第二章有導(dǎo)體時(shí)的靜電場導(dǎo)體：導(dǎo)電能力極強(qiáng)的物體。絕緣體（電介質(zhì)）：導(dǎo)電能力極微弱或者不能導(dǎo)電的物體。半導(dǎo)體：導(dǎo)電能力介于兩者之間的物體。導(dǎo)體和電介質(zhì)放入靜電場后，靜電場不僅要影響導(dǎo)體和電介質(zhì)中電荷的分布，而且電荷分布變化后，反過來又要影響電場的分布。導(dǎo)體和絕緣體有著完全不同的靜電特性，靜電現(xiàn)象的一切應(yīng)用，實(shí)際上是導(dǎo)體和電介質(zhì)靜電特性的運(yùn)用。研究導(dǎo)體和電介質(zhì)的靜電特性以及導(dǎo)體和電介質(zhì)內(nèi)外電場分布的圖像，具有重要意義。幾個(gè)常用的術(shù)語：總（凈）電量不為零的導(dǎo)體叫做帶電導(dǎo)體；總（凈）電量為零的導(dǎo)體叫做中性導(dǎo)體；與其他物體距離足夠遠(yuǎn)的導(dǎo)體叫做孤立導(dǎo)體。這里的足夠遠(yuǎn)是指其他物體的電荷在我們所關(guān)心的場點(diǎn)上激發(fā)的場強(qiáng)小到可以忽略。本章討論靜電場中有金屬導(dǎo)體存在時(shí)的各種問題，并介紹幾個(gè)新的物理量。§1靜電場中的導(dǎo)體一、導(dǎo)體的靜電平衡金屬導(dǎo)體是以金屬鍵結(jié)合的晶體，由許多小晶粒組成，每個(gè)晶粒內(nèi)的原子作有序排列而構(gòu)成晶格點(diǎn)陣。組成晶體時(shí)，晶格結(jié)點(diǎn)上的原子很容易失去外層的價(jià)電子，成為正離子。而脫離原子核束縛的價(jià)電子則可以在整個(gè)金屬晶體中自由運(yùn)動(dòng)，稱為自由電子。金屬導(dǎo)體在電結(jié)構(gòu)上的重要特征就是具有大量的自由電子。導(dǎo)體不帶電或不受外電場作用時(shí)，自由電子只作熱運(yùn)動(dòng)，不發(fā)生宏觀電量的遷移，自由電子和晶格點(diǎn)陣的正電荷互相中和，因而整個(gè)金屬導(dǎo)體的任何宏觀部分都呈電中性狀態(tài)。金屬導(dǎo)體放入電場強(qiáng)度為E0的靜電場中，金屬的自由電子在外電場的作用下相對(duì)于晶格作定向運(yùn)動(dòng)，并在導(dǎo)體的一個(gè)側(cè)面集結(jié)，使該側(cè)面出現(xiàn)負(fù)電荷。而相對(duì)的另一側(cè)面則出現(xiàn)正電荷，這就是靜電感應(yīng)現(xiàn)象。由此產(chǎn)生的電荷稱為感應(yīng)電荷。相對(duì)側(cè)面上的感應(yīng)電荷電量相等而符號(hào)相反。感應(yīng)電荷在空間必然產(chǎn)生電場，該電場與原來的電場疊加，改變了空間各處的電場分布。我們把感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場稱為附加電場，用E'表示。空間任意一點(diǎn)的場強(qiáng)可表示為：E=E+Ee0在導(dǎo)體內(nèi)部，附加電場E，與外電場E0方向相反，只要Ef不足以抵消E0，導(dǎo)體內(nèi)部的自由電子的定向運(yùn)動(dòng)就會(huì)繼續(xù)，感應(yīng)電荷增加，E，相應(yīng)增大，直至Ef與E完0全抵消，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為零。在金屬導(dǎo)體中，自由電子沒有定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，稱為靜電平衡狀態(tài)。導(dǎo)體靜電平衡的必要條件就是導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度都等于零。金屬導(dǎo)體建立的靜電平衡過程是靜電感應(yīng)發(fā)生并達(dá)到穩(wěn)定的過程。實(shí)際上，這個(gè)過程是在極短的時(shí)間內(nèi)完成的，故我們不討論靜電平衡過程，而僅討論導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)的性質(zhì)。感應(yīng)電荷激發(fā)的附加電場Ef，不僅導(dǎo)致導(dǎo)體內(nèi)部的場強(qiáng)為零，改變了導(dǎo)體外部空間各處原來電場的大小和方向，甚至還會(huì)改變產(chǎn)生原外加電場E0的帶電體上的電荷分布。根據(jù)靜電平衡時(shí)金屬導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場，自由電子沒有定向運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，處于靜電平衡的金屬導(dǎo)體具有如下的性質(zhì)：整個(gè)導(dǎo)體是等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。