第1章

分式1.1分式（1）

面對日益嚴重的土地沙化問題，某縣決定在一定期限內固沙造林2400hm2，實際每月固沙造林的面積比原計劃多30hm2，結果提前完成原計劃的任務．如果設原計劃每月固沙造林xhm2，那么（1）原計劃完成造林任務需要多少個月？（2）實際完成造林任務用了多少個月？（1）2010年上海世博會吸引了成千上萬的參觀者，某一時段內的統計結果顯示，前a天日均參觀人數35萬人，后b天日均參觀人數45萬人，這（a+b）天日均參觀人數為多少萬人？（2）文林書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價是每冊a

元，現每冊降價x

元銷售，當這種圖書的庫存全部售出時，其銷售額為b

元．降價銷售開始時，文林書店這種圖書的庫存量是多少?上面問題中出現了代數式它們有什么共同特征？它們與整式有什么不同？這些式子都可寫成的形式，分子、分母都是整式，分母中都含字母，而單項式和多項式統稱整式，整式分母中不含字母。一個概念：分式的概念①分子分母都是整式②分母中含有字母③分母不能為零分式定義：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母.例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？為什么（2)（4）不是分式？判斷的關鍵是什么？解:屬于整式的有（2）、（4）

屬于分式的有（1）、（3）分母含有字母是分式，分母不含字母是整式.二個應用一、列分式例2：把甲、乙兩種飲料按質量比x：y混合在一起，可以調制成一種混合飲料。調制1千克這種混合飲料需多少甲種飲料？答案：千克現學現用現學現用二、分式的求值例題3：（1）當a=1，2時，分別求分式的值；解：（1）當

a=1時

當a=2時

(2)當a取何值時，分式有意義?解：當分母的值為零時，分式沒有意義，除此以外，分式都有意義。由分母2a=0，得a=0，所以,當a取零以外的任何數時，分式都有意義.1.當x取什么值時，下列分式無意義？2.當x取什么值時，下列分式的值為零？隨堂練習12、從“1,2,a,b,c”中選取若干個數或字母，組成兩個代數式，其中一個是代數式，一個是分式．3、當x為任意實數時，下列分式一定有意義的是（A）（B）

(C)（D）隨堂練習2一個概念分母等于零分母不等于零分子等于零且分母不等于零兩個應用列分式求分式的值三個條件分式有意義的條件分式無意義的條件分式的值為零的條件分式的概念①分子分母都是整式②分母中含有字母③分母不能為零。課堂小結1.1分式（2）(1)的依據是什么?解:依據是分數的基本性質,分數的分子與分母都乘以或除以同一個不為零的數,分數的值不變(2)你認為分式相等嗎?

呢?類比分數可以得到分式的基本性質:分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的整式,分式的值不變.用式子表示類比理由:因為字母可以表示任何數.強調:性質中是同時乘以或除以同一個不為零的整式;同乘以時要交代條件；同除以的時候有時原題已經隱含了不等于零的條件，可以不用重復交代.例1下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的?(1)

(2)解：(1)

因為y≠0，所以＝

＝

(2)因為x≠0，所以例2

化簡下列分式:解:注:在(1)中相當于分子、分母同時約去了整式ab;在(2)中相當于分子、分母同時約去了整式(x-1)；把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．同除以的ab、(x-1)在原分式中充當了分母的因式，所以默認是不等于0的，否則原分式無意義.這就不再交代ab、(x-1)不等于0.例題演示約分的基本步驟：(1)若分子﹑分母都是單項式，則約簡系數，并約去相同字母的最低次冪；(2)若分子﹑分母含有多項式，則先將多項式分解因式，然后約去分子﹑分母所有的公因式．注意：約分過程中，有時還需運用分式的符號法則使最后結果形式簡捷；約分的依據是分式的基本性質.下面對同一分式的化簡哪個更合適？(2)式中分子分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式辨一辨分式的約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.（化簡分式時，通常要使結果成為最簡分式或者整式）歸納：最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式叫最簡分式.一、化簡下列分式隨堂練習二.填空隨堂練習鞏固練習課堂小結1、分式的基本性質:分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式,分式的值不變.用式子表示2、分式基本性質的應用3、分式化簡:通常要使結果成為最簡分式或者整式.1.2分式的乘法和除法背景導入上節課我們學習了：分式的基本性質：分式的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分式與原分式相等。能對分式進行約分。將一個分式化成最簡分式。接下來我們將學習分式的乘除法運算。一、做一做，回顧分數的乘除法。１、＝

２、

————————————＝————＝解答(1)(2)回顧分數的乘、除法法則分數的乘法法則：分數乘分數，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因數。分數的除法法則：分數除以分數，把除數的分子和分母顛倒位置后，再與被除數相乘。提問：你能用代數式表示上題的計算過程嗎？經觀察類比，不難發現：分式的乘、除法法則：分式的乘法法則：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因式。分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。例題講解例１：計算：（１）

