無解系數矩陣的秩未知量個數n；系數矩陣的秩未知量個數n.增廣矩陣增廣矩陣秩系數矩陣的秩；秩系數矩陣的秩有解的秩系數矩陣的秩未知量個數n有唯一解；的秩系數矩陣的秩未知量個數n非齊次線性方程組有無窮多解。【要求】1、掌握齊次線性方程組解的性質、基礎解系的求法，2、掌握非齊次線性方程組解的結構，熟悉非齊次線性方程組有解的等價條件。3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關系。4、會求解非齊次線性方程組。第五部分相似矩陣及二次型【主要內容】1、向量的內積、長度、夾角等概念及其計算方法。2、向量的正交關系及正交向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計算方法。（1）特征值求法：解特征方程（2）特征向量的求法：求方程組；的基礎解系。5、相似矩陣的定義（）、性質(相似、、有相同的特征值)。6、判斷矩陣是否可以對角化以及對角化的步驟，找到可逆矩陣P使得7、用正交變換法化二次型為標準形的步驟:（將實對稱矩陣對角化）（1）寫出二次型的矩陣.為對角矩陣。（2）求出的所有特征值（3）解方程組（）求對應于特征值的特征向量（4）若特征向量組不正交，則先將其正交化，再單位化，得標準正交的向量組，記，對二次型做正交變換,即得二次型的標準形8、正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的內積、長度、夾角，正交向量組的性質，會利用施密特正交化方法化線性無關向量組為正交向量組。2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩陣的概念、掌握化對稱矩陣為對角矩陣的方法。4、掌握二次型的概念、會用正交變換化二次型為標準形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。★★線性代數練習題一、單項選擇題1、行列式（A）中，元素的代數余子式是（B）（C）（D）2、二階行列式的值為(A)(B)(C)(D)3、設行列式（A）2，則k的取值為（）（C）0（D）-3或2（B）-2或34、若行列式（A）1=1，則（C）0=（B）2（D）5、設a，b，c，d為常數，則下列等式成立的是（A）（C）（B）（D）是中元素6、設階行列式=，的代數余子式，則下列各式中正確的是(A)(C)(B)(D)7、設（A）(C)均為階可逆矩陣，則下列各式成立的是(B)(D)8、設為3階方陣，且行列式，則(A)-8(B)-2(C)2(D)89、設為階方陣且滿足，則(A)或或(B)(D)(C)10、設（A）（C）為階可逆方陣，則下列各式必成立的是（B）（D）11、設矩陣，，則(A)(B)(C)（1,0,6）(D)712、設行矩陣則,，且（A）1（B）-1（C）2.（D）-213、下列命題正確的是B（A）若矩陣（B）若矩陣滿足滿足，則有，則矩陣或都可逆。（C）若是階矩陣的伴隨矩陣，則（D）若14、設(A)4，則為三階矩陣,,,則=(B)1(C)16(D)15、下列說法不正確的是(A）相似矩陣有相同的特征值。(B）階矩陣可對角化的充要條件是它有個不同的特征值。(C）元齊次線性方程組有非零解的充要條件是。（D）正交的向量組一定是線性無關的。16、維向量組線性無關的充要條件是(A)存在一組不全為零的數使(B)(C)(D)中任意兩個向量線性無關中存在一個向量可由其它向量線性表出中任何一個都不能由其它向量線性表出17、向量組，，，的秩為.（A）（B）（C）（D）18、設均為階可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是.（A）（C）（B）（D）19、設，，且，則(A)(B)(C)(D)20、設A可逆，則的解是(A)(B)(C)(D)21、下列說法正確的是()。(A)任何矩陣經過初等行變換都可化為單位矩陣。(B)設方陣A是非奇異性的，A經過初等行變換得到階梯陣B，則方陣B為奇異的。(C)初等矩陣都是可逆的。(D)矩陣經過初等行變換后，其秩會發生改變。