1.4.2含有一個量詞的命題的否定一、選擇題1．命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是()A．任意一個有理數，它的平方是有理數B．任意一個無理數，它的平方不是有理數C．存在一個有理數，它的平方是有理數D．存在一個無理數，它的平方不是有理數[答案]B[解析]量詞“存在”否定后為“任意”，結論“它的平方是有理數”否定后為“它的平方不是有理數”，故選B.2．(2014·福州市八縣聯考)命題“有些實數的絕對值是正數”的否定是()A．?x∈R，|x|>0 B．?x0∈R，|x0|>0C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0[答案]C[解析]由詞語“有些”知原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，因為命題的否定只否定結論，所以選C.3．(2014·甘肅臨夏中學期中)命題“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．對于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．對于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案]D[解析]特稱命題的否定是全稱命題．4．(2014·貴州湄潭中學期中)已知命題p：?x∈R,2x>0，則()A．?p：?x∈R,2x<0 B．?p：?x∈R,2x<0C．?p：?x∈R,2x≤0 D．?p：?x∈R,2x≤0[答案]C[解析]全稱命題的否定為特稱命題，“>”的否定為“≤”，故選C.5．(2014·遼寧師大附中期中)下列命題錯誤的是()A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠B．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題C．命題p：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，則?p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”[答案]B[解析]由逆否命題“條件的否定作結論，結論的否定為條件”知A為真命題；p∧q為假命題時，p假或q假，故B錯誤；由“非”命題的定義知C正確；∵x>2時，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0時，x<1或x>2，∴D正確．6．已知命題“?a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是A．?a，b∈R，如果ab<0，則a<0B．?a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0C．?a，b∈R，如果ab<0，則a<0D．?a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0[答案]B[解析]條件ab>0的否定為ab≤0；結論a>0的否定為a≤0，故選B.二、填空題7．命題“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特稱命題的否定是全稱命題，將“存在”改為“任意”，“＝”改為“≠”．8．命題“過平面外一點與已知平面平行的直線在同一平面內”的否定為________．[答案]過平面外一點與已知平面平行的直線不都在同一平面內[解析]原命題為全稱命題，寫其否定是要將全稱量詞改為存在量詞．9．給出下列三個命題：①5≥5；②存在x∈R，使得2x＋1＝3；③對任意的x∈R，有x2＋1＜0，其中為真命題的是______________________．[答案]①②[解析]對于①，由5≥5成立，故①為真；對于②來說，因為2x＋1＝3，所以x＝1.所以存在x∈R，使2x＋1＝3，故②為真命題；對于③，因為x2＋1＞0恒成立，則不存在x∈R，使得x2＋1＜0，故③為假命題，所以①②為真命題．三、解答題10．寫出下列命題的否定并判斷真假：(1)不論m取何實數，方程x2＋x－m＝0必有實數根；(2)所有末位數字是0或5的整數都能被5整除；(3)某些梯形的對角線互相平分；(4)被8整除的數能被4整除．[解析](1)這一命題可以表述為p：“對所有的實數m，方程x2＋x－m＝0都有實數根”，其否定是?p：“存在實數m，使得x2＋x－m＝0沒有實數根”，注意到當Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4)時，一元二次方程沒有實根，因此?p是真命題．(2)命題的否定是：存在末位數字是0或5的整數不能被5整除，是假命題．(3)命題的否定：任一個梯形的對角線都不互相平分，是真命題．(4)命題的否定：存在一個數能被8整除，但不能被4整除，是假命題．一、選擇題11．已知命題p：?x∈R,2x<3x；命題q：?x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是()A．p∧q B．(?p)∧qC．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)[答案]B[解析]由20＝30知p為假命題；令h(x)＝x3＋x2－1，則h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1,1)內有解，∴q為真命題，∴(?p)∧q為真命題，故選B.12．(2014·福建廈門六中期中)下列命題錯誤的是()A．命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實數根”的逆否命題為：“若方程x2＋x－m＝0無實數根，則m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＝2＝0”C．對于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則?p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題．[答案]D[解析]由逆否命題的定義知A正確；x＝1時，x2－3x＋2＝0成立，但x2－3x＋2＝0時，不一定有x＝1，故B正確；由特稱命題的否定為全稱命題知C正確；p與q只要有一個為假命題，p∧q為假命題，故D錯．13．(2014·撫順二中期中)下列說法正確的是()A．命題“?x∈R，ex>0”的否定是“?x∈R，ex>B．命題“已知x、y∈R，若x＋y≠3，則x≠2或y≠1”C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命題“若a＝－1，則函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點”的逆命題為真命題[答案]B[解析]A顯然錯誤；若x＝2且y＝1，則x＋y＝3，∴B正確；如圖，在x∈[1,2]時，y＝x2＋2x的圖象總在y＝ax的圖象的上方，但y＝x2＋2x(1≤x≤2)的最小值不大于y＝ax(1≤x≤2)的最大值，故C錯；若f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝0或a＝－1，故原命題的逆命題為假命題，∴D錯誤．14．(2014·海南省文昌市檢測)下列命題中是假命題的是()A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是冪函數，且在(0，＋∞)B．?a>0，函數f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點C．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．?φ∈R，函數f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數[答案]D[解析]∵f(x)為冪函數，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上遞減，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域為[－eq\f(1,4)，＋∞)，∴對?a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零點，故B真；當α＝eq\f(π,6)，β＝2π時，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；當φ＝eq\f(π,2)時，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數，故D為假命題．二、填空題15．已知命題p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0，命題q：?x0∈R，sinx0＋cosx0＝eq\r(2)，則p∨q，p∧q，?p，?q中是真命題的有________．[答案]p∨q?p[解析]∵x2－x＋eq\f(1,4)＝(x－eq\f(1,2))2≥0，故p是假命題，而存在x0＝eq\f(π,4)，使sinx0＋cosx0＝eq\r(2)，故q是真命題，因此p∨q是真命題，?p是真命題．16．(2014·福州市八縣聯考)已知命題p：m∈R，且m＋1≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q為假命題且p∨q為真命題，則m的取值范圍是________．[答案]m≤－2或－1<m<2[解析]p：m≤－1，q：－2<m<2，∵p∧q為假命題且p∨q為真命題，∴p與q一真一假，當p假q真時，－1<m<2，當p真q假時，m≤－2，∴m的取值范圍是m≤－2或－1<m<2.17．命題“?x∈R，使x2＋ax＋1<0”為真命題，則實數a的取值范圍是________[答案]a>2或a<－2[解析]由于?x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函數f(x)＝x2＋ax＋1開口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.三、解答題18．(2014·馬鞍山二中期中)設命題p：f(x)＝eq\f(2,x－m)在區間(1，＋∞)上是減函數；命題q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩個實根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|對任意的實數a∈[－1,1]恒成立，若(?p)∧q為真，試求實數