（２）

例題解答解：（１）（２）

注意：分式運算的最后結果要化為最簡分式。（２）

（分析：若分式的分子分母可以因式分解，則先因式分解再進行計算。）例２：計算：（１）解：（１）（２）

教學總結提問：通過本節課的學習，你學到了哪些知識和數學思想？１、分式的乘除法。２、數學中重要的一種思想——類比轉化思想。由小學所學的分數的乘除法類比到分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法。復習正整數指數冪有以下運算性質：（1）am·an=am+n(a≠0m、n為正整數)（2）(am)n=amn(a≠0m、n為正整數)（3）(ab)n=anbn(a，b≠0m、n為正整數)（4）am÷an=am-n(a≠0m、n為正整數且m>n)（5）（b≠0，n是正整數）當a≠0時，a0=1。（0指數冪的運算）（6）am÷an=am-n(a≠0m、n為正整數且m>n)a5÷a3=a2a3÷a5=？分析a3÷a5=a3-5=a-2a3÷a5==n是正整數時,a-n屬于分式。并且(a≠0)例如:引入負整數指數冪后，指數的取值范圍就擴大到全體整數。（1）32=_____，30=___，3-2=_____;（2）(-3)2=____，(-3)0=___，(-3)-2=_____；（3）b2=_____,b0=____,b-2=____(b≠0).練習a3

●a-5=a-3

●a-5=a0

●a-5=a-2a-8a-5am●an=am+n，這條性質對于m，n是任意整數的情形仍然適用。歸納整數指數冪有以下運算性質：（1）am·an=am+n(a≠0)（2）(am)n=amn(a≠0)（3）(ab)n=anbn(a,b≠0)（4）am÷an=am-n(a≠0)（5）（b≠0）當a≠0時，a0=1。（6）a-3·a-9=(a-3)2=(ab)-3=a-3÷a-5=例題：(1)(a-1b2)3;(2)a-2b2●(a2b-2)-3跟蹤練習：(1)x2y-3(x-1y)3；(2)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3科學計數法光速約為3×108米/秒太陽半徑約為6.96×105千米目前我國人口約為6.1×109小于1的數也可以用科學計數法表示。a×10-na是整數位只有一位的正數，n是正整數。0.00001==10-50.0000257==2.57×10-5

對于一個小于1的正小數，如果小數點后至第一個非0數字前有8個0，用科學計數法表示這個數時，10的指數是多少？如果有m個0呢？思考0.0000000027=________，0.00000032=________，2.7×10-93.2×10-71.用科學計數法表示下列數：0.000000001，0.0012，

0.000000345，-0.00003，

0.000000010837800001納米=10-91億=108課堂練習基礎題2.計算：(2×10-6)×(3.2×103);(2)(2×10-6)2÷(10-4)33.（提高題）用科學計數法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=___.小結（1）n是正整數時,a-n屬于分式。并且(a≠0)（2）科學計數法表示小于1的小數：a×10-n（a是整數位只有一位的正數，n是正整數。）1.4分式加法和減法（1）

把兩個西瓜平均分成n份，小明從第一個西瓜中拿了2份，又從第二個西瓜中拿了3份，他一共有多少西瓜？你會算嗎？這就是我們今天要學習的內容！類比同分母分數加、減法的法則得出同分母分式加、減法則。能夠熟練地進行同分母分式進行加、減法的運算，并將結果約分化為最簡分式或整式。學習目標你知道嗎？原來丟番圖是在尋找平方和為4的平方的兩個數！

猜一猜以上是我們以前學過的同分母分數的加法。同分母分式加、減法的法則是怎樣的？與同分母分數加、減法的法則一樣嗎？你猜對了嗎？同分母分式加、減法的法則：分母不變，分子相加、減。用式子表示為：你現在知道小明有多少西瓜了嗎？你做對了嗎？互為相反數想一想互為相反數你能用分式的符號法則將它們化為一樣的嗎？你做對了嗎？看誰算得快!你做對了嗎？（因式分解）（分子為多項式時，應先加括號）(你約分了嗎？）同分母分式加減運算步驟：（1）分母不變，分子相加減.分子為多項式時，要加括號.（2）去括號（3）合并同類項（4）分子分母因式分解（5）約分，化為最簡分式或整式你還有什么問題嗎？計算：你會了嗎？你做對了嗎？

某人用電腦錄入漢字的效率相當于手抄的3倍，設他手抄的速度為a字/時，那么他錄入3000字文稿比手抄少用多少時間？1.4分式的加法和減法（2）知識回顧1.同分母的分式相加減的法則：同分母的分式相加減，______不變，把分子__________,結果要化成_________.分母2.式子8xy2與6x2的公因式是________.多項式(x+1)(x-1)與x(x-1)的公因式是_______.