在導(dǎo)體內(nèi)部任取兩點(diǎn)P和Q，它們之間的電勢差可以表示為Pp—甲Q=JqE-dl(E=0)因?yàn)樘幱陟o電平衡的導(dǎo)體內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，上面的積分必定為零，所以甲P=PQ可見導(dǎo)體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的電勢都相等，整個(gè)導(dǎo)體必定是等勢體，等勢體的表面必定是等勢面。導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)處處與表面垂直因?yàn)榈葎菝媾c場強(qiáng)方向互相垂直，所以導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度必定與該處的表面相垂直。靜電平衡的導(dǎo)體上的電荷分布處于靜電平衡的導(dǎo)體上的電荷分布具有以下規(guī)律：1、處于靜電平衡的導(dǎo)體，其內(nèi)部不存在凈電荷，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上用高斯定理證明。在導(dǎo)體內(nèi)部任取一閉合曲面S，運(yùn)用高斯定理：一一一1HE?dS=一￡幻S￡內(nèi)0因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)部的E=0，上式積分為零，必定有￡q內(nèi)=0，所以導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷。2、處于靜電平衡的導(dǎo)體，其表面上各處的面電荷密度與該處表面緊鄰處的電場強(qiáng)度的大小成正比導(dǎo)體表面是等勢面，根據(jù)等勢面與電場線相互垂直的性質(zhì)，導(dǎo)體外緊靠表面處的電場方向垂直于導(dǎo)體表面，設(shè)導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度為E。在導(dǎo)體表面取一面元dS，認(rèn)為電荷在dS區(qū)域內(nèi)分布是均勻的，電荷面密度為。（。>0）。包圍dS作一柱狀閉合面，上下底面均為dS，且與表面平行，上底面在導(dǎo)體表面外側(cè)，下底面在導(dǎo)體內(nèi)部。由于圓柱側(cè)面與電場強(qiáng)度方向平行，電通量為零；導(dǎo)體內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，下底面的電通量也為零。通過整個(gè)閉合面的電通量就等于上底面的電通量。根據(jù)高斯定理：暨?dS=qnEdS=^^00bE=—￡0因?yàn)樯系酌娴姆ň€方向與導(dǎo)體表面的外法線方向n一致，且有b>0，所以該處的場強(qiáng)方向垂直于導(dǎo)體表面指向?qū)w外部，故表面附近的電場強(qiáng)度可表示為fbE=—n80表明帶電導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)大小與該處電荷面密度成正比，場強(qiáng)方向垂直于表面。這一結(jié)論對(duì)孤立導(dǎo)體（孤立導(dǎo)體是指遠(yuǎn)離其他物體的導(dǎo)體，其他物體對(duì)其影響可以忽略不計(jì)）或處在外電場中的任意導(dǎo)體都普遍適用。注意：導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)E不單是由該表面處的電荷所激發(fā)，它是導(dǎo)體面上所有電荷以及周圍其他帶電體上的電荷所激發(fā)的合場強(qiáng)，外界的影響已經(jīng)在。中體現(xiàn)出來。3、孤立導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，它的表面各處的面電荷密度與各處表面的曲率有關(guān)，曲率越大的地方，面電荷密度也越大電荷在導(dǎo)體表面上的分布與導(dǎo)體本身的形狀以及附近帶電體的狀況等多種因素有關(guān)，即使對(duì)于其附近沒有其他導(dǎo)體和帶電體，也不受任何外來電場作用的所謂孤立導(dǎo)體來說，電荷在表面上的分布與自身之間也沒有簡單的函數(shù)關(guān)系。但存在大致的規(guī)律：表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大；表面平坦處，面電荷密度較小；表面凹陷處，面電荷密度很小，甚至為零。設(shè)兩個(gè)半徑分別為R和尸的球形導(dǎo)體（R>,），用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接，使兩個(gè)導(dǎo)體帶電，電勢為中。兩個(gè)導(dǎo)體組成的整體可以看成孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)必定是等勢體。