初中九年級數學上冊第13講：實際問題與二次函數一：知識點講解知識點一：利用二次函數解決實際生活問題的一般方法及幾何圖形的最值問題應用二次函數解決世界問題的根本思路：審：審清題意，理解問題設：分析問題中的變量、常量，以及它們之間的關系，設出變量列：用函數解析式表示它們之間的關系〔建立數學模型〕解：借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題檢：檢驗結果，得出符合實際意義的結論答：根據題意及解答，寫出答案利用二次函數求解幾何圖形的最值問題：求有關幾何圖形面積〔體積〕的最值問題，往往可轉化成求二次函數的最值問題，需要借助幾何圖形，建立變量之間的二次函數關系，利用二次函數的性質求最值。幾何圖形的最值問題以面積最值問題居多，假設幾何圖形為規那么圖形，那么由面積公式直接計算〔如三角形、平行四邊形等〕；假設幾何圖形為不規那么圖形，多采用分割法求解，即把圖形分解為幾個規那么圖形，再求它們的面積的和或差。例1：工人師傅用一塊長為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形。〔厚度不計〕當長方體底面面積為12dm2時，裁掉的正方形邊長多大？假設要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍，并將容器進行防銹處理，側面每平方分米的費用為元，底面每平方分米的費用為2元，裁掉的正方形邊長多大時，總費用最低，最低為多少？知識點二：二次函數的最值在銷售問題中的應用利用二次函數解決實際生活中的利潤問題，應認清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使用，同時考慮問題要全面。此類問題一般是先運用“總利潤=總售價-總本錢〞或“總利潤=每件商品所獲利潤×銷售數量〞，建立利潤與價格之間的二次函數關系式，求出這個函數關系式的頂點坐標，即求得最大利潤。例2：某網絡經銷商銷售一款夏季時裝，進價每件60元，售價每件130元，每天銷售30件，每銷售一件需繳納網絡平臺管理費4元。未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元〞的促銷活動，即從第一天起每天的單價均比前一天降1元，通過市場調查發現，該時裝單價每降1元，每天銷售量增加5件，設第天〔且為整數〕的銷量為件。直接寫出與的函數關系式在這30天內，哪一天的利潤是6300元？設第天的利潤為W元，試求出W與之間的函數關系式，并求出哪一天的利潤最大，最大利潤是多少？知識點三：利用二次函數解拋物線形狀問題拋物線形建筑物有拱形橋洞、涵洞、拱形門窗等運動路線問題：運發動空中跳躍軌跡、球類運行的軌跡、碰頭噴出的水的軌跡等具體方法：建立適當的平面直角坐標系，將拋物線形狀的圖形放置在坐標系中從和圖象中獲得求二次函數表達式所需要的條件利用待定系數法，求出拋物線的表達式運用已求出的拋物線的表達式去解決相關問題解題技巧：一般把拋物線的頂點作為坐標系的原點建立平面直角坐標系，用待定系數法求二次函數的表達式時，可設表達式為例3：甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一局部，如以下圖，甲在O點正上方1m的P處發出一球，羽毛球飛行的高度(m)與水平距離(m)之間滿足函數表達式，點O與球網的水平距離為5m，球網的高度為。當時，求的值，并通過計算判斷此球能否過網假設甲發球過網后，羽毛球飛行到與點O的水平距離為7m，離地面的高度為m的Q處時，乙扣球成功，求的值二：知識點復習知識點一：利用二次函數解決實際生活問題的一般方法及幾何圖形的最值問題如以下圖，假設籬笆〔虛線局部〕的長度是16m，那么所圍成矩形ABCD的最大面積是〔〕A.60m2B.63m2C.64m2D.66m2某農場擬建三間長方形種牛飼養室，飼養室的一面靠墻〔墻長50m〕，中間用兩道墻隔開〔如以下圖〕。方案中的建筑材料可建墻的總長度為48m，那么這三間長方形種牛飼養室的總占地面積的最大值為m2知識點二：二次函數的最值在銷售問題中的應用某工藝品的進價為100元，標價135元出售，每天可售出100件，根據銷售統計，該工藝品每降價1元，那么每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，那么每件需降價〔〕A.元B.5元C.10元D.12元某商店經銷一種雙肩包，這種雙肩包的本錢價為每個30元。市場調查發現，這種雙肩包每天的銷售量(個)與銷售單(元)，有如下關系：。設這種雙肩包每天的銷售利潤為元。求與之間的函數解析式這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？如果物價部門規定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？知識點三：利用二次函數解拋物線形狀問題某體育公園的圓形噴水池的水柱如以下圖①所示，如果曲線APB的表示落點B，離點O最遠的一條水流〔如以下圖②〕，其上的水珠的高度(米)關于水平距離(米)的函數解析式為，那么圖形水池的半徑至少為米時，才能使噴出的水不落在水池外。