專(zhuān)題39圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題【高考真題】1．(2022·全國(guó)乙理)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，－2)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【方法總結(jié)】定點(diǎn)問(wèn)題的常用方法(1)參數(shù)法：參數(shù)法解決定點(diǎn)問(wèn)題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中的核心變量(此處設(shè)為k)；②利用條件找到k與過(guò)定點(diǎn)的曲線F(x，y)＝0之間的關(guān)系，得到關(guān)于k與x，y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)．定值問(wèn)題的常用方法(1)直接消參求定值：常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：①確定一個(gè)(或兩個(gè))變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示；②將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù)．(2)從特殊到一般求定值：常用處理技巧：①在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；②巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算．【題型突破】1．(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A，B分別為橢圓E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(GB,\s\up6(→))＝8．P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．2．已知點(diǎn)F(eq\r(2)，0)為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)連線的斜率之積為－eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)的兩條弦PQ，MN相互垂直，若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PS,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MT,\s\up6(→))，求證：直線ST過(guò)定點(diǎn)．3．(2019·北京)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)為(1，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l：y＝kx＋t(t≠±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N．若|OM|·|ON|＝2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．4．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4，0)是x軸上一定點(diǎn)，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于|OA|，離心率為eq\f(\r(3),2)．(1)求橢圓的方程；(2)直線l：y＝kx＋t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，已知M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′，若M′，N′滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OM′,\s\up6(→))＋μeq\o(ON′,\s\up6(→))(λ＋μ＝1)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．5．已知橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b≥1)的離心率為eq\f(\r(2),2)，它的上焦點(diǎn)到直線bx＋2ay－eq\r(2)＝0的距離為eq\f(\r(2),3)．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試探究以線段AB為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，∠F1AF2＝60°，且S△F1AF2＝eq\r(3)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知拋物線C：x2＝－2py(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1)．(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．8．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，且S△PF1F2＝eq\f(3,2)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M(4，0)的直線l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，且y1y2≠0，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得直線NA，NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．設(shè)橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A(－1，0)，B(1，0)，C為橢圓M上的點(diǎn)，且∠ACB＝eq\f(π,3)，S△ABC＝eq\f(\r(3),3)．(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)橢圓M右焦點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線與橢圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，探究在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，－2eq\r(2))．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知M，N為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(AN,\s\up6(→))，判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出此點(diǎn)坐標(biāo)．11．(2020·新高考山東)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且過(guò)點(diǎn)A(2，1)．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．12．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(1,2)，并且經(jīng)過(guò)P點(diǎn)(0，eq\r(3))．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與x軸交于N點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，直線PB′交x軸于點(diǎn)M，求證：|OM|·|ON|為定值．13．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓上有兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且AO⊥BO，證明存在定點(diǎn)M，使得M到直線AB的距離為定值，并求出定值．14．如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線l：y＝kx＋m(km<0)與橢圓交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在l上，且滿足|PA|＝|PF|，|QB|＝|QF|，|OA|＝|OB|(點(diǎn)A，P，Q，B從上到下依次排列)．(1)試用x1表示|PF|；(2)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為定值．15．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為e，點(diǎn)(1，e)在橢圓E上，點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面積為eq\f(3,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，直線OM的斜率為k1，直線ON的斜率為k2，且k1k2＝－eq\f(1,9)，證明：△OMN的面積是定值，并求此定值．16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(1，0)的直線l與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作直線l′⊥l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，記△OAB，△OPQ的面積分別為S1，S2，證明：eq\f(1,S\o\al(2,1))＋eq\f(1,S\o\al(2,2))為定值．17．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a＞eq\r(2))的離心率為eq\f(\r(2),2)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P.(1)若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在y軸上，且AQ∥BM.求證：∠PFQ為定值．18．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N為定值．19．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，滿足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面積為1．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)C的上頂點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)(2，－1)的直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)(異于H)，求證：直線HR和HS的斜率之和為定值，并求出這個(gè)定值．2