22、設A，B都是可逆矩陣，則AB的逆是（A）（B）（C）（D）23、設，則(A)3(B)2(C)1(D)024、設是階方陣,若(A)0(B)1(C)2,則的基礎解系所含向量的個數為(D)25、二次型的矩陣是(A)(B)(C)(D)二、填空題1.五階行列式的展開式共有項.2.行列式中元素的余子式=__________3.四階行列式4.矩陣的值是中的元素=__________5.若A，B為n階矩陣，則=__________6.設為3階方陣，且，則7.設矩陣，則8.設，則9.若A是可逆矩陣，則=__________10.設矩陣，則11．設，是兩個可逆矩陣，則分塊矩陣12．設矩陣的秩，則13．若向量組線性無關，且，則數14.向量組15.向量組，，，中不能由其余向量線性表示的是的秩為____________16．在線性方程組為_________中，若未知量的個數n=5，，則方程組的一般解中自由未知量的個數17．設4元線性方程組的系數矩陣的秩為3，且為其兩個解，則的通解為18．設向量組線性無關，則向量組（填線性相關，線性無關）。19．設元線性方程組有解，則當時，有無窮多解。20．若3階方陣的特征值分別為1，-1，2，則的特征值為21．已知階矩陣的特征值都不為零，則，的特征值為22．設向量組，，線性相關，則23.若向量與向量正交，則24．已知三階矩陣的特征值為，則，其對應的特征向量分別是25.若方陣與相似，則的特征值為___________相似,則26．若矩陣27．若二次型三、計算題與是正定的,則應滿足的條件是1、計算行列式2、設，，求。3、已知且，求矩陣X。4、設，其中求矩陣5、求的秩。6、求方陣的特征值與特征向量。7、求向量組，，，，，的一個極大無關組。8、已知向量組，，，，求該向量組的秩，并求其一個極大無關組。9、判斷線性方程組，當k為何值是有解？10、設線性方程組的一般解為，為自由變量，求的通解。11、設為3×4矩陣，，若非齊次線性方程組的三個解分別為：＝，＝，＝，求：（1）齊次線性方程組（2）非齊次線性方程組12、求一個正交變換的通解；的通解.，把下面的二次型化為標準形四、證明題1．設，證明：是對稱矩陣。2.證明：若向量是方陣的同時屬于特征值3．設是階方陣的不同特征值，，的特征向量，則有分別是的對應于的特征向量，證明：不是的特征向量.4．證明：若矩陣相似于，則線性代數模擬試題答案一、單項選擇題1、A2、B14、C15、B3、B4、D5、B6、C7、A8、A9、C10、B11、A12、C13、B24、C16、D17、C18、C19、C20、D21、C22、D23、B25、B二、填空題1、5!2、3、249、4、15、6、87、8、10、13、11、12、14、15、316、217、（注：此題答案不唯一）18、線性無關19、小于n20、21、22、223、524、25、26、27、三、計算題1、解：2、解：3、解：=存在，用右乘方程兩邊，得又所以，4、解：=及存在，且將已知等式整理得：所以5、解：對矩陣施行初等行變換得，所以6、解：矩陣的特征多項式為：令當，解得的特征值為：時，求解齊次線性方程組的基礎解系，由得對應的方程組為,從而解得基礎解系于是屬于特征值的全部特征向量為，其中k為任意非零常數。當時，求解齊次線性方程組的基礎解系，由得對應的方程組為于是屬于特征值,從而解得基礎解系，其中數的全部特征向量為是不同時為零的任意常數。7、解：以已知向量組為列向量構成矩陣，并對其進行初等行變換得，所以，所求向量組的極大無關組為：。8、解：記矩陣，對其進行初等變換得由最后一個矩陣可知從而所求向量組的秩為3，又因為非零行非零首元所在的列依次為1，2，5列所以為其中一個極大無關組（或也對）9、解：已知方程組的增廣矩陣為：對施行初等行變換得：程組有解。所以當，即時，方10、解：已知方程組對應的齊次線性方程組的一般解為（為自由變量）令則得：；令得：；為齊次方程組的基礎解系；再令所以，得非齊次方程組的特解：。的通解為：11、解：（1）由已知條件可知，齊次方程組含基礎解系個數為2個向量，因為＝，＝，＝，為非齊次方程組的解，所以為齊次方程組線性無關的解又因為所以的通解為：（2）由（1）及非齊次方程組解的結構，不難得知：非齊次方程組的通解為：（注：此題答案不唯一）12、解：已知二次型的矩陣為：的特征