如以下圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m，寬是4m，按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點C到墻面OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m求該拋物線的函數關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后，高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向行車道，那么這兩貨車能否平安通過？在拋物線形狀拱璧上需要安裝兩排等，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排等的水平距離最小是多少？三：題型分析題型一：二次函數與一次函數在利潤問題中的綜合應用例1：某超市銷售一種商品，本錢每千克40元，規定每千克售價不低于本錢，且不高于80元。經市場調查，每天的銷售量(千克)與每千克售價(元)滿足一次函數關系，局部數據如下表：售價(元)506070銷售量(千克)1008060求與之間的函數表達式設商品每天的總利潤為W(元)，求W與之間的函數表達式〔利潤=收入-本錢〕試說明第2小題中，總利潤W隨售價的變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？題型二：綜合應用二次函數模型求解拋物線形狀的實際問題例2：隨著新農村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了一個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高2米的噴水管，它噴出的拋物線形狀水柱在與池中心的水平距離為1米處到達最高，水柱落地處離池中心3米。請你簡歷適當的直角坐標系，并求出水柱拋物線的函數解析式求出水柱的最大高度是多少？題型三：“函數圖象〞架起方程〔不等式〕通往函數的“橋梁〞例3：函數與函數的圖象如以下圖所示，有以下結論：①；②；③；=4\*GB3④方程組的解為，；=5\*GB3⑤當時，。其中正確的選項是〔〕A.①②③B.②③=4\*GB3④C.③=4\*GB3④=5\*GB3⑤D.②③=5\*GB3⑤四：習題1：選擇題如以下圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，動點P從點A開始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動〔不與點B重合〕，動點Q從點B開始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動〔不與點C重合〕。如果P、Q分別從A、B同時出發，那么經過秒，四邊形APQC的面積最小〔〕A.1B.2C.3D.4教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度(m)與水平距離(m)之間的關系為，由此可知鉛球能到達的最大高度為〔〕A.10mB.3mC.4mD.2m或10m如以下圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀〔拋物線所在平面與墻面垂直〕。如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面m，那么水流落地點B離墻的距離OB是〔〕A.2mB.3mC.4mD.5m足球運發動將足球沿著與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度(m)與足球被踢出后經過的時間(s)之間的關系如下表：01234567…08141820201814…以下結論：足球距離地面的最大高度為20m；足球飛行路線的對稱軸是直線；足球被踢出9s后落地；足球被踢出時，距離地面的高度是11m。其中正確結論的個數是〔〕A.1B.2C.3D.4甲、乙兩人利用一段舊直墻MN與長為32m的籬笆圍成一個外形為矩形的花圃。原舊直墻MN的最大可利用長度為8m，求圍成的花圃的最大面積。甲的方案：如以下圖①，用32m的籬笆作為矩形的三條邊，設BC=m，圍成的花圃面積為m2，那么，由于BC≤MN，那么當時，圍成的花圃的面積最大，為96m2；乙的方案：如以下圖②，利用舊直墻和籬笆共40m圍成矩形花圃，設BC=m，圍成的花圃面積為m2，那么，當時，圍成的花圃的面積最大，為100m2。你認為以下結論正確的選項是〔〕A.甲對B.乙對C.兩人都不對D.不能確定2：填空題科學家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的環境中，經過一定時間后，測試出這種植物高度的增長情況，局部數據如下表：溫度/℃-4-2014植物高度增長量/mm4149494625科學家經過猜測、推測，得出與之間的二次函數關系，由此可以推測出最適合這種植物生長的溫度為℃。如以下圖，一塊鐵皮邊緣是由拋物線和線段AB組成的，測得AB=20cm，拋物線的頂點到AB邊的距離為25cm。現要沿AB邊向上一次截取寬度均為4cm的矩形鐵皮，從下往上一次式第一塊，第二塊，……。截得鐵皮中一塊是正方形，那么這塊正方形鐵皮是第塊。某商品進貨單價為30元，按40元一個銷售能賣40個；假設銷售單價每漲1元，那么銷量減少1個。為了獲得最大利潤，此商品的最正確售價應為元。如以下圖，一拋物線拱橋，當拱頂到水面的距離為2米時，水面高度為4米，那么當水位下降1米后，水面的寬度為米。圖以下圖，這是一傳媒公司寓意為“大鵬展翅〞的大門建筑截面圖，它是兩條關于頂點成中心對稱的拋物線，開口朝向左右，頂點是邊長為4米的