假設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體相距很遠(yuǎn)，每個(gè)球面上的電荷分布在另一個(gè)球面上所激發(fā)的電場可以忽略不計(jì)，線的作用是使兩球保持等電勢，線上的電荷分布可以忽略不計(jì)，因此每個(gè)球可以看作孤立導(dǎo)體，兩球表面的電荷分布各自都均勻分布。設(shè)大球所帶電量為Q，小球所帶電量為q，則兩球的電勢為Qq00由兩球電勢相等，可得—=—,Q>q(R>r)QR可見大球所帶電量Q比小球帶的電量q多。但兩球的電荷密度分布為b=Q^=—R4兀R2r4兀—2bQr2r所以f=^—=一bqR2R可見，電荷密度與曲率半徑成反比，即曲率半徑越小，電荷面密度越大，小球上的面電荷密度反而比大球要大。應(yīng)該指出，當(dāng)兩球相距不遠(yuǎn)時(shí)，兩球所帶的電荷的影響不能忽略不計(jì)，這時(shí)每個(gè)球都不能看成孤立導(dǎo)體，兩球表面上的電荷分布也不可再看成均勻的。同一球面上各處曲率半徑雖然相等，但電荷面密度卻不再相同，因此電荷面密度與曲率半徑成反比并不是一個(gè)普遍的結(jié)論。由上面的結(jié)論可以看出，對(duì)于可近似看成孤立導(dǎo)體的導(dǎo)體，表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大，附近的電場強(qiáng)度也較強(qiáng)。對(duì)于具有尖端的導(dǎo)體，無疑尖端處的電場特別強(qiáng)，在導(dǎo)體的尖端附近，由于場強(qiáng)很大，當(dāng)達(dá)到一定量值時(shí)，空氣中原有殘留的離子在這個(gè)電場的作用下將發(fā)生劇烈運(yùn)動(dòng)，并獲得足夠大的動(dòng)能與空氣分子碰撞而產(chǎn)生大量的離子。其中與導(dǎo)體上電荷異號(hào)的離子，被吸引到尖端上，與尖端上的電荷中和；與導(dǎo)體上電荷同號(hào)的離子受到排斥而從尖端附近飛開。從外表上看，就好像尖端上的電荷被“噴射”出去放掉一樣，所以這種現(xiàn)象稱為尖端放電。在高電壓設(shè)備中，為了防止因尖端放電而引起危險(xiǎn)和漏電造成的損失，輸電線的表面應(yīng)是光滑的。具有高電壓的零部件的表面也必須做得十分光滑并盡可能做成球面。與此相反，在很多情況下人們還利用尖端放電。火花放電設(shè)備的電極往往做成尖端形狀。避胃針就是根據(jù)尖端放電原理制造的。當(dāng)雷電發(fā)生時(shí)，利用尖端放電原理，使強(qiáng)大的放電電流從和避雷針連接并良好接地的粗導(dǎo)線中流過，從而避免了建筑物遭受雷擊的破壞。在離子撞擊空氣分子時(shí)，有時(shí)由于能量較小而不足以使分子電離，但會(huì)使分子獲得一部分能量而處于高能狀態(tài)。處于高能狀態(tài)的分子是不穩(wěn)定的，總要返回低能量的基態(tài)。在返回基態(tài)的過程中要以發(fā)射光子的形式將多余的能量釋放出去，于是在尖端周圍就會(huì)出現(xiàn)黯淡的光環(huán)，這種現(xiàn)象稱為電暈。二、帶電導(dǎo)體所受的靜電力設(shè)AS是導(dǎo)體表面含P點(diǎn)的小面元，a是P點(diǎn)的電荷面密度，則AS(作為一個(gè)電荷為aAS的點(diǎn)帶電體)所受到的靜電場力為AF=E'(P)aAS其中E，(P)是除了AS外所有電荷在P點(diǎn)貢獻(xiàn)的場強(qiáng)。設(shè)P1是從P出發(fā)沿著導(dǎo)體表面法向稍作外移所到的點(diǎn)，則P1點(diǎn)的場強(qiáng)為E(P)=—e8n0它可分解為兩部分，E(P)=—en=E(P)+E'(P)0其中E^(P)是—AS在P1的場強(qiáng)，E'(P)是除了—AS外的電荷在P1的場強(qiáng)。因?yàn)镻1可任意靠近P，對(duì)它而言AS可被視為均勻帶電無限大平面，則E(P)=ge，于是，E'(P)=上AS128n128n00P是帶電面上的點(diǎn)，場強(qiáng)在P點(diǎn)有突變，但這里是指總場強(qiáng)E。由于激發(fā)分場強(qiáng)E'(P)的電荷已不含AS的電荷，E'(P)在P點(diǎn)是連續(xù)的，既然連續(xù)，相距極近的點(diǎn)P和P1的E'就相同，則E'(P)=E'(P)=—e128n0則AF=—2ASen這就是導(dǎo)體表面任一面元AS的受力公式。把該式沿著導(dǎo)0

體表面作積分便可得到整個(gè)導(dǎo)體所受的靜電力。討論：導(dǎo)體表面內(nèi)外的總場強(qiáng)可看成兩部分構(gòu)成，E(P)和E(P)的矢量和。AS11P1在導(dǎo)體表面外側(cè)時(shí)，E(P)=—e碼128n0在導(dǎo)體表面內(nèi)側(cè)時(shí)，E(P)=-旦eAS128n0，EP1在導(dǎo)體表面外側(cè)時(shí)，E(P)=—e碼128n0在導(dǎo)體表面內(nèi)側(cè)時(shí)，E(P)=-旦eAS128n0，E'(P)=￡e，則E(P)=—e；當(dāng)P1

