.PAGE.解析幾何題庫一、選擇題1.已知圓C與直線x－y=0及x－y－4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為A.B.C.D.[解析]圓心在x＋y＝0上,排除C、D,再結合圖象,或者驗證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑EQ\r<2>即可.[答案]B2.直線與圓的位置關系為〔A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離[解析]圓心為到直線,即的距離,而,選B。[答案]B3.圓心在軸上,半徑為1,且過點〔1,2的圓的方程為〔A． B．C． D．解法1〔直接法：設圓心坐標為,則由題意知,解得,故圓的方程為。解法2〔數形結合法：由作圖根據點到圓心的距離為1易知圓心為〔0,2,故圓的方程為解法3〔驗證法：將點〔1,2代入四個選擇支,排除B,D,又由于圓心在軸上,排除C。[答案]A4.點P〔4,－2與圓上任一點連續的中點軌跡方程是〔A.B.C.D.[解析]設圓上任一點為Q〔s,t,PQ的中點為A〔x,y,則,解得：,代入圓方程,得〔2x－42＋〔2y＋22＝4,整理,得：[答案]A5.已知直線平行,則k得值是〔A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2[解析]當k＝3時,兩直線平行,當k≠3時,由兩直線平行,斜率相等,得：＝k－3,解得：k＝5,故選C。[答案]C6.過圓的圓心,作直線分別交x、y正半軸于點A、B,被圓分成四部分〔如圖,若這四部分圖形面積滿足則直線AB有〔〔A0條〔B1條〔C2條〔D3條[解析]由已知,得：,第II,IV部分的面積是定值,所以,為定值,即為定值,當直線AB繞著圓心C移動時,只可能有一個位置符合題意,即直線AB只有一條,故選B。[答案]B7.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為A.B.2C.D.2[答案]D二、填空題8.以點〔2,為圓心且與直線相切的圓的方程是.[解析]將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程為[答案]9.設直線的參數方程為〔t為參數,直線的方程為y=3x+4則與的距離為_______[解析]由題直線的普通方程為,故它與與的距離為。[答案]10.若圓與圓的公共弦長為,則a=________.[解析]由已知,兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為,利用圓心〔0,0到直線的距離d為,解得a=1.[答案]111.若直線被兩平行線所截得的線段的長為,則的傾斜角可以是①②③④⑤其中正確答案的序號是.〔寫出所有正確答案的序號[解析]解：兩平行線間的距離為,由圖知直線與的夾角為,的傾斜角為,所以直線的傾斜角等于或。[答案]①⑤12.已知為圓:的兩條相互垂直的弦,垂足為,則四邊形的面積的最大值為。[解析]設圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積[答案]513.已知圓O：和點A〔1,2,則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于[解析]由題意可直接求出切線方程為y-2=<x-1>,即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和,所以所求面積為。[答案]14.過原點O作圓x2+y2－6x－8y＋20=0的兩條切線,設切點分別為P、Q,則線段PQ的長為。[解析]可得圓方程是又由圓的切線性質及在三角形中運用正弦定理得.[答案]415.．設直線系,對于下列四個命題：．中所有直線均經過一個定點．存在定點不在中的任一條直線上．對于任意整數,存在正邊形,其所有邊均在中的直線上．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是〔寫出所有真命題的代號．[解析]因為所以點到中每條直線的距離即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,所以A錯誤；又因為點不存在任何直線上,所以B正確；對任意,存在正邊形使其內切圓為圓,故正確；中邊能組成兩個大小不同的正三角形和,故D錯誤,故命題中正確的序號是B,C.[答案]三、解答題16.〔本小題滿分16分在平面直角坐標系中,已知圓和圓.〔1若直線過點,且被圓截得的弦長為,求直線的方程；〔2設P為平面上的點,滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標。解<1>設直線的方程為：,即由垂徑定理,得：圓心到直線的距離,結合點到直線距離公式,得：化簡得：求直線的方程為：或,即或<2>設點P坐標為,直線、的方程分別為：,即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,兩圓半徑相等。由垂徑定理,得：：圓心到直線與直線的距離相等。故有：,化簡得：關于的方程有無窮多解,有：解之得：點P坐標為或。2005—20XX高考題一、選擇題1.等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與x-7y-4=0,原點在等腰三角形的底邊上,則底邊所在直線的斜率為 〔.A．3 B．2 C．D．答案A解析,,設底邊為由題意,到所成的角等于到所成的角于是有再將A、B、C、D代入驗證得正確答案是A。2.原點到直線的距離為 〔A．1 B．C．2 D．答案D解析。3.將直線繞原點逆時針旋轉,再向右平移１個單位長度,所得到的直線為 <>A. B.C. D.答案A4.如圖,在平面直角坐標系中,是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點C、D的定圓所圍成的區域〔含邊界,A、B、C、D是該圓的四等分點．若點、點滿足且,則稱P優于．如果中的點滿足：不存在中的其它點優于Q,那么所有這樣的點Q組成的集合是劣弧 〔Ａ．B． C．D．答案D5.若直線與圓相交于P、Q兩點,且∠POQ＝120°〔其中O為原點,則k的值為 〔A.-或 B. C.-或 D.答案A6.""是"直線平行于直線"的〔A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案C7．圓的切線方程中有一個是 〔A.x－y＝0B.x＋y＝0C.x＝0D.y＝0答案C8.設直線的方程是,從1,2,3,4,5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值,則所得不同直線的條數是〔 A．20B．19 C．18 D．16答案C9.設直線過點,且與圓相切,則的斜率是工 〔A. B. C. D.答案C10.若直線按向量平移后與圓相切,則c的值為〔A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8答案A11."m="是"直線<m+2>x+3my+1=0與直線<m－2>x+<m+2>y－3=0相互垂直"的 <>A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案B二、填空題12.已知圓C的圓心與點關于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于兩點,且,則圓C的方程為_______.答案13.已知直線與圓,則上各點到的距離的最小值為_______.答案14.經過圓的圓心,且與直線垂直的直線程是．答案15.如圖,是直線上的兩點,且．兩個半徑相等的動圓分別與相切于點,是這兩個圓的公共點,則圓弧,與線段圍成圖形面積的取值范圍是．