多項式x2-4與4-2x的公因式是_______.3.分式的基本性質：分式的分子與分母都乘

___________________，所得分式與原分式相等.2xx-1x-2同一個非零整式相加減最簡分式4.2，3的最小公倍數是______6，8的最小公倍數是______6，4，9的最小公倍數是______5.算一算：+=_________=_____-=_________=_____2436+-交流：從上面的例子看到，異分母的分數加減法是如何進行的？6異分母的分數相加減：要先_____，化成_________分數,然后再相加減.關鍵是找出各分母的______________.通分同分母的最小公倍數想一想：幾個數的最大公因數與最小公倍數有什么區別？本節課的學習目標1.類比異分母的分數加減法則理解異分母

的分式加減法則.2.類比分數通分的方法，掌握分式通分的方法，明白通分的關鍵是找出各分母的最小公倍式即最簡公分母.探究學習：1.類比前面異分母的分數加減法，你能進行下面的分式加減法嗎？+=_____________=________=_____________=______+2x?3y1?3y_____3y?2x1?2x_____6xy3y+2x_______6x2?4y21?4y2_______-24x2y24y2-3x_______8xy2?3x1?3x_______由上可見異分母的分式加減法如何進行呢？關鍵是做什么？-1.類似地，異分母的分式相加減，要先____化成_______的分式，然后再加減．3.分式通分的關鍵是確定各個分母的___________________，歸納：2.通分：把各個分式的分子與分母都乘以___________________________，化成同分母的分式的過程叫做分式的通分．通分同分母適當的同一個非0整式最小公倍式即：最簡公分母+-=_____________=________=_______________=______+2x?3y1?3y_____3y?2x1?2x_____6xy3y+2x_______6x2?4y21?4y2_______-24x2y24y2-3x_______8xy2?3x1?3x_______觀察上面通分的過程，你認為什么樣的式子才是各分母的最小公倍式，即最簡公分母？取各分母的所有因式的最高次冪的積為最簡公分母.解：（1）最簡公分母是通分練習：12xy24x2_____==4xy?3y1?3y_______=3y2?4xx?4x_______=12xy23y_____解：（2）最簡公分母是通分練習：5b2c?4a2c4a?4a2c_________===20a2b2c215bc3_______=4a2b?5bc23c?5bc2_________=20a2b2c216a3c_______2ac2?10ab25b?10ab2_________=20a2b2c250ab3_______解：（3）最簡公分母是x（x-1）（4），x2-41______4-2xx______x2-x1______x2-x1______=x?(x-1)1?(x-1)________x(x-1)x-1______==x(x-1)1______解：（4）最簡公分母是（4），x2-41______4-2xx_____x2-41_____x2-x1______2（x+2)（x-2）=(X+2)(X-2)1_________2(X+2)(X-2)2___________==(X+2)(X-2)?21?2___________4-2xx______=2(2-x)x________=-2(X-2)?(x+2)x?(x+2)___________=2(X+2)(X-2)x2+2x___________-2.看系數：系數取各個分母的系數的

最小公倍數.3.看字母和式子因式：

字母和式子因式應當取各個分母的所有字母和式子因式的最高次冪.注意：通分時，根據最簡公分母，分子與分母都要同乘一個非零整式，不要漏乘。小結：確定最簡公分母的方法：1.若分母是多項式，則先將分母因式分解.（1）分式加減運算的方法思路：

通分

轉化為異分母相加減同分母相加減分子（整式）相加減分母不變轉化為本節課你的收獲是什么？(2)通分的關鍵是確定最簡公分母。當分母是多項式時，要先將分母因式分解，然后求出最簡公分母1.5可化為一元一次方程的分式方程（1）復習回顧1.含有__________的等式叫做方程.2.只含有___個未知數，且未知數的次數是___的整式方程叫做一元一次方程.3.下列方程哪些是一元一次方程?（1）3x-5=3（2）x+2y=5（3）x2-x=5（4）-=16x+1____1.5x___未知數11（1），（4）是一元一次方程4.解下列一元一次方程：解→去分母方程的兩邊都乘6，得4x-(x+1)=1×6→去括號去括號，得4x-x-1=6→移項移項，得4x-x=6+1→合并同類項3x=7→系數化為1（4）-=16x+1____1.5x___x=6為各分母的最小公倍數某校八年級學生乘車去秋游，有兩條線路可供選擇：線路一全程25km，線路二全程30km.若走線路二平均速度是走線路一的1.5倍，所花時間比走線路一少用10min,求走線路一、二的平均速度分別是多少？（1）審題，已知哪些條件？由此可得哪些數量關系？思考交流：??學校風景區動腦筋：實際問題某校八年級學生乘車去秋游，有兩條線路可供選擇：線路一全程25km，線路二全程30km.若走線路二平均速度是走線路一的1.5倍，所花時間比走線路一少用10min,求走線路一、二的平均速度分別是多少？數量關系:走線路一的時間-走線路二的時間=10min線路二的平均速度=1.5走線路一的平均速度（2）若設走線路一的平均速度為xkm/h，

則走線路二的平均速度為_________.走線路一的時間是

h，走線路二的時間是

h，根據等量關系可列出什么方程？1.5xkm/hx251.5x30得到如下方程：像這樣，分母中含有未知數的方程叫做

分式方程以前學的分母中不含有未知數的方程叫做

整式方程1.5x3061-=x25觀察：這個方程與前面所學的方程有什么不同？特征：分母中含有未知數.本節課的學習目標1.了解分式方程的定義以及分式方程與整式方程的區別.2.類比解一元一次方程的方法去解分式方程.明白解分式方程的基本思想是:去分母轉化

為整式方程.3.理解解分式方程產生增根的原因，知道解分式方程一定要檢驗.