128n18n而E'的連續(xù)性使E'(P)=men仍成立，0把導(dǎo)體放入靜電場，就會(huì)因電荷的重新分布而使電場發(fā)生改變，直到達(dá)到靜電平衡，導(dǎo)體上的電荷分布以及周圍的電場分布就不再改變了。這時(shí)的電荷和電場的分布可以根據(jù)靜電場的基本規(guī)律、電荷守恒以及導(dǎo)體靜電平衡條件加以分析和計(jì)算。書中的例題列出了典型的導(dǎo)體改變電場分布的情況。導(dǎo)體靜電平衡問題的討論方法中例1、例2、例3、例4、例5、以及平行板導(dǎo)體組例題1、2§2靜電屏蔽利用放入靜電場中的導(dǎo)體會(huì)因電荷的重新分布而使電場發(fā)生改變這個(gè)事實(shí)，可以根據(jù)需要人為地選擇導(dǎo)體的形狀來改造電場。例如，用封閉金屬殼把電學(xué)儀器罩住，就可以避免殼外電荷對(duì)儀器的影響，可以使殼外電荷在殼內(nèi)空間激發(fā)的場強(qiáng)為零。一、空腔導(dǎo)體內(nèi)外的靜電場封閉導(dǎo)體殼就是空心導(dǎo)體，也叫做空腔導(dǎo)體。分為空腔內(nèi)無帶電體和有帶電體兩種情況進(jìn)行討論。1、空腔內(nèi)空間無帶電體若空腔內(nèi)空間沒有帶電體，則在靜電平衡下，無論自身是否帶電，空腔導(dǎo)體必定具有下列性質(zhì)：空腔內(nèi)表面上不存在凈電荷，凈電荷只分布在外表面上。空腔內(nèi)無電場，空腔內(nèi)電勢處處相等。上述結(jié)論可做如下證明：在導(dǎo)體空腔內(nèi)外表面之間取一高斯面，將導(dǎo)體空腔內(nèi)表面包圍起來，根據(jù)高斯定理一L1腥.dS=—Zq￡內(nèi)0因?yàn)楦咚姑嫱耆幱趯?dǎo)體內(nèi)部，靜電平衡下導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，所以Zq內(nèi)=°這說明導(dǎo)體空腔內(nèi)表面上電荷的代數(shù)和為零。但仍需排除空腔內(nèi)表面上有些地方有正電荷，而另一些地方有負(fù)電荷，正負(fù)電荷代數(shù)和為零的情況。進(jìn)一步用反證法說明：如果空腔內(nèi)表面某處。>0，而另一處。<0，空腔內(nèi)必定有電場線從a>0處發(fā)出，并終止于a<0處。由于空腔內(nèi)無電荷，電場線不會(huì)在空腔內(nèi)終止，而導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，電場線也不能穿出導(dǎo)體。因此，由內(nèi)表面正電荷發(fā)出的電場線將只能終止于內(nèi)表面負(fù)電荷，電場沿這條電場線的線積分一定不為零，這條電場線的兩端點(diǎn)之間有電勢差。但它的兩端點(diǎn)在同一導(dǎo)體上，靜電平衡要求這兩點(diǎn)電勢相等。因此上述結(jié)論與靜電平衡條件相違背，這說明靜電平衡時(shí)導(dǎo)體空腔內(nèi)表面上a必須處處為零，空腔內(nèi)各點(diǎn)的場強(qiáng)等于零，空腔內(nèi)電勢處處相等。在空腔外面的空間總有電場存在，其電場分布由空腔外表面上的電荷分布及導(dǎo)體外其他帶電體的電荷分布共同決定。總之，當(dāng)導(dǎo)體空腔處在外電場中時(shí)，空腔導(dǎo)體外的帶電體只會(huì)影響空腔導(dǎo)體外表面上的電荷分布并改變導(dǎo)體外的電場分布，而且這些電荷的重新分布的結(jié)果，最終導(dǎo)致導(dǎo)體內(nèi)部及空腔內(nèi)的總場強(qiáng)等于零。2、空腔內(nèi)空間有帶電體如果空腔內(nèi)部存在電量為+q的帶電體，利用高斯定理可以證明，在空腔內(nèi)、外表面必將分別產(chǎn)生-q和+q的電荷。外表面的電荷將會(huì)在空腔外部空間產(chǎn)生電場。而腔內(nèi)出現(xiàn)由帶電體+q及腔內(nèi)表面上的電荷分布所決定的電場，這個(gè)電場與導(dǎo)體外其他帶電體的分布無關(guān)。即導(dǎo)體空腔外的電荷（包括導(dǎo)體外表面上的電荷）對(duì)導(dǎo)體空腔內(nèi)的電場即電荷分布沒有影響。這時(shí)，即使空腔導(dǎo)體外無其他帶電體仍有電場存在，它事氣餒的帶電體+q通過腔外表面感應(yīng)出等量同號(hào)的電荷所激發(fā)的，電場全由空腔導(dǎo)體外表面上的電荷分布所決定，與腔內(nèi)情況無關(guān)。腔內(nèi)帶電體放置的位置，只會(huì)改變腔內(nèi)表面上電荷的分布，絕對(duì)不會(huì)改變導(dǎo)體外表面上的電荷分布及腔外電場分布（即電荷+q及空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外所激發(fā)的合電場恒為零）。若將導(dǎo)體接地，則導(dǎo)體外表面上的感應(yīng)電荷因接地而被中和，由外表面電荷產(chǎn)生的電場隨之消失。二、靜電屏蔽綜上所述，在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導(dǎo)體外面的帶電體不會(huì)影響空腔內(nèi)部的電場分布；一個(gè)接地的空腔導(dǎo)體，腔外的電場不受空腔內(nèi)的帶電體的影響。