答案16.圓心為且與直線相切的圓的方程是．答案<x-1>2+<y-1>2=217.已知變量x,y滿足約束條件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目標函數z=ax+y<其中a＞0>僅在點<3,1>處取得最大值,則a的取值范圍為___.答案a＞118.設實數x,y滿足.答案第二部分三年聯考匯編20XX聯考題一、選擇題1."a=3"是"直線與直線平行"的〔條件A．充要B．充分而不必要C．必要而不充分D．既不充分也不必要答案C2.直線x+y+1=0與圓的位置關系是〔A.相交B.相離C.相切D.不能確定答案C3.兩圓的位置關系是〔A．內切B．外切 C．相離D．內含答案B4.已知點P〔x,y是直線kx+y+4=0〔k>0上一動點,PA、PB是圓C：的兩條切線,A、B是切點,若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為〔A．3 B．C．D．2答案D5.已知實系數方程x2+ax+2b=0,的一個根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,則的取值范圍是〔A．〔EQ\f<1,4>,1 B．〔EQ\f<1,2>,１ Ｃ．〔－EQ\f<1,2>,EQ\f<1,4>Ｄ．〔０,EQ\f<1,3>答案A6.點到直線的距離不大于3,則的取值范圍是〔 A． B．C． D．或答案C7.已知圓的方程為,設圓中過點的最長弦與最短弦分別為、,則直線與的斜率之<>A. B.C. D.答案B8.直線和圓的關系是〔A.相離B.相切或相交C.相交 D.相切答案C9.過點的直線將圓<x-2>2+y2=9分成兩段弧,當其中的劣弧最短時,直線的方程是 〔 A．B．C．D．答案D二、填空題10.從圓<x-1>2+<y-1>2=1外一點向這個圓引切線,則切線長為．答案211.直線與直線關于點對稱,則b＝___________。答案212.過點C<６,-８>作圓的切線,切點為A、B,那么點C到直線AB的距離為____________。答案13.光線由點P<2,3>射到直線上,反射后過點Q<1,1>,則反射光線方程為.答案4x－5y＋1＝014.過的直線l與圓C：<x-1>2+y2=4交于A、B兩點,當∠ACB最小時,直線的方程為.答案2007—20XX聯考題一、選擇題1.已知點A〔3,2,B〔-2,7,若直線y=ax-3與線段AB的交點P分有向線段AB的比為4:1,則a的值為〔A．3 B．-3 C．9 D．-9答案D2.由直線上的點向圓<x-3>2+<y+2>2=1引切線,則切線長的最小值為 <>A.B.C.D.答案A3.圓被直線分成兩段圓弧,則較短弧長與較長弧長之比為 〔A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5答案B4.直線平分圓x2+y2-8x+2y-2=0的周長,則 〔A．3 B．5 C．－3 D．－5答案D5.把直線按向量平移后恰與相切,則實數的值為〔A．或 B．或 C．或 D．或答案C6.若圓上有且僅有兩個點到直線4x－3y－2=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是 〔A.〔４,6 Ｂ.［４,６ Ｃ.〔４,６］ Ｄ.［４,６］答案A7.已知直線ax+by-1=0<a,b不全為0>與圓x2+y2=50有公共點,且公共點橫、縱坐標均為整數,那么這樣的直線有〔條A.66B.72C.74D.78答案C二、填空題7.光線從點P〔－3,5射到直線l:3x-4y+4=0上,經過反射,其反射光線過點Q〔3,5,則光線從P到Q所走過的路程為. 答案88.圓為參數的標準方程是,過這個圓外一點P的該圓的切線方程是。答案<x－1>2＋<y－1>2＝1；x＝2或3x－4y＋6＝09.與圓相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有________條.答案410.設直線與圓<x-1>2+<y-2>2=4相交于A、B兩點,且弦長為,則a=。答案011.設直線的方程為,將直線繞原點按逆時針方向旋轉得到直線,則的方程是答案2x－y＋2＝012.若≠kx+2對一切x≥5都成立,則k的取值范圍是________.答案k>1/10或k<2/513.⊙M:x2+y2=4,點P<x0,y0>在圓外,則直線x0x+y0y=4與⊙M的位置關系是_____答案相交三、解答題14.已知：以點C<t,EQ\F<2,t>><t∈R,t≠0>為圓心的圓與軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點．〔1求證：△OAB的面積為定值；〔2設直線y=–2x+4與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的方程．解〔1,．設圓的方程是令,得；令,得,即：的面積為定值．〔2垂直平分線段．,直線的方程是．,解得：當時,圓心的坐標為,,此時到直線的距離,圓與直線相交于兩點．當時,圓心的坐標為,,此時到直線的距離圓與直線不相交,不符合題意舍去．圓的方程為．15.已知點的坐標分別是,,直線相交于點M,且它們的斜率之積為．〔1求點M軌跡的方程；〔2若過點的直線與〔1中的軌跡交于不同的兩點、〔在、之間,試求與面積之比的取值范圍〔為坐標原點．解〔1設點的坐標為,∵,∴．整理,得〔,這就是動點M的軌跡方程．〔2方法一由題意知直線的斜率存在,設的方程為〔①將①代入,得,由,解得．設,,則②令,則,即,即,且由②得,即．且且．解得且,且．∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．方法二由題意知直線的斜率存在,設的方程為①將①代入,整理,得,由,解得．設,,則②令,且.將代入②,得∴．即．∵且,∴且．即且．解得且．,且．故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．16.已知過點A〔0,1,且方向向量為,相交于M、N兩點.〔1求實數的取值范圍； 〔2求證：；〔3若O為坐標原點,且.解〔1由..17.在△ABC中,A點的坐標為〔3,0,BC邊長為2,且BC在y軸上的區間[-3,3]上滑動．〔1求△ABC外心的軌跡方程；〔2設直線l∶y＝3x＋b與〔1的軌跡交于E,F兩點,原點到直線l的距離為d,求的最大值．并求出此時b的值．解〔1設B點的坐標為〔0,,則C點坐標為〔0,＋2〔-3≤≤1,則BC邊的垂直平分線為y＝＋1①②由①②消去,得．∵,∴．故所求的△ABC外心的軌跡方程為：．〔2將代入得．由及,得．所以方程①在區間,2有兩個實根．設,則方程③在,2上有兩個不等實根的充要條件是：得∵∴又原點到直線l的距離為,∴∵,∴．∴當,即時,．第二節圓錐曲線第一部分五年高考薈萃20XX高考題20XX高考數學試題分類匯編——圓錐曲線一、選擇題1.設雙曲線〔a＞0,b＞0的漸近線與拋物線y=x2+1相切,則該雙曲線的離心率等于<>A.B.2C.D.[解析]設切點,則切線的斜率為.由題意有又解得:.[答案]C2.已知橢圓的右焦點為,右準線為,點,線段交于點,若,則=<>A.B.2C.D.3[解析]過點B作于M,并設右準線與x軸的交點為N,易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A[答案]A3.過雙曲線的右頂點作斜率為的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若,則雙曲線的離心率是<>A．B．C．D．[解析]對于,則直線方程為,直線與兩漸近線的交點為B,C,則有,因．[答案]C4.已知橢圓的左焦點為,右頂點為,點在橢圓上,且軸,直線交軸于點．若,則橢圓的離心率是〔A．B．C．D．[解析]對于橢圓,因為,則[答案]D5.