下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？一、分式方程的定義分母中含有未知數的方程叫做分式方程=0x+5y2x2+x=4-=5+=63x-2x-x-2y=43-x

πx2=x-152x+=101x-2①=3x②⑨⑧⑦⑥⑤④③分式方程:整式方程:①③⑥⑨②④⑤⑧如何解方程？解：方程兩邊都乘以最簡公分母6x

得：25×6-30×4=x解得x=30檢驗：把x=30代入原方程得分式方程的解也叫作分式方程的根二、探究分式方程的解法1.5x3061-=x25交流：類比一元一次方程的解法，在方程的兩邊都乘以什么就可去掉分母？各分式的最簡公分母6x左邊=61=1.5×3030-3025=右邊因此x=30是原方程的解想一想：x=30是原方程的解嗎？如何檢驗？1.5x3061-=x25交流歸納：從解分式方程的過程可看出：(1)解分式方程的關鍵是把含有未知數的分母______，轉化為_______方程.(2)在方程的兩邊同乘以各個分式的____________，就可以去掉分母.去掉整式最簡公分母解分式方程的基本思想：分式方程整式方程(一元一次方程)轉化為去分母()解：解這個方程得x=3檢驗：把x=3代入原方程，兩邊分母為0，分式無意義2-xx-3再解一道方程=-213-x2-x=-1-2(x-3)兩邊都乘以最簡公分母x-3得：因此x=3不是原分式方程的解從而原方程無解.議一議：從此例可看出，將分式方程轉化為整式方程的過程中可能出現什么情況？1.將分式方程轉化為整式方程的過程中可能出現不適合于原方程的根.使分母值為零的根2.增根產生的原因:小結：→增根去分母時，分式方程兩邊同乘以一個為0的式子后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.3.在解分式方程時必須進行檢驗.4.驗根的方法：

解分式方程進行檢驗的關鍵是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母為零.

為了簡便，在檢驗時只要把所求出的x的值代入最簡公分母中，看它的值是否為零.如果它使最簡公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根,說明原方程無解.如果它使最簡公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的根；分式方程一元一次方程x=cx=c是否使最簡公分母的值為0兩邊都乘以最簡公分母解方程檢驗否原方程的解是增根一化二解三檢驗5.解分式方程的一般步驟：（1）在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母化成整式方程（2）解這個整式方程；（3）把整式方程的根代入最簡公分母中檢

驗.例3解方程：

方程兩邊同乘以檢驗：把x=5代入x-4，得x-4≠0

∴x=5是原方程的解.

方程兩邊同乘以

檢驗：把x=2代入x2-4，得x2-4=0。

∴x=2是增根，從而原方程無解。

解下列方程：練習

x=5

x=－2(5)x-11-x1+x=1無解

x=1

x=0

x=9無解x=67小結1、解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母2、解分式方程的一般步驟：一化二解三檢驗4、寫出原方程的根.1、方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程.

2、解這個整式方程.3、把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解，必須舍去.1.5可化為一元一次方程的分式方程（2）小明家和小玲家住同一小區，離學校3000m.某一天早晨，小玲和小明分別于7:20、7:25離家騎車上學，在校門口遇上.已知小明騎車的速度是小玲的1.2倍，試問：小玲和小明騎車的速度各是多少？設小玲騎車的速度是vm/s，則小明騎車的速度是

m/s，小玲從家到學校花的時間是

s，小明從家到學校花的時間是

s，小玲比小明多花了

s.

1.2v300

由上述可列出方程如下：方程兩邊同乘最簡公分母1.2v，得1.2×3000-3000=5×60×1.2v即3600-3000=360v.

解這個一元一次方程，得檢驗：當時，最簡公分母1.2v的值為因此是原方程的一個根，從而1.2v=2.答：小玲、小明騎車的速度分別是m/s、2m/s.例4某單位蓋一座樓房，由建筑一隊施工，預計180天能蓋成.為了能早日峻工，由建筑一隊、二隊同時施工，100天就蓋成了.試問：建筑二隊的施工效率如何？即，如果由建筑二隊單獨施工，需要多少天才能蓋成？分析設由建筑二隊單獨施工需要x天才能蓋成.

我們把蓋成這座樓房的工程總量設為1，則建筑一隊施工1天完成的工程量是

，建筑二隊施工1天完成的工程量是

.建筑一隊、二隊同時施工，1天完成的工程量是

，從而100天完成的工程量是

.然后根據題意，兩個隊同時施工，100天蓋成了樓房，就可以列出方程.