利用導(dǎo)體靜電平衡的性質(zhì)，使導(dǎo)體空腔內(nèi)部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導(dǎo)體空腔接地，使腔外空間免受腔內(nèi)電荷和電場的影響，這類操作都稱為靜電屏蔽。靜電屏蔽在電磁測量和無線電技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。例如，為避免外界電場對(duì)設(shè)備中某些精密電磁儀器的干擾，或者為了避免某些高壓設(shè)備的電場對(duì)外界的影響，常將測量儀器甚至整個(gè)實(shí)驗(yàn)室用接地的金屬殼或金屬網(wǎng)罩起來。傳送弱訊號(hào)的連接導(dǎo)線，為了避免外界的干擾，常在導(dǎo)線外包一層用金屬絲編織的屏蔽線層，稱為屏蔽導(dǎo)線。導(dǎo)體空腔內(nèi)電場為零的結(jié)論還有重要的理論意義。對(duì)于庫侖定律中的反比指數(shù)“2”，庫侖曾用扭秤實(shí)驗(yàn)直接確定過，但是扭秤實(shí)驗(yàn)不可能做得非常精確。處于靜電平衡的導(dǎo)體空殼內(nèi)無電場的結(jié)論是由高斯定律和靜電場的電勢概念導(dǎo)出的，而這些又都是庫侖定律的直接結(jié)果。因此在實(shí)驗(yàn)上檢驗(yàn)導(dǎo)體空殼內(nèi)是否有電場存在可以間接的驗(yàn)證庫侖定律的正確性。卡文迪許和麥克斯韋以及威廉斯等人都是利用這一原理做實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證庫侖定律的。§3電容器及其電容一、孤立導(dǎo)體的電容導(dǎo)體靜電平衡特性之一，是導(dǎo)體表面上有確定的電荷分布，并具有一定的電勢值。理論和實(shí)驗(yàn)均表明，不同大小和形狀的孤立導(dǎo)體若帶上等量的電荷，其電勢并不相同，而且隨著電量的增加，各導(dǎo)體的電勢將按各自的一定比例上升。為描述這種性質(zhì)，引入孤立導(dǎo)體的電容這個(gè)物理量。定義：導(dǎo)體所帶電量與它的電勢的比值，叫做該孤立導(dǎo)體的電容。用C表示：c=q中式中q是該導(dǎo)體所帶電量，中是它的電勢。其物理意義是：使導(dǎo)體升高單位電勢所需的電荷量。孤立導(dǎo)體的電容只與導(dǎo)體的大小和形狀有關(guān)，而與所帶電荷和電勢無關(guān)，是表征導(dǎo)體儲(chǔ)電能力的物理量。對(duì)一定的導(dǎo)體，其電容C是一定的，如：半徑為R的帶電量為Q的孤立導(dǎo)體球，其電勢為：平=Q4雙R0其電容為

C=—=4雙R中0孤立導(dǎo)體的電容，只與導(dǎo)體自身的大小和形狀有關(guān)。孤立導(dǎo)體所帶電量可以表示為電容和電勢的乘積，即：國際單位制中，電容的單位是法拉（F）1法拉=1庫侖1伏特1F=1C1法拉=1庫侖1伏特1F=1C1V1〃F=10-6F,1pF=10-12F二、電容器的電容孤立導(dǎo)體是指遠(yuǎn)離其他物體的導(dǎo)體，是很難實(shí)現(xiàn)的一種理想情況。為了消除其他導(dǎo)體的影響，可采用靜電屏蔽的原理，用一個(gè)封閉的導(dǎo)體殼B將導(dǎo)體A包圍起來，就可以使由導(dǎo)體A和導(dǎo)體殼B構(gòu)成的一對(duì)導(dǎo)體系不再受到殼外導(dǎo)體的位置及帶電狀態(tài)的影響。一般來說，殼外的帶電體及導(dǎo)體殼外表面上的感應(yīng)電荷會(huì)改變導(dǎo)體A和導(dǎo)體殼B的電勢值（如果B接地，則不會(huì)改變A的電勢），但不會(huì)改變AB之間的電勢差里a-里B。顯然，導(dǎo)體殼B內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷與導(dǎo)體A上所帶電荷量幻等值異號(hào)，與導(dǎo)體的形狀無關(guān)。我們把由導(dǎo)體A和導(dǎo)體殼B構(gòu)成的一對(duì)導(dǎo)體系稱為電容器。一般總使電容器中A、B兩導(dǎo)體（稱為極板）的相對(duì)表面上帶等量異號(hào)電荷土q，在兩導(dǎo)體的電勢差UAB=中a-里b時(shí)，將比值c=q=-^-甲A_甲UA定義為電容器的電容，其值只取決于兩極板的大小、形狀、相對(duì)位置及極板間電介質(zhì)的電容率，在量值上等于兩導(dǎo)體間的電勢差為單位值時(shí)極板上所容納的電荷量，式中的q為任一極板上電荷量的絕對(duì)值。實(shí)際上，對(duì)其他導(dǎo)體的屏蔽并不需要非常嚴(yán)格，通常就用兩塊非常接近的、中間充滿電介質(zhì)（空氣、蠟紙、云母片、滌綸薄膜、陶瓷等）的金屬板（箔或膜）構(gòu)成。這樣的裝置使電場局限在兩極板間，不受外界的影響，從而使電容具有固定的量值。幾種常見的真空電容器的電容。（1）平行板電容器最簡單的電容器是由靠得很近、互相平行、同樣大小的兩片金屬板組成的平行板電容器。