點在直線上,若存在過的直線交拋物線于兩點,且,則稱點為"點",那么下列結論中正確的是〔A．直線上的所有點都是"點"B．直線上僅有有限個點是"點"C．直線上的所有點都不是"點"D．直線上有無窮多個點〔點不是所有的點是"點"[解析]本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力.屬于創新題型.本題采作數形結合法易于求解,如圖,設,則,∵,∴消去n,整理得關于x的方程〔1∵恒成立,∴方程〔1恒有實數解,∴應選A.[答案]A6.設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為<>.A.B.5C.D.[解析]雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故選D.[答案]D[命題立意]:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF<O為坐標原點>的面積為4,則拋物線方程為<>.A.B.C.D.[解析]拋物線的焦點F坐標為,則直線的方程為,它與軸的交點為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B.[答案]B[命題立意]:本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數形結合的數學思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數的符號不定而引發的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一.8.雙曲線的漸近線與圓相切,則r=<>A.B.2C.3D.6[解析]本題考查雙曲線性質及圓的切線知識,由圓心到漸近線的距離等于r,可求r=.[答案]A9.已知直線與拋物線C:相交A、B兩點,F為C的焦點。若,則k=<>Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.[解析]本題考查拋物線的第二定義,由直線方程知直線過定點即拋物線焦點〔2,0,由及第二定義知聯立方程用根與系數關系可求k=.[答案]D1０.下列曲線中離心率為的是Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.[解析]由得,選B.[答案]Ｂ11.若雙曲線的離心率為2,則等于<>A.2B.C.D.1[解析]由,解得a=1或a=3,參照選項知而應選D.[答案]D12.下列曲線中離心率為的是<.<>A. B. C. D.[解析]依據雙曲線的離心率可判斷得..選B。[答案]B13.設和為雙曲線<>的兩個焦點,若,是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為A．B．C．D．3[解析]由有,則,故選B.[答案]B14.過橢圓<>的左焦點作軸的垂線交橢圓于點,為右焦點,若,則橢圓的離心率為A．B．C．D．[解析]因為,再由有從而可得,故選B[答案]B15.設雙曲線的虛軸長為2,焦距為,則雙曲線的漸近線方程為〔A.B.C.D.[解析]由已知得到,因為雙曲線的焦點在x軸上,故漸近線方程為[答案]C[考點定位]本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用。考察了同學們的運算能力和推理能力。16.已知雙曲線的準線過橢圓的焦點,則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是<>A.B.C.D.[解析]易得準線方程是所以即所以方程是聯立可得由可解得A.[答案]A17.已知雙曲線的左、右焦點分別是、,其一條漸近線方程為,點在雙曲線上.則·＝<>A.－12B.－2C.0D.4[解析]由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線,∴雙曲線方程是,于是兩焦點坐標分別是〔－2,0和〔2,0,且或.不妨去,則,.∴·＝[答案]C18.已知直線與拋物線相交于兩點,為的焦點,若,則<> A.B. C.D.[解析]設拋物線的準線為直線恒過定點P.如圖過分別作于,于,由,則,點B為AP的中點.連結,則,點的橫坐標為,故點的坐標為,故選D.[答案]D19.已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點,若,則的離心率為<>A．B.C.D.[解析]設雙曲線的右準線為,過分別作于,于,,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角,由雙曲線的第二定義有.又.[答案]A20.拋物線的焦點坐標是〔A．〔2,0B．〔-2,0C．〔4,0D．〔-4,0[解析]由,易知焦點坐標是,故選B.[答案]B21.雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為<>A.B.2C.D.1[解析]雙曲線-=1的焦點<4,0>到漸近線的距離為,[答案]A22.""是"方程"表示焦點在y軸上的橢圓"的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]將方程轉化為,根據橢圓的定義,要使焦點在y軸上必須滿足所以.[答案]C23.設雙曲線的漸近線與拋物線相切,則該雙曲線的離心率等于〔A.B.2C.D.[解析]由題雙曲線的一條漸近線方程為,代入拋物線方程整理得,因漸近線與拋物線相切,所以,即,故選擇C.[答案]C24.已知雙曲線〔b＞0的焦點,則b=<>A.3B.C.D.[解析]可得雙曲線的準線為,又因為橢圓焦點為所以有.即b2=3故b=.故C.[答案]C27.設拋物線=2x的焦點為F,過點M〔,0的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于C,=2,則BCF與ACF的面積之比=<>A.B.C.D.[解析]由題知,又由A、B、M三點共線有即,故,∴,故選擇A。[答案]A28.已知直線和直線,拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是〔A.2B.3C.D.[考點定位]本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離,綜合題。[解析1]直線為拋物線的準線,由拋物線的定義知,P到的距離等于P到拋物線的焦點的距離,故本題化為在拋物線上找一個點使得到點和直線的距離之和最小,最小值為到直線的距離,即,故選擇A。[解析2]如圖,由題意可知[答案]A二、填空題29.設已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點為F<1,0>,直線l與拋物線C相交于A,B兩點。若AB的中點為〔2,2,則直線l的方程為_____________.[解析]拋物線的方程為,[答案]y=x30.已知橢圓的左、右焦點分別為,若橢圓上存在一點使,則該橢圓的離心率的取值范圍為．[解析1]因為在中,由正弦定理得則由已知,得,即設點由焦點半徑公式,得則記得由橢圓的幾何性質知,整理得解得,故橢圓的離心率[解析2]由解析1知由橢圓的定義知,由橢圓的幾何性質知所以以下同解析1.[答案]31.橢圓的焦點為,點P在橢圓上,若,則；的大小為.[解析]本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關系以及余弦定理.屬于基礎知識、基本運算的考查.∵,∴,∴,又,∴,又由余弦定理,得,∴,故應填.32.巳知橢圓的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,且上一點到的兩個焦點的距離之和為12,則橢圓的方程為．