解

設由建筑二隊單獨施工需要x天才能蓋成樓房.我們把蓋成這座樓房的工程總量設為1，則建筑一隊施工1天完成的工程量是，二隊施工1天完成的工程量是，一隊、二隊同時施工，1天完成的工程量是根據題意，兩個隊同時施工，100天就蓋成了樓房，即100天完成了工程總量.由此列出方程：方程兩邊同乘最簡公分母900x，得5x+900=9x.即解這個一元一次方程，得x=225.檢驗：當x=225時，最簡公分母900x的值為900×225≠0，因此x=225是原方程的一個根.答：由建筑二隊單獨施工需要225天才能蓋成樓房.例5在電路中，電功率P(W)與電壓U(V)、電阻R(Ω)的關系式為一個40W的電燈泡接在電壓為220V的電路中，電流通過燈泡時的電阻是多少？解由題意可得兩邊乘R，得40R=2202.解這個一元一次方程，得顯然，R≠0，答：電流通過燈泡時的電阻是1210Ω.

R=1210.因此R=1210是原方程的一個根.1.把一張面積為280cm2的照片鑲在一塊長方形的木板上，如圖2-6所示.設木板的高為h，寬為x(單位都是cm).（1）寫出h的表達式；（2）當h=27時，寬x是多少？圖2-6答：18cm.2.在例4中，如果由建筑一隊、二隊同時施工，

30天完成了工程總量的，那么由二隊單獨施工需要多少天才能蓋成樓房？解設由二隊單獨施工需x天完成任務，則

故由二隊單獨施工需180天才能完成.例1

輪船順水航行40千米所需的時間和逆水航行30千米所需的時間相同.已知水流速度為3千米/時，設輪船在靜水中的速度為x千米/時，可列方程為

.解析V順=(x+3)千米/時，V逆=(x-3)千米/時，故例2

為了幫助四川地震災區重建家園，某學校號召師生自愿捐款.第一次捐款總額為20000元，第二次捐款總額為56000元，已知第二次捐款人數是第一次的2倍，而且人均捐款額比第一次多20元.求第一次捐款的人數是多少？若設第一次捐款人數為x，則根據題意可設方程為

.解析第一次人均捐款元；第二次人均捐款元.∵第二次人均捐款比第一次人均捐款多20元.可得方程：例3

在達成鐵路復線工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊獨做2天后，再由乙工程隊獨做3天剛好完成這項任務.已知乙工程隊單獨完成這項任務比甲工程隊單獨完成這項任務多用2天，求甲、乙工程隊單獨完成這項任務各需多少天？解：設甲工程隊單獨完成任務需x天，則乙工程隊單獨完成任務需(x+2)天，依題意得化為整式方程得x2-3x-4=0，解得x=-1或x=4.檢驗：當x=4和x=-1時，x(x+2)≠0，x=4和x=-1都是原分式方程的解.但x=-1不符合實際意義，故x=-1舍去.乙單獨完成任務需要x+2=6(天).答：甲、乙工程隊單獨完成任務分別需要4天、6天.分式復習課本章學習分式和它的基本性質，分式的運算，整數指數冪，分式方程和它的應用.一、分式和它的基本性質1.分式如果設f，g分別表示兩個整式，并且g中含有字母，那么代數式叫做分式.2.分式的基本性質設h≠0，則即，分式的分子與分母同乘一個非零多項式，所得分式與原分式相等；分式的分子與分母約去公因式，所得分式與原分式相等.

3.分式中有關負號的性質二、分式的運算1.分式的乘除法

即，分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母，然后約去分子與分母的公因式，使結果成為最簡分式.分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.把分式的分子與分母的公因式約去，這稱為約分.分式的乘方：設n是正整數，則2.分式的加減法同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

即把各個分式的分子與分母同乘一個適當的非零多項式，使得這幾個分式的分母變得相同，這稱為通分，這時的分母稱為公分母.

異分母的分式相加減，要先通分，化成同分母的分式，然后再加減.

通分時取的公分母應當是最簡公分母.三、整數指數冪1.同底數冪的除法(a≠0，m，n都是正整數，且m＞n).a0=1(a≠0)2.零次冪和負整數指數冪(a≠0，n是正整數)，特別地，設a≠0，b≠0，m，n都是整數，則3.整數指數冪的運算法則am·an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn.四、分式方程1.分式方程分母中含有未知數的方程叫分式方程.解分式方程的關鍵是，方程的兩邊同乘各個分式的最簡公分母，把含未知數的分母去掉.解分式方程，可能產生增根，因此必須檢驗.方法是，把求出的x的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值為0，則它是原方程的增根；否則，它是原方程的根.2.分式方程的應用分析清楚題目中各個量，找出它們之間的等量關系.除了解分式方程必須檢驗外，還需要檢查原方程的根是否符合實際問題的要求.2.1三角形（1）教學目標：1、知道三角形的有關概念及三角形的分類，掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質并能初步運用。2、理解三角形的中線、角平分線、高的概念，并通過畫圖了解三角形的三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線的交點情況。3、通過操作、觀察、歸納和說理等過程初步體會分類思想，感受數學的美，逐步養成良好的數學思維習慣。觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來.閱讀課本42至43頁思考下列問題：1.什么樣的圖形叫做三角形？如何表示一個三角形？什么是三角形的頂點，邊，內角？2.在三角形中，角的對邊是指什么？邊的對角是指什么？3.什么樣的三角形是等腰三角形或等邊三角形？等腰三角形的腰、頂角、底角分別指什么？4.在三角形中，三條邊要滿足什么關系？請同學們完成學案"預習"部分不在同一直線上首尾相接首首首尾尾尾1.三角形的定義由______________的三條線段_____________所組成的圖形叫做三角形注意關鍵詞：首尾相接←頂點←內角（簡稱三角形的角）邊→ABC2.三角形的頂點，邊，內角及其表示法三角形可用符號______來表示圖中的三角形ABC可記作________頂點→←頂點其中，點A，B，C