設(shè)每塊極板的面積為S兩極板內(nèi)表面間的距離為d，且極板的線度遠(yuǎn)大于兩極板內(nèi)表面間距離。若電容器充電后，A板帶+q，B板帶一q，由于板面很大而兩極板間的距離很小，除了兩板的邊緣部分外，電荷均勻分布在兩極板的內(nèi)表面上其電荷面密度分別為+。和-。，即。=q，且在兩極板間形成勻強(qiáng)電場，其場S強(qiáng)的大小為bE=—&0兩極板的電勢差為U=甲一平=Ed=b1qd—d=ABAB88S電容器的電容為C=L=eSUAB0d00可知，平行板電容器的電容C和極板的面積S成正比，和兩極板內(nèi)表面間的距離d成反比，而和極板上所帶的電荷量無關(guān)。說明當(dāng)兩極板間為真空時(shí)，電容C只和電容器本身的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)。增加平行板電容器的面積，減少兩極板間的距離，則它的電容就增大。在實(shí)用上，常用改變極板相對(duì)面積的大小或改變極板間距離的方法來改變電容器的電容。可在一定范圍內(nèi)改變其電容值的電容器叫做可變電容器，廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備(收音機(jī)的頻率調(diào)諧電路)中。圓柱形電容器圓柱形電容器是由兩個(gè)同軸金屬圓柱筒(面)組成。設(shè)兩圓柱面的長度為l，半徑分別為RA和RB，當(dāng)l?(RB-RA)時(shí)，則可將兩端邊緣處電場不均勻性的影響忽略。在這樣的條件下，當(dāng)兩圓柱面帶電后，電荷將均勻分布在內(nèi)外兩圓柱面上，這時(shí)兩圓柱面間的電場具有對(duì)稱性，并且在很大程度上不受外界的影響。設(shè)內(nèi)圓柱面帶電+q，外圓柱面帶電-q，這時(shí)圓柱面單位長度上的電荷量為人=q，在內(nèi)圓1柱面內(nèi)和外圓柱面外的場強(qiáng)均為零。應(yīng)用高斯定理，可求出在兩圓柱面之間距軸線為r(RA<r<RB)處P點(diǎn)的場強(qiáng)為-人E=r2雙r0設(shè)內(nèi)、外圓柱面的電勢分別為甲A和甲B，則可求出兩圓柱面間的電勢差為.二人drUab=甲A-甲B=RE-dr=￡bEdr=^—-——AAA人，Rq1R=ln=ln—b-2ksR2kslR由電容的定義，求得圓柱形電容器的電容為C=q=2雙一1—甲A-甲B0ln(RBRA)可見圓柱形電容器兩極板間為真空時(shí)，電容只和它的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)。圓柱形電容器單位長度的電容為C2ns1-ln(RBRA)球形電容器球形電容器是由半徑分別為RA和RB的兩個(gè)同心金屬球殼所組成的。設(shè)內(nèi)球帶電+q，外球帶電-q，則正、負(fù)電荷將分別均勻分布在內(nèi)球的外表面和外球的內(nèi)表

面上。這時(shí)，在兩球殼之間具有球心對(duì)稱的電場，距球心為r(RA<r<RB)處P點(diǎn)的場強(qiáng)為戶人E=r4雙r2

0U=甲一平ABAB兩球殼間的電勢差為RbRa=jrbU=甲一平ABABRbRaRaRa.11)4脫o"RaRb)根據(jù)電容的定義，球形電容器的電容為c=平一c=平一平AB=4雙鳥土0RB-RA設(shè)想組成球形電容器的外球殼在無限遠(yuǎn)處(RB5)，即RB?RA時(shí)，球形電容器的電容公式簡化為C=4雙R此式就是孤立導(dǎo)體球的電容公式。計(jì)算任意形狀電容器的電容時(shí)，總是先假定極板帶電，并求出兩帶電極板間的場強(qiáng)，再由場強(qiáng)與電勢差的關(guān)系求兩極板間的電勢差，在電勢差的表式中，它必然和電容器所帶電荷量成正比，于是由電容的定義式即可求出電容。注意：除以上討論的幾種典型電容器的電容外，實(shí)際上任何導(dǎo)體間都存在著電容。導(dǎo)線與導(dǎo)線或元件或金屬外殼之間，元件與金屬外殼之間，都存在著電容，這些電容在電工和電子技術(shù)中通常叫做分布電容。分布電容的量值通常比較小，且不容易計(jì)算，在一般情況下，它的作用可以忽略不計(jì)。但在安裝電子設(shè)備，尤其是高頻電路中，卻必須考慮分布電容的影響。

實(shí)際使用的電容器種類繁多，外形各不相同，但基本結(jié)構(gòu)是一致的。電容器的用途很多，應(yīng)用非常廣，各種電子儀器、收音機(jī)、電視機(jī)中都要用到電容。電容器在電路中具有隔直流、通交流的作用，電容器和其他元件殼組合成振蕩放大器以及時(shí)間延遲電路等。電容器還是一種儲(chǔ)能元件(儲(chǔ)存電勢能)，在很多儀器中，使用大容量的電容器組，它在充電過程中所聚積和儲(chǔ)存的電能，可在放電過程的極短時(shí)間內(nèi)釋放出來，從而獲得很大的電功率，例如脈沖式激光打孔機(jī)中就有這樣的電容器組。測量放射性射線粒子數(shù)的蓋革計(jì)數(shù)管，也相當(dāng)于一個(gè)具有軸對(duì)稱電場的圓柱形電容器。