[解析],,,,則所求橢圓方程為.[答案]33.拋物線的焦點到準線的距離是.[解析]焦點〔1,0,準線方程,∴焦點到準線的距離是2.[答案]234.過雙曲線C：的一個焦點作圓的兩條切線,切點分別為A,B,若〔O是坐標原點,則雙曲線線C的離心率為.[解析],[答案]235.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的長為8,則________________[解析]由題意可知過焦點的直線方程為,聯立有,又。[答案]236.以知F是雙曲線的左焦點,是雙曲線右支上的動點,則的最小值為。[解析]注意到P點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為F’<4,0>,于是由雙曲線性質|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5兩式相加得|PF|＋|PA|≥9,當且僅當A、P、F’三點共線時等號成立.[答案]937.已知拋物線C的頂點坐標為原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,若為的中點,則拋物線C的方程為。[解析]設拋物線為y2＝kx,與y＝x聯立方程組,消去y,得：x2－kx＝0,＝k＝2×2,故.[答案]38.已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中,有一個內角為60,則雙曲線C的離心率為.[解析]連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形,由條件知,這個三角形的兩邊直角分別是是虛半軸長,是焦半距,且一個內角是,即得,所以,所以,離心率.[答案]39.已知、是橢圓〔＞＞0的兩個焦點,為橢圓上一點,且.若的面積為9,則=____________.[解析]依題意,有,可得4c2＋36＝4a2,即a2－c2＝9,故有b＝3。[答案]3三、解答題40.〔本小題滿分14分已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.<1>求橢圓G的方程<2>求的面積<3>問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.解〔1設橢圓G的方程為：〔半焦距為c;則,解得,所求橢圓G的方程為：.<2>點的坐標為〔3若,由可知點〔6,0在圓外,若,由可知點〔-6,0在圓外；不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.41.〔本題滿分15分已知橢圓：的右頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為．〔I求橢圓的方程；〔II設點在拋物線：上,在點處的切線與交于點．當線段的中點與的中點的橫坐標相等時,求的最小值．解〔I由題意得所求的橢圓方程為,〔II不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為,直線MN的方程為,將上式代入橢圓的方程中,得,即,因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點,所以有,設線段MN的中點的橫坐標是,則,設線段PA的中點的橫坐標是,則,由題意得,即有,其中的或；當時有,因此不等式不成立；因此,當時代入方程得,將代入不等式成立,因此的最小值為1．42.〔本題滿分15分已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．〔I求與的值；〔II設拋物線上一點的橫坐標為,過的直線交于另一點,交軸于點,過點作的垂線交于另一點．若是的切線,求的最小值．解〔Ⅰ由拋物線方程得其準線方程：,根據拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離,即,解得拋物線方程為：,將代入拋物線方程,解得〔Ⅱ由題意知,過點的直線斜率存在且不為0,設其為。則,當則。聯立方程,整理得：即：,解得或,而,直線斜率為,聯立方程整理得：,即：,解得：,或,而拋物線在點N處切線斜率：MN是拋物線的切線,,整理得,解得〔舍去,或,43.〔本小題共14分已知雙曲線的離心率為,右準線方程為。〔Ⅰ求雙曲線C的方程；〔Ⅱ已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓上,求m的值.[解析]本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運算能力．解〔Ⅰ由題意,得,解得,∴,∴所求雙曲線的方程為.〔Ⅱ設A、B兩點的坐標分別為,線段AB的中點為,由得〔判別式,∴,∵點在圓上,∴,∴.44.〔本小題共14分已知雙曲線的離心率為,右準線方程為〔Ⅰ求雙曲線的方程；〔Ⅱ設直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值.[解法1]本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運算能力．〔Ⅰ由題意,得,解得,∴,∴所求雙曲線的方程為.〔Ⅱ點在圓上,圓在點處的切線方程為,化簡得.由及得,∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且,∴,且,設A、B兩點的坐標分別為,則,∵,且,.∴的大小為.[解法2]〔Ⅰ同解法1.〔Ⅱ點在圓上,圓在點處的切線方程為,化簡得.由及得①②∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且,∴,設A、B兩點的坐標分別為,則,∴,∴的大小為.〔∵且,∴,從而當時,方程①和方程②的判別式均大于零.45.〔本題滿分10分在平面直角坐標系中,拋物線C的頂點在原點,經過點A〔2,2,其焦點F在軸上。〔1求拋物線C的標準方程；〔2求過點F,且與直線OA垂直的直線的方程；〔3設過點的直線交拋物線C于D、E兩點,ME=2DM,記D和E兩點間的距離為,求關于的表達式。46.〔本小題滿分14分設橢圓E:〔a,b>0過M〔2,,N<,1>兩點,O為坐標原點,〔I求橢圓E的方程；〔II是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由。解:〔1因為橢圓E:〔a,b>0過M〔2,,N<,1>兩點,所以解得所以橢圓E的方程為〔2假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以,,①當時因為所以,所以,所以當且僅當時取"=".當時,.當AB的斜率不存在時,兩個交點為或,所以此時,綜上,|AB|的取值范圍為即:[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系.47.〔本小題滿分14分設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.〔1求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;〔2已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且<O為坐標原點>,并求出該圓的方程;<3>已知,設直線與圓C:<1<R<2>相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解〔1因為,,,所以,即.當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時,方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓;當時,方程表示的是雙曲線.