叫作△ABC的_________;∠A，∠B，∠C叫作△ABC的________（簡稱△ABC的_____）；線段AB，BC，CA叫作△ABC的________;△△ABC頂點內角角邊

（1）∠A的對邊是____，用小寫字母___表示∠B的對邊是____，用小寫字母___表示∠C的對邊是____，用小寫字母___表示ABCa3.三角形的角的對邊及邊的對角（2）BC邊的對角是________，

AC邊的對角是________，

AB邊的對角是________。BCaACbbABcc∠A∠B∠C腰腰底邊頂角底角底角4.等腰三角形與等邊三角形(1)______________的三角形叫作等腰三角形.有兩條邊相等如圖△ABC中，AB

=AC，則△ABC是______三角形等腰(2)___________的三角形叫作等邊(正)三角形.三邊都相等如圖△ABC中，AB

=AC=BC，則△ABC是____三角形等邊思考交流：等腰三角形與等邊三角形有何關系？等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.

在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度之間有怎樣的大小關系？為什么?動腦筋三角形的三邊之間的關系為____________________________.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

在△ABC中，BC是連接B，C兩點的一條線段，由基本事實“兩點之間線段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB.三角形的任意兩邊之和大于第三邊.三角形的任意兩邊之差小于第三邊.構成三角形的條件AB>BC-ACAC>BC-ABBC>AC-AB判斷三條線段能否組成三角形，是否一定要檢驗三條線段中任何兩條的和都大于第三條？根據你剛才解題經驗，有沒有更簡便的判斷方法？思考：只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，便可構成三角形;若不滿足，則不能構成三角形.1.下列長度的各組線段能否組成一個三角形，并說明理由？（1）15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm

(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm練一練結論三角形的任意兩邊之和大于第三邊.兩短邊之和大于長邊.其實質就是：3.一個等腰三角形的一邊長9cm,另一邊長4cm,則它的周長是多少?為什么?

提示:既然是等腰三角形,那么另一邊的長要么是4cm,要么是9cm.

如果是4cm,那么4﹢4﹤9cm,這樣不滿足三角形的三邊關系,所以另一邊的長只能是9cm,周長就應該是9﹢9﹢4＝22cm.2.一個三角形的兩邊長分別是2cm、5cm,則第三邊長X的取值范圍是多少?分析：X應滿足大于5﹣2﹦3cm,小于5﹢2﹦7cm，所以3﹤X﹤7.

例1如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又AD=BD，則BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.練習1.（1）如圖，圖中有幾個三角形？把它們分別表示出來.答：五個三角形.（2）如圖，在△DBC中，寫出∠D的對邊，

BD邊的對角.答：∠D的對邊是BC，

BD邊的對角是∠BCD.2.

三根長分別為2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接構成一個三角形嗎？答：能.1、按邊：

2、按角3、三角形任意兩邊的和大于第三邊

a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a課堂小結1、已知三角形的三邊長為連續整數,且周長為12cm,則它的最短邊長為(

)

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm

2.已知四組線段的長分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是（

）

A.1，2，3

B.2，5，8

C.3，4，5

D.4，5，10

3.已知三角形的三邊長分別為4、5、x，則x不可能是（

）

A．3

B．5

C．7

D．94.已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（

）

A.13cm

B.6cm

C.5cm

D.4cm

5.一個三角形的兩條邊長分別為3和7，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最小值是（

）

A.14

B.15

C.16

D.17

6.如果線段a、b、c能組成三角形，那么，它們的長度比可能是（

）

A.1∶2∶4

B.1∶3∶4

C.3∶4∶7

D.2∶3∶4課后作業

：一、選擇題

三角形是（

）

A．連接任意三角形組成的圖形

B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的的圖形

C．由三條線段組成的圖形

D．以上說法均不對

二、填空題

1.已知△ABC的一個外角為50°，則△ABC一定是________三角形.

2.若等腰三角形兩邊長分別為３和５，則它的周長是_______________.

3.三角形三邊為3，5，

a，則a的范圍是

________________

。

4.三角形兩邊長分別為25cm和10cm，第三條邊與其中一邊的長相等，則第三邊長為___________

。1.由_______________的三條線段________所構成的圖形叫做三角形.2.____________的三角形叫做等腰三角形，

其中______________叫做腰，另一邊叫做_____.3.三角形的______大于第三邊.不在同一直線上首尾相接兩條邊相等相等的兩邊底邊任意兩邊之和復習回顧

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.

如圖，AH⊥BC，垂足為點H，則線段AH是△ABC的BC邊上的高.探究做一做如圖，試畫出圖中△ABC的BC邊上的高.DABCACB

在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.如圖，∠BAD=∠CAD，則線段AD是△ABC的一條角平分線.