每個(gè)電容器的成品，除了標(biāo)明型號(hào)之外，還標(biāo)有兩個(gè)重要的性能指標(biāo)，一個(gè)是電容的大小，另一個(gè)是電容器的耐壓值。例如電容器上標(biāo)有100RF25V等字樣，100由表示電容器的電容，而25V表示電容器的耐壓值，耐壓值是指電容器工作時(shí)兩極板上所能承受的電壓值。如果外加的電勢差超過電容器上所規(guī)定的耐壓值，電容器中的場強(qiáng)太大，兩極板間的電介質(zhì)就有被擊穿的危險(xiǎn)。即電介質(zhì)失去絕緣性能而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體，電容器遭到破壞。這種情況稱為電介質(zhì)的擊穿，使用時(shí)必須注意。三、電容器的串聯(lián)和并聯(lián)實(shí)際應(yīng)用中，常會(huì)遇到已有電容器的電容或者耐壓值不能滿足電路使用的要求，這時(shí)常把若干個(gè)電容器適當(dāng)?shù)剡B接起來構(gòu)成一電容器組。電容器的基本連接方式有兩種：串聯(lián)和并聯(lián)。(1)串聯(lián)電容器如圖所示表示n個(gè)電容器的串聯(lián)，設(shè)電容值分別為q、C2、...、Cn，組合的等效電容值為C。當(dāng)充電后，由于靜電感應(yīng)，每對(duì)電容器的兩個(gè)極板上都帶有等量異號(hào)的電荷量+q和-q。這時(shí)，每對(duì)電容器兩極板間的電勢差U［、u2、…、un分別為組合電容器的總電勢差為(1(111)一+一++(CC1211=￡一Ci=1.iTOC\o"1-5"\h\z111—=++.…+CC1C11=￡一Ci=1.i(2)并聯(lián)電容器如圖所示表示n個(gè)電容器的串聯(lián)。當(dāng)充電后，每對(duì)電容器兩極板間的電勢差相等，都等于U，但每對(duì)電容器極板上的電荷量則不相等。設(shè)電容器C1、c2、...、Cn極板上的電荷量q1、q2qn，則q=CU，q=CU，…，q=CU1122nn組合電容器的總電荷量為q=q+q+?.?+q=(C+C+??+C).U12n12n由此可得組合電容器的等效電容為C=q=C+C+…+C=￡CUi=1即并聯(lián)等效電容器電容等于每個(gè)電容器電容之和。由以上計(jì)算結(jié)果表明，幾個(gè)電容器并聯(lián)可獲得較大的電容值，但每個(gè)電容器極板間所承受的電勢差和單獨(dú)使用時(shí)一樣；幾個(gè)電容器串聯(lián)時(shí)電容值減少，但每個(gè)電容器極板間所承受的電勢差小于總電勢差。在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)電路的要求采取并聯(lián)或串聯(lián)，特殊需要的電路中還可有更復(fù)雜的連接方法。§4靜電演示儀器(略)

§5帶電體系的靜電能一、電荷系的靜電能設(shè)n個(gè)靜止的電荷組成一個(gè)電荷系。將各電荷從現(xiàn)有位置彼此分散到無限遠(yuǎn)時(shí)，它們之間的靜電力所做的功定義為電荷系在原來狀態(tài)的靜電能，也稱相互作用能（簡稱互能）。1、兩個(gè)點(diǎn)電荷的互能設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷q和q相距為r。令q不動(dòng)而q從它所在的位置移到無窮遠(yuǎn)時(shí)，1212q2所受的電場力烏做的功為A=j“F2-dr將庫侖公式代入，可得q1q24兀8r0而qi所在點(diǎn)由q2所產(chǎn)生的方尸『qq一尸qq『drA=J?F-dr=J?——12r-dr=J^—rT?r2r4冗8r3q1q24兀8r0而qi所在點(diǎn)由q2所產(chǎn)生的這說明當(dāng)q1和q2相距r時(shí)，他們的相互作用能W^為由于q2所在點(diǎn)由q1所產(chǎn)生的電勢可表示為中2=q電勢表示為g=4=，所以上式可以寫成0W=q甲=q中將上式可以寫成對(duì)稱的形式，即1z、W=云（q甲+q甲）12211222、三個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系的互能由3個(gè)點(diǎn)電荷q、q和q組成的電荷系123以r12r23和婦分別表示它們之間TOC\o"1-5"\h\z的距離。