<2>.當時,軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,則使△=,即,即,且,要使,需使,即,所以,即且,即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,所求的圓為.當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.<3>當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:<1<R<2>相切于A1,由〔2知,即①,因為與軌跡E只有一個公共點B1,由〔2知得,即有唯一解則△=,即,②由①②得,此時A,B重合為B1<x1,y1>點,由中,所以,,B1<x1,y1>點在橢圓上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因為當且僅當時取等號,所以,即當時|A1B1|取得最大值,最大值為1.[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關系,以及直線與橢圓的位置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.48.〔本小題滿分12分已知橢圓C:的離心率為,過右焦點已知橢圓C:的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l兩點,當l的斜率為1時,坐標原點O到l的距離為〔Ⅰ求a,b的值；〔ⅡC上是否存在點P,使得當l繞F轉到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在,說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力,第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算,第二問利用向量坐標關系及方程的思想,借助根與系數關系解決問題,注意特殊情況的處理。解〔Ⅰ設當的斜率為1時,其方程為到的距離為,故,由,得,=〔ⅡC上存在點,使得當繞轉到某一位置時,有成立。由〔Ⅰ知C的方程為+=6.設<ⅰ>C成立的充要條件是,且整理得故①將于是,=,代入①解得,,此時于是=,即因此,當時,,；當時,,。〔ⅱ當垂直于軸時,由知,C上不存在點P使成立。綜上,C上存在點使成立,此時的方程為.49.〔本小題滿分14分已知曲線與直線交于兩點和,且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區域〔含邊界為．設點是上的任一點,且點與點和點均不重合．〔1若點是線段的中點,試求線段的中點的軌跡方程；〔2若曲線與有公共點,試求的最小值．解〔1聯立與得,則中點,設線段的中點坐標為,則,即,又點在曲線上,∴化簡可得,又點是上的任一點,且不與點和點重合,則,即,∴中點的軌跡方程為〔.xAxBxAxBD〔2曲線,即圓：,其圓心坐標為,半徑由圖可知,當時,曲線與點有公共點；當時,要使曲線與點有公共點,只需圓心到直線的距離,得,則的最小值為.50.〔本小題滿分13分點在橢圓上,直線與直線垂直,O為坐標原點,直線OP的傾斜角為,直線的傾斜角為.〔I證明:點是橢圓與直線的唯一交點；〔II證明:構成等比數列.解析：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數方程,直線和曲線的幾何性質,等比數列等基礎知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。證明〔I〔方法一由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.<方法二>顯然P是橢圓與的交點,若Q是橢圓與的交點,代入的方程,得即故P與Q重合。〔方法三在第一象限內,由可得橢圓在點P處的切線斜率切線方程為即。因此,就是橢圓在點P處的切線。根據橢圓切線的性質,P是橢圓與直線的唯一交點。〔II的斜率為的斜率為由此得構成等比數列。51.〔本小題滿分14分如圖,已知圓是橢圓的內接△的內切圓,其中為橢圓的左頂點.〔1求圓的半徑;〔2過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點,G．證明：直線與圓相切．G．〔1解設,過圓心作于,交長軸于由得,即<1>而點在橢圓上,<2>由<1>、<2>式得,解得或〔舍去<2>證明設過點與圓相切的直線方程為:<3>則,即<4>解得將<3>代入得,則異于零的解為設,,則則直線的斜率為：于是直線的方程為:即則圓心到直線的距離故結論成立.52.〔本小題滿分12分已知點為雙曲線〔為正常數上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.求線段的中點的軌跡的方程;設軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.<1>解由已知得,則直線的方程為:,令得,即,設,則,即代入得:,即的軌跡的方程為.<2>證明在中令得,則不妨設,于是直線的方程為:,直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為:,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過兩定點.53.〔本小題滿分14分已知橢圓〔的兩個焦點分別為,過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點,且〔Ⅰ求橢圓的離心率；〔Ⅱ直線AB的斜率；〔Ⅲ設點C與點A關于坐標原點對稱,直線上有一點H<m,n><>在的外接圓上,求的值。解〔1由,得,從而,整理得,故離心率〔2由〔1知,,所以橢圓的方程可以寫為設直線AB的方程為即由已知設則它們的坐標滿足方程組消去y整理,得依題意,而,有題設知,點B為線段AE的中點,所以聯立三式,解得,將結果代入韋達定理中解得.<3>由〔2知,,當時,得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心,因此外接圓的方程為直線的方程為,于是點滿足方程組由,解得,故當時,同理可得.54〔本小題滿分14分過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向直線作垂線,垂足分別為、。〔Ⅰ當時,求證：⊥；〔Ⅱ記、、的面積分別為、、,是否存在,使得對任意的,都有成立。若存在,求出的值；若不存在,說明理由。解依題意,可設直線MN的方程為,則有由,消去x可得從而有①于是②又由,可得③〔Ⅰ如圖1,當時,點即為拋物線的焦點,為其準線此時①可得證法1：證法2：<Ⅱ>存在,使得對任意的,都有成立,證明如下：證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有將①、②、③代入上式化簡可得上式恒成立,即對任意成立證法2：如圖2,連接,則由可得,所以直線經過原點O,同理可證直線也經過原點O又設則56.〔本小題滿分12分已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率,右準線方程為。〔I求橢圓的標準方程；〔II過點的直線與該橢圓交于兩點,且,求直線的方程。解〔I由已知得,解得∴∴所求橢圓的方程為.〔II由〔I得、①若直線的斜率不存在,則直線的方程為,由得設、,∴,這與已知相矛盾。②若直線的斜率存在,設直線直線的斜率為,則直線的方程為,設、,聯立,消元得∴,∴,又∵∴∴化簡得解得∴∴所求直線的方程為.57.