在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中線.

如圖，BE=EC，則線段AE是△ABC的BC邊上的中線.想一想：任何一個三角形有幾條高？幾條角平分線？有幾條中線？探究學習

請同學們猜想一下:

三角形的角平分線，中線，高分別有幾條？它們是在三角形內還是在三角形外?

答：三角形有三條角平分線，三條中線，三條高.三條角平分線和三條中線是在三角形內，而三條高不一定都在三角形內，但至少有一條高是在三角形內.

任意畫一個三角形，畫出三邊上的中線.你發現了什么？做一做EFDG事實上，三角形的三條中線相交于一點.我們把這三條中線的交點叫作三角形的重心.如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點G，則點G為△ABC的重心.想一想任意三角形的三條高、三條角平分線也交于一點嗎？例2如圖AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高.（1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來.解（1）圖中有6個三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC.∵AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，又∴S△ABD=S△ADC.通過反思本題第二問，你有什么發現？三角形中線把三角形平分成面積相等的兩部分.練習1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫出一

個三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高以

及這條邊所對的角的平分線.2.

如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，BF是△EBD的角平分線，根據已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE3.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則：∠1=

；∠3=

；∠ACB=2

.ABCDEF1234∠2∠ABC∠422BD6cm24.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．（1）AC=

AE=

EC；

CD=

；

AF=

AB；（2）若S△ABC

=12cm2，

則S△ABD=

．ABCDEFG5、在ΔABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,ΔDBC的周長為25cm,求ΔADC的周長.ADBC

1.如圖：AD，AE分別是△ABC的高和中線，且AB=8㎝

，AC=6㎝，BC＝10cm,∠CAB＝90°.試求：(1)AD的長；(2)△ABE的面積；(3)△ABE和△ACE的周長差．

課堂作業EDCBA感悟與反思通過這節課的學習活動你有哪些收獲？你還有什么想法嗎？有什么需要同學們幫助解決的問題嗎？從知識上，在小學學習的基礎上，我們又學習了什么？從方法上，我們是怎么認識這些重要線段的。對你后續的學習有什么啟示嗎？在小學，我們通過對一個三角形進行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內角和是180°，你能說出這些方法的原理嗎？折疊三角形紙板，可以把它的三個角拼成一個角.可以將∠A，∠B剪下并移至頂點C處拼接成一個角.ABC上述兩種操作都是將三角形的三個內角拼到一起構成一個平角.由此受到啟發：因為直線在平移下的像是與它平行的直線，如圖，將△ABC的邊BC所在的直線平移，使其像經過點A，得到直線.所以.則

，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又探究結論三角形的內角和等于180°.三角形內角和定理還有其它的證明方法嗎？多種方法證明的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.思考CAB12345lACB12345lP6mABECD例3在△ABC

中，∠A

的度數是∠B

的度數的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.解

設∠B為x°，則∠A為（3x

）°，∠C為（x＋

15）

°，從而有3x＋

x＋（x＋

15）＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解。這是一個重要的數學思想。三角形中，三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形，有一個角是直角的三角形叫直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。三角形按角如何分類呢？直角三角形可用符號“Rt△”來表示，例如直角三角形ABC

可以記作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對邊叫作斜邊.兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.三角形的內角和等于180°，因此最多有一個直角或一個鈍角.探究如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.對外角∠ACD來說，∠ACB是與它相鄰的內角，∠A，∠B是與它不相鄰的內角.ABCD在下圖中，外角∠ACD

和與它不相鄰的內角∠A，∠B

之間有什么大小關系？我覺得可以利用“三角形的內角和等于180°”的結論.因為∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0

（等式的性質）.于是∠ACD=∠A+∠B.探究ABCD結論三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.1、如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數．CBDA應用舉例2.如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？北北CABDE

3.如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？ABFCDE1234.如圖，一艘輪船按箭頭所示方向行駛，C處有一燈塔，輪船行駛到哪一點時距離燈塔最近？當輪船從A點行駛到B點時，∠ACB的度數是多少？當輪船行駛到距離燈塔最近點時呢？30°70°BCA1.填空：(1).在△ABC中∠A=60°，∠B=∠C，則∠B=

；(2).在△ABC中，∠A－∠B=50°，∠C－∠B=40°，則∠B=

.60°30°達標練習2.AD是△ABC的角平分線,∠B=36°,∠C=76°，求∠DAC的度數.∠DAC=34°1、已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝（）2、直角三角形一個銳角為70°，另一個銳角是（）3、在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，則∠C=（）4、如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分類應為（）80°20°50°直角三角形

5.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形B6、說出各圖中∠1(或∠2)

的度數．30°105°1

（1）60°

1

（2）45°

50°

1（3）30°

15°

1（4）（7）112230°40°40°1260°80°（5）（6）45°30°95°45°40°140°110°70°50°140°7.如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=45°．從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少？

8.如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B=∠BAD，∠ADC=80°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數；（2）∠C的度數．ABDC(7)ABDC(8)15°40°70°如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=______°解析∵∠B=47°，∴∠BAC+∠BCA=180°–47°=133°，∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，又

AE和CE是角平分線，∴∠CAE+∠ACE=113.5°，∴∠E=180°–113.5°=66.5.66.5ABCFED1.這節課我們學習了什么？2.從方法上你有哪些收獲？推理的方法證明結論。3.“一題多解，多解歸一”，需要把多種解法的共性挖掘出來，歸納成解決一類問題的方法.三角形三個內角的和等于180?