設(shè)想先令q、q不動(dòng)，而將q從它所在的位置移到無窮遠(yuǎn)，q所受q和q123312的電場力F31和F32所做的功為A=JF-dr=[(F+F)-dr=JF-dr+JF-dr3331323132將庫侖公式代入，可得qq一廠,「qq一廠A=Js12r-dr+1^—r-dr3r4K￡r33131r4ksr33232031032qqqq=31+324ksr4ksr然后再令q1不動(dòng)，將q2移到無窮遠(yuǎn)，這一過程中電場力做的功為=q1q24兀gr將3個(gè)電荷由最初狀態(tài)分離到無窮遠(yuǎn)，電場力做的總功就是電荷系在初狀態(tài)時(shí)的相互作用能，即qqqqqqXA7—A_i_A="1"2i"2"3i”3”1234ksr4ksr4ksrTOC\o"1-5"\h\z021032031=![q(-^+-^)+q(-^+-^)+q(-^+-^)]214ksr4ksr24ksr4ksr34兀gr4ksr0210310320210310321,=(q甲+q甲+q甲)2112233式中中、中、七分別為q、由3個(gè)點(diǎn)電荷q、q和q組成的電荷系123以r12r23和婦分別表示它們之間1231233、n個(gè)電荷組成的電荷系的互能將上述結(jié)果推廣到〃個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系，則該電荷系的相互作用能為W=艾*式中中為q,所在處由q,以外其他電荷所產(chǎn)生的電勢。4、帶電體的靜電能如果只考慮一個(gè)帶電體，它的靜電能如下定義：設(shè)想把該帶電體分割成無限多的電荷元，把所有電荷元從現(xiàn)有的幾何狀態(tài)彼此分散到無限遠(yuǎn)時(shí)，電場力所做的功叫原來該帶電體的靜電能，一個(gè)帶電體的靜電能有時(shí)也稱自能。因此一個(gè)帶電體的靜電自能就是組成它的各電荷元之間的靜電互能。由電荷系的互能公式每一個(gè)帶電體的靜電自能可以用下式求出：w=1川-dq2q由于電荷元dq為無限小，所以上式積分號(hào)內(nèi)的中為帶電體上所有電荷在電荷元dq所在處的電勢，積分號(hào)下標(biāo)q表示積分范圍遍及該帶電體上所有的電荷。在很多實(shí)際場合，往往需要單獨(dú)考慮電荷系中某一電荷的行為而將該電荷從電荷系中分離出來，電荷系中的其他電荷所產(chǎn)生的電場對(duì)該電荷來說就是外電場了。因此前面所說的一個(gè)電荷在外電場中的電勢能實(shí)際上就是該電荷與產(chǎn)生外電場的電荷系間的相互作用能。二、靜電場的能量當(dāng)談到能量時(shí)，常常要說能量屬于誰或存于何處。根據(jù)超距作用的觀點(diǎn)，一組電荷系的靜電能只能屬于系內(nèi)電荷本身，或者說由那些電荷攜帶著。但也只能說靜電能屬于電荷系整體，說其中某個(gè)電荷攜帶多少能量是完全沒有意義的，因此也就很難說電荷帶有能量。從場的觀點(diǎn)來看，很自然的可以認(rèn)為靜電能就儲(chǔ)存在電場中。設(shè)想一個(gè)表面均勻帶電的球殼，所帶總電量為Q。在某一時(shí)刻球的半徑為R，可知此帶電球的靜電能量為Q2W=—8雙R0若球殼膨脹使半徑增大dR時(shí)，由于做功而使帶電球殼的能量減少了，減少的能量由上式可得Q2-dW=—dR8兀8R20由于均勻帶電球殼內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，所以球殼增大dR，就表示半徑為R，厚度為dR的球殼內(nèi)的電場消失了，而球殼外的電場并沒有任何改變。將此電場的消失和靜電能量的減少-dW聯(lián)系起來，可以認(rèn)為所減少的能量原來就儲(chǔ)存在那個(gè)球殼內(nèi)。因此可以得到儲(chǔ)存在那個(gè)球殼內(nèi)的電場中的能量為,Q2,dW=—Q—dR8雙R20根據(jù)場的概念引入的電場儲(chǔ)能的看法由于此式可用電場強(qiáng)度表示出來而顯得更為合理。已知原來那個(gè)球殼內(nèi)的電場強(qiáng)度E=—，所以上式又可寫成4兀8R2

0dW=%(—Q—)24兀R2dR=^^4兀R2dR24雙R220或者dW=^2dV2其中dV=4兀R2dR是增大的球殼的體積。由于球殼內(nèi)各處的電場強(qiáng)度的大小基本上都相同，所以進(jìn)一步引入電場能量密度的概念。以巧。表示電場能量密度，則可由上式得dW￡E2w==edV2此處關(guān)于電場能量的概念和能量密度公式雖然是由一個(gè)特例導(dǎo)出的，但可以證明它適用于靜電場的一般情況。如果知道了一個(gè)帶電系統(tǒng)的電場分布，則可將上式對(duì)全空間V進(jìn)行積分以求出一個(gè)帶電系統(tǒng)的電場的總能量，即W=fwdV=f^2dVVe」V2這就是該帶電系統(tǒng)的總能量。上式是用場的概念表示的帶電系統(tǒng)的能量，用前面帶電體的靜電能公式也能求出同一帶電系統(tǒng)的總能量，這兩個(gè)式子是完全等效的，這一等效性可以用稍復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)加以證明。本節(jié)基于場的思想引入了電場能量的概念。但對(duì)靜電場來說，雖然可以應(yīng)用它來理解電荷間的相互作用能量，但無法在實(shí)際上證明其正確性，因?yàn)椴豢赡軠y量靜電場中單獨(dú)某一體積內(nèi)的能量，只能通過電場力做功測得電場總能量的變化。這樣，“電場儲(chǔ)能”概念不過是一種“說法”，而公式也不過是帶電體靜電能的另一種“寫法”，正像用場的概念來說明兩個(gè)靜止電荷的相互作用那樣。但是不要小看了這種“說法”或“寫法”的改變，物理學(xué)中有時(shí)看來只是一種說法或?qū)懛ǖ母淖儯?/p>