〔本小題滿分12分已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線與相交于、兩點,當的斜率為1時,坐標原點到的距離為〔I求,的值；〔II上是否存在點P,使得當繞F轉到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的P的坐標與的方程；若不存在,說明理由。解<I設,直線,由坐標原點到的距離為則,解得.又.〔II由<I知橢圓的方程為.設、由題意知的斜率為一定不為0,故不妨設代入橢圓的方程中整理得,顯然。由韋達定理有：．．．．．．．．①.假設存在點P,使成立,則其充要條件為：點,點P在橢圓上,即。整理得。又在橢圓上,即.故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②將及①代入②解得,=,即.當;當.58.〔本小題滿分13分已知橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形〔記為Q.〔Ⅰ求橢圓C的方程;〔Ⅱ設點P是橢圓C的左準線與軸的交點,過點P的直線與橢圓C相交于M,N兩點,當線段MN的中點落在正方形Q內〔包括邊界時,求直線的斜率的取值范圍。解〔Ⅰ依題意,設橢圓C的方程為焦距為,由題設條件知,所以故橢圓C的方程為.〔Ⅱ橢圓C的左準線方程為所以點P的坐標,顯然直線的斜率存在,所以直線的方程為。如圖,設點M,N的坐標分別為線段MN的中點為G,由得.……①由解得.……②因為是方程①的兩根,所以,于是=,.因為,所以點G不可能在軸的右邊,又直線,方程分別為所以點在正方形內〔包括邊界的充要條件為即亦即解得,此時②也成立.故直線斜率的取值范圍是59.〔本小題滿分13分已知A,B分別為曲線C：+=1〔y0,a>0與x軸的左、右兩個交點,直線過點B,且與軸垂直,S為上異于點B的一點,連結AS交曲線C于點T.<1>若曲線C為半圓,點T為圓弧的三等分點,試求出點S的坐標；〔II如圖,點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點,試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由。解方法一<Ⅰ>當曲線C為半圓時,如圖,由點T為圓弧的三等分點得∠BOT=60°或120°.<1>當∠BOT=60°時,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有<2>當∠BOT=120°時,同理可求得點S的坐標為,綜上,<Ⅱ>假設存在,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為.由設點故,從而.亦即由得由,可得即經檢驗,當時,O,M,S三點共線.故存在,使得O,M,S三點共線.方法二:<Ⅰ>同方法一.<Ⅱ>假設存在a,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為由設點,則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點共線.60.〔本小題滿分12分已知,橢圓C以過點A〔1,,兩個焦點為〔－1,0〔1,0。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值。〔Ⅰ解由題意,c＝1,可設橢圓方程為。因為A在橢圓上,所以,解得＝3,＝〔舍去。所以橢圓方程為．〔Ⅱ證明設直線ＡＥ方程：得,代入得設Ｅ〔,,Ｆ〔,．因為點Ａ〔1,在橢圓上,所以,。又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數,在上式中以代,可得,。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值,其值為。61.〔本小題滿分12分已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點,焦點在s軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.〔Ⅰ求橢圓C的方程；〔Ⅱ若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,=λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。解<Ⅰ>設橢圓長半軸長及半焦距分別為,由已知得,所以橢圓的標準方程為〔Ⅱ設,其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得,其中。〔i時。化簡得所以點的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段。〔ii時,方程變形為,其中當時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；62.〔本小題滿分12分已知雙曲線C的方程為,離心率,頂點到漸近線的距離為。〔1求雙曲線C的方程；<2>如圖,P是雙曲線C上一點,A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,求面積的取值范圍。方法一解〔Ⅰ由題意知,雙曲線C的頂點〔0,a到漸近線,所以所以由所以曲線的方程是〔Ⅱ由〔Ⅰ知雙曲線C的兩條漸近線方程為設由將P點的坐標代入因為又所以記則由又S〔1=2,當時,面積取到最小值,當當時,面積取到最大值所以面積范圍是方法二〔Ⅰ由題意知,雙曲線C的頂點〔0,a到漸近線,由所以曲線的方程是.〔Ⅱ設直線AB的方程為由題意知由由將P點的坐標代入得設Q為直線AB與y軸的交點,則Q點的坐標為〔0,m=.63.〔本小題滿分12分已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率,右準線方程為。〔I求橢圓的標準方程；〔II過點的直線與該橢圓交于兩點,且,求直線的方程。解〔I由已知得,解得∴∴所求橢圓的方程為.〔II由〔I得、①若直線的斜率不存在,則直線的方程為,由得設、,∴,這與已知相矛盾。②若直線的斜率存在,設直線直線的斜率為,則直線的方程為,設、,聯立,消元得∴,∴,又∵∴∴化簡得解得∴∴所求直線的方程為64.〔本小題滿分12分如圖,已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。〔Ⅰ求r的取值范圍〔Ⅱ當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線AC、BD的交點P的坐標。解：〔Ⅰ將拋物線代入圓的方程,消去,整理得拋物線與圓相交于、、、四個點的充要條件是：方程〔1有兩個不相等的正根∴即。解這個方程組得.〔II設四個交點的坐標分別為、、、。則由〔I根據韋達定理有,則令,則下面求的最大值。方法1：由三次均值有：當且僅當,即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。方法2：設四個交點的坐標分別為、、、則直線AC、BD的方程分別為解得點P的坐標為。設,由及〔Ⅰ得由于四邊形ABCD為等腰梯形,因而其面積則將,代入上式,并令,等,∴,令得,或〔舍去當時,；當時；當時,故當且僅當時,有最大值,即四邊形ABCD的面積最大,故所求的點P的坐標為。65.〔本小題滿分13分如圖,過拋物線y2＝2PX<P﹥0>的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向準線L作垂線,垂足分別為M1、N1<Ⅰ>求證：FM1⊥FN1:<Ⅱ>記△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、、S2、,S3,試判斷S22＝4S1S3是否成立,并證明你的結論。