。三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.三角形按角的大小分類：直角三角形的兩個銳角互余。

2.2命題與證明

前面我們學習了許多有關三角形的概念

（如三角形、等腰三角形、等邊三角形以及三角形的高線、中線、角平分線等）如：

三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫作三角形的外角.

不在同一直線上的三條線段首尾相接所構成的圖形叫作三角形；ABCD

像這樣，對一個概念的含義加以描述說明或作出明確規定的語句叫作這個概念的定義.

例如：“把數與表示數的字母用運算符號連接而成的式子叫作代數式”是“代數式”的定義.“同一平面內沒有公共點的兩條直線叫作平行線”是“平行線”的定義.說出下列概念的定義：（1）方程；說一說

在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.我們把含有未知數的等式叫做方程.（2）三角形的角平分線.

在現實生活中，我們經常要對一件事情作出判斷.

數學中同樣有許多問題需要我們作出判斷.下列敘述事情的語句中，哪些是對事情作出了判斷？議一議（1）三角形的內角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個銳角與一個鈍角互補嗎？

一般地，對某一件事情作出判斷的語句（陳述句）叫作命題.

例如，上述語句（1），（2），（3）都是命題；

語句（4），（5）沒有對事情作出判斷，就不是命題.

（1）三角形的內角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個銳角與一個鈍角互補嗎？觀察下列命題的表述形式有什么共同點？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.

它們的表述形式都是“如果……，那么……”.

命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結論.

例如，對于上述命題（2），“兩個角的和等于90°”就是條件，“這兩個角互為余角”就是結論.（2）如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.

有時為了敘述的簡便，命題也可以省略關聯詞“如果”、“那么”.

如：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”可以簡寫成“對頂角相等”；“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”

可以簡寫成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命題的條件和結論，并改寫成“如果……，那么……”的形式：命題條件結論①能被2整除的數是偶數.②有公共頂點的兩個角是對頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.那么這個數是偶數如果一個數能被2整除那么這兩個角是對頂角如果兩個角有公共頂點那么它們的同位角相等如果兩條直線平行那么這兩條直線平行如果兩個同位角相等（2）上述命題③與④的條件與結論之間有什么聯系？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④的條件與結論互換了位置.

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.

例如，上述命題③與④就是互逆命題.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

從上我們可以看出，只要將一個命題的條件和結論互換，就可得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題.練習1.

下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點之間線段最短；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個三角形的三條中線都相交于一點嗎？（1）如果x=3，求的值；不是命題是命題不是命題是命題2.

將下列命題改寫成“如果……，那么……”

的形式.（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）個位數字是5的整數一定能被5整除；答：如果兩條直線相交，那么這兩條直線只有一個交點.答：如果一個整數的個位數字是5，那么這個數一定能被5整除.（4）三角形的一個外角大于它的任何一個內角.（3）互為相反數的兩個數之和等于0；答：如果兩個數是互為相反數，那么這兩個數之和等于0.答：如果某角是三角形的外角，那么這個角大于它的任何一個內角.3.

寫出下列命題的逆命題：（1）若兩數相等，則它們的絕對值也相等；（2）如果m是整數，那么它也是有理數；（3）兩直線平行，內錯角相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.答：絕對值相等的兩個數相等答：如果m是有理數，那么它也是整數答：內錯角相等，兩直線平行答：等腰三角形的兩邊相等議一議

下列命題中，哪些正確，哪些錯誤？并說一說你的理由.（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數，那么a是整數.（3）同位角相等；（4）同角的補角相等.錯誤錯誤錯誤正確

上面四個命題中，命題（4）是正確的，命題（1），（2），（3）都是錯誤的.

我們把正確的命題稱為真命題，把錯誤的命題稱為假命題.

（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數，那么a是整數.（3）同位角相等；

（4）同角的補角相等.

要判斷一個命題是真命題，常常要從命題的條件出發，通過講道理（推理），得出其結論成立，從而判斷這個命題為真命題，這個過程叫證明.

例如，命題“同角的補角相等”通過推理可以判斷出它是真命題.

由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代換）.于是，我們得出：同角（或等角）的補角相等.

要判斷一個命題是假命題，只需舉出一個例子（反例），它符合命題的條件，但不滿足命題的結論，從而就可判斷這個命題為假命題.

例如，要判斷命題“如果a是有理數，那么a是整數”是一個假命題，我們舉出“0.1是有理數，但是0.1不是整數”這一例子即可判斷該命題是假命題.

我們通常把這種方法稱為“舉反例”.判斷下列命題為真命題的依據是什么？說一說（1）如果a是整數，那么