證明方法一由拋物線的定義得如圖,設準線l與x的交點為而即故方法二依題意,焦點為準線l的方程為設點M,N的坐標分別為直線MN的方程為,則有由得于是,,,故〔Ⅱ解成立,證明如下：方法一設,則由拋物線的定義得,于是將與代入上式化簡可得,此式恒成立。故成立。方法二如圖,設直線M的傾角為,則由拋物線的定義得于是在和中,由余弦定理可得由〔I的結論,得即,得證。66.<本小題滿分12分>已知橢圓的中心為直角坐標系的原點,焦點在軸上,它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1〔1求橢圓的方程‘〔2若為橢圓的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,〔e為橢圓C的離心率,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。解〔1設橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得{解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為〔Ⅱ設M〔x,y,P<x,>,其中由已知得而,故①由點P在橢圓C上得,代入①式并化簡得所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.67.〔本小題滿分13分在平面直角坐標系xOy中,點P到點F〔3,0的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當P點運動時,d恒等于點P的橫坐標與18之和〔Ⅰ求點P的軌跡C；〔Ⅱ設過點F的直線l與軌跡C相交于M,N兩點,求線段MN長度的最大值。解〔Ⅰ設點P的坐標為〔x,y,則3︳x-2︳由題設當x>2時,由①得化簡得當時由①得化簡得故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分〔包括它與直線x=2的交點所組成的曲線,參見圖1〔Ⅱ如圖2所示,易知直線x=2與,的交點都是A〔2,,B〔2,,直線AF,BF的斜率分別為=,=.當點P在上時,由②知.④當點P在上時,由③知⑤若直線l的斜率k存在,則直線l的方程為〔i當k≤,或k≥,即k≤-2時,直線I與軌跡C的兩個交點M〔,,N〔,都在C上,此時由④知∣MF∣=6-∣NF∣=6-從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=〔6-+〔6-=12-<+>由得則,是這個方程的兩根,所以+=*∣MN∣=12-〔+=12-因為當當且僅當時,等號成立。〔2當時,直線L與軌跡C的兩個交點分別在上,不妨設點在上,點上,則④⑤知,設直線AF與橢圓的另一交點為E所以。而點A,E都在上,且有〔1知若直線的斜率不存在,則==3,此時綜上所述,線段MN長度的最大值為.68.〔本小題滿分14分已知直線經過橢圓的左頂點A和上頂點D,橢圓的右頂點為,點和橢圓上位于軸上方的動點,直線,與直線分別交于兩點。〔I求橢圓的方程；〔Ⅱ求線段MN的長度的最小值；〔Ⅲ當線段MN的長度最小時,在橢圓上是否存在這樣的點,使得的面積為？若存在,確定點的個數,若不存在,說明理由解方法一〔I由已知得,橢圓的左頂點為上頂點為故橢圓的方程為〔Ⅱ直線AS的斜率顯然存在,且,故可設直線的方程為,從而由得0設則得,從而即又由得故又當且僅當,即時等號成立時,線段的長度取最小值〔Ⅲ由〔Ⅱ可知,當取最小值時,此時的方程為要使橢圓上存在點,使得的面積等于,只須到直線的距離等于,所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線則由解得或69.〔本題滿分16分已知雙曲線設過點的直線l的方向向量當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時,求直線l的方程及l與m的距離；證明：當>時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為。〔1解雙曲線C的漸近線直線l的方程直線l與m的距離〔2證明方法一設過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離當又雙曲線C的漸近線為雙曲線C的右支在直線b的右下方,雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點,使之到直線的距離為。〔2方法二雙曲線的右支上存在點到直線的距離為,則由〔1得,設當,0將代入〔2得〔*方程〔*不存在正根,即假設不成立故在雙曲線C的右支上不存在Q,使之到直線l的距離為70.〔本題滿分16分已知雙曲線C的中心是原點,右焦點為F,一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。求雙曲線C的方程；若過原點的直線,且a與l的距離為,求K的值；證明：當時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為.〔1解設雙曲線的方程為,解得,雙曲線的方程為〔2解直線,直線由題意,得,解得〔3證明方法一設過原點且平行于的直線則直線與的距離當時,又雙曲線的漸近線為雙曲線的右支在直線的右下方,雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點,使之到直線的距離為〔3方法二假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為,則由〔1得設,當時,；將代入〔2得,方程不存在正根,即假設不成立,故在雙曲線的右支上不存在點,使之到直線的距離為71.〔本小題滿分12分已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為,離心率,是橢圓上的動點．〔Ⅰ若的坐標分別是,求的最大值；〔Ⅱ如題圖,點的坐標為,是圓上的點,是點在軸上的射影,點滿足條件：,．求線段的中點的軌跡方程；解〔Ⅰ由題設條件知焦點在y軸上,故設橢圓方程為〔a＞b＞0.設,由準線方程得.由得,解得a=2,c=,從而b=1,橢圓方程為.又易知C,D兩點是橢圓的焦點,所以,從而,當且僅當,即點M的坐標為時上式取等號,的最大值為4.〔II如圖〔20圖,設.因為,故①因為所以.②記P點的坐標為,因為P是BQ的中點所以由因為,結合①,②得故動點P的估計方程為72.〔本小題滿分12分已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為,離心率．〔Ⅰ求該雙曲線的方程；〔Ⅱ如題〔20圖,點的坐標為,是圓上的點,點在雙曲線右支上,求的最小值,并求此時點的坐標；解〔Ⅰ由題意可知,雙曲線的焦點在軸上,故可設雙曲線的方程為,設,由準線方程為得,由得解得從而,該雙曲線的方程為.〔Ⅱ設點D的坐標為,則點A、D為雙曲線的焦點,所以,是圓上的點,其圓心為,半徑為1,故從而當在線段CD上時取等號,此時的最小值為直線CD的方程為,因點M在雙曲線右支上,故由方程組解得所以點的坐標為.2005—20XX高考題一、選擇題1.如圖所示,"嫦娥一號"探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球,在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛星在變點第二次變軌進入仍以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長,給出下列式子：①;②;③;④＜.其中正確式子的序號是 〔A.①③B.②③C.①④D.②④答案B2.已知、是橢圓的兩個焦點,滿足的點總在橢圓內部,則橢圓離心率的取值范圍是 〔A．B．C．D．答案C3.設,則雙曲線的離心率的取值范圍是〔A． B． C． D．答案B4.已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q〔2,－1的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為〔A.〔,－1 B.〔,1 C.〔1,2 D.〔1,－2答案A5.已知點P是拋物線上的一個動點,則點P到點〔0,2的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值〔A． B．C．D．答案A6.設橢圓〔,的右焦點與拋物線的焦點相同,離心率為,則此橢圓的方程為<>A. B.C. D.答案B7.已知以F1〔2,0,F2〔2,0為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為〔A.B. C. D.答案C8.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,P是準線上一點,且PF1⊥PF2,|PF1||PF2|＝4ab,則雙曲線的離心率是 〔A.B.C.2D.3答案B9.設雙曲線的離心率為,且它的一條準線與拋物線的準線重合,則此雙曲線的方程為〔Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案D10.若,則""是"方程表示雙曲線"的<>A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A11.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點,它們的橫坐標之和等于5,則這樣的直線〔A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有無窮多條D．不存在答案B解析的焦點是<1,0>,設直線方程為<1>,將<1>代入拋物線方程可得,x顯然有兩個實根,且都大于0,它們的橫坐標之和是,選B.二、填空題12.已知橢圓〔a＞b＞0的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A<0,b>作AM,垂足為M,則直線FM的斜率等于13.在平面直角坐標系中,橢圓1<0>的焦距為2,以O為圓心,為半徑的圓,過點作圓的兩切線互相垂直,則離心率=14.在中,,．若以為焦點的橢圓經過點C,則該橢圓的離心率15.已知為橢圓的兩個焦點,過的直線交橢圓于A、B兩點.若,則=816.已知是雙曲線右支上的一點,雙曲線的一條漸近線方程為.設分別為雙曲線的左、右焦點.若,則517.設O是坐標原點,F是拋物線的焦點,A是拋物線上的一點,與軸正向的夾角為,則為18.在平面直角坐標系中,若拋物線上的點到該拋物線的焦點的距離為6,則點P的橫坐標519.已知橢圓中心在原點,一個焦點為F〔－2,0,且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標準方程是以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為兩個定點,k為非零常數,,則動點P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB,O為坐標原點,若則動點P的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線有相同的焦點.其中真命題的序號為〔寫出所有真命題的序號答案③④三、解答題21.雙曲線的中心為原點,焦點在軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經過右焦點垂直于l1的直線分別交l1、l2于兩點．已知成等差數列,且與同向．〔Ⅰ求雙曲線的離心率；〔Ⅱ設被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程．解：〔Ⅰ設,,由勾股定理可得：得：,,由倍角公式,解得,則離心率．〔Ⅱ過直線方程為,與雙曲線方程聯立將,代入,化簡有將數值代入,有,解得故所求的雙曲線方程為。一、選擇題1.曲線<x[-2,2]>與直線兩個公共點時,實效的取值范圍是 〔A． B． C． D．答案D2.若橢圓經過點P〔2,3,且焦點為F1<－2,0>,F2<2,0>,則這個橢圓的離心率等于〔A.EQ\f<\r<2>,2>B.EQ\f<1,3>C.EQ\f<1,2>D.EQ\f<\r<3>,2>答案C3.圖中共頂點的橢圓①、②與雙曲線③、④的離心率分別為,其大小關系為〔A.B.C.D.答案C5.已知雙曲線〔a＞0,b＞0的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍〔A．〔1,2B．〔－1,2C．〔2,+∞D．答案D6.設雙曲線的離心率為,且它的一條準線與拋物線的準線重合,則此雙曲線的方程為〔A.B. C.D.答案D7.已知拋物線的方程為,過點A<0,-1>和點B<t,3>的直線與拋物線C沒有公共點,則實數的取值范圍<>A. B.C. D.答案D8.設雙曲線的左、右焦點分別是、,過點的直線交雙曲線右支于不同的兩點、．若△為正三角形,則該雙曲線的離心率為〔A.B.C.D.答案B９.從雙曲線的左焦點引圓的切線,切點為,延長交雙曲線右支于點,若為線段的中點,為坐標原點,則與的大小關系為〔A、B、C、D、不確定答案B10.已知圓的方程,若拋物線過定點A〔0,1、B〔0,-1且以該圓的切線為準線,則拋物線焦點的軌跡方程是〔A．B．C．D．答案D二、填空題11.對于曲線C∶=1,給出下面四個命題：①由線C不可能表示橢圓；②當1＜k＜4時,曲線C表示橢圓；③若曲線C表示雙曲線,則k＜1或k＞4;④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,則1＜k＜其中所有正確命題的序號為③④12.離心率,一條準線為x＝3的橢圓的標準方程是13.P是雙曲線的右支上一動點,F是雙曲線的右焦點,已知A<3,1>,則的最小值是14.已知F1、F2是橢圓=1<5＜a＜10>的兩個焦點,B是短軸的一個端點,則△F1BF2的面積的最大值是15.若拋物線的焦點與雙曲線的左焦點重合,則的值416.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,則＝1三、解答題17.直線y＝kx＋b與曲線交于A、B兩點,記△AOB的面積為S〔O是坐標原點．〔1求曲線的離心率；〔2求在k＝0,0＜b＜1的條件下,S的最大值；〔3當｜AB｜＝2,S＝1時,求直線AB的方程．解〔1曲線的方程可化為：,∴此曲線為橢圓,,∴此橢圓的離心率．〔2設點A的坐標為,點B的坐標為,由,解得,所以當且僅當時,S取到最大值1．〔3由得,①｜AB｜＝②又因為O到AB的距離,所以③③代入②并整理,得解得,,代入①式檢驗,△＞0, 故直線AB的方程是或或或．設橢圓：的離心率為,點〔,0,〔0,,原點到直線的距離為.〔Ⅰ求橢圓的方程；〔Ⅱ設點為〔,0,點在橢圓上〔與、均不重合,點在直線上,若直線的方程為,且,試求直線的方程．解〔Ⅰ由得由點〔,0,〔0,知直線的方程為,于是可得直線的方程為因此,得,,,所以橢圓的方程為〔Ⅱ由〔Ⅰ知、的坐標依次為〔2,0、,因為直線經過點,所以,得,即得直線的方程為因為,所以,即設的坐標為,則得,即直線的斜率為4又點的坐標為,因此直線的方程為19.已知拋物線C:上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.〔Ⅰ求拋物線C的方程；〔Ⅱ設直線與拋物線C交于兩點,,且〔,且為常數.過弦AB的中點M作平行于軸的直線交拋物線于點D,連結AD、BD得到.〔1求證：；〔2求證：的面積為定值.解〔1依題意得：,解得.所以拋物線方程為〔2由方程組消去得：.〔※依題意可知：.由已知得,.由,得,即,整理得