專題26基本不等式及其應用一、單選題（本大題共12小題，共60分）建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價為(????)A.1680元 B.1760元 C.1800元 D.1820元為不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現群眾對舒適的居住條件、更優美的環境、更豐富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂噴泉綜合體A1B1C1D1，該項目由長方形核心噴泉區ABCD(陰影部分)和四周綠化帶組成．規劃核心噴泉區ABCD的面積為1000m2，綠化帶的寬分別為2m和5m(如圖所示).當整個項目占地A1A.20m B.50m C.1010m D.設a>0，b>0，a+b=1，則下列說法錯誤的是(

)A.ab的最大值為14 B.a2+b2的最小值為12

C.4已知m>0，xy>0，當x+y=2時，不等式2x+my≥4恒成立，則A.

[2,+∞) B.

[2,+∞) C.

(0,在彈性限度內，彈簧拉伸的距離與所掛物體的質量成正比，即d=mk，其中d是距離(單位，m是質量(單位，k是彈簧系數(單位彈簧系數分別為k1，k2的兩個彈簧串聯時，得到的彈簧系數k滿足1k=1k1+1k2，并聯時得到的彈簧系數k滿足k=kA. B. C. D.數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物．曲線C：(x2+給出下列結論：①曲線C經過5個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區域的面積大于4π；④方程(x2+y2)3A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④若正實數x，y滿足log2(x+3y)=log4x2A.12 B.6 C.16 D.8中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”.假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現有一個三角形的邊長滿足a+b=12，c=8，則此三角形面積的最大值為(????)A.45 B.415 C.8函數f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數，且f(x)+2g(x)=ex，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)-mg(x)≤0成立，則實數m的最小值為(????)A.4 B.42 C.8 D.已知關于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(x1,A.63 B.-233已知關于x的不等式1ax2+6x+c<0(ab>1)的解集為?，則T=12(ab-1)A.3 B.2 C.23 D.已知函數f(x)=ekklnx+1x-x，k∈(0,+∞)，曲線y=f(x)上總存在兩點M(x1,y1)，N(xA.2e,+∞ B.4e2二、單空題（本大題共6小題，共30分）已知正數a，b滿足a+b=2，則1a+1+4b+1的最小值為壁畫為人類歷史上最早的繪畫形式之一．早在漢朝就有在墻壁上作畫的記載，多是在石窟、墓室或是寺觀的墻壁，現在結合了現代工藝和文化氣息，壁畫向多元化、個性化發展．作為建筑物的附屬部分，它的裝飾和美化功能使它成為環境藝術的一個重要方面．現要制作一幅長和寬分別為a米和b米的矩形壁畫，壁畫由邊框和印刷的彩畫組成．壁畫邊框要求其長和寬使用不同的材質(厚度忽略不計)，長和寬材質的單價分別為50元/米和100元/米，彩畫的單價為200元/米?2.要求在邊框制作費用不超過400元的條件下，使彩畫的面積最大，此時壁畫的總費用是________元．已知A、B、C為△ABC的三內角，且角A為銳角，若tanB=2tanA，則1tan?B+1tan?C的最小值為已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當xyz取得最大值時，18.已知a>2b(a,b∈R)，函數f(x)=ax2+x+2b的值域為[0,+∞)，則a2+4三、解答題（本大題共1小題，共10分）19．設函數．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．專題26基本不等式及其應用一、單選題（本大題共12小題，共60分）建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80A.1680元 B.1760元 C.1800元 D.1820元【答案】B【解析】解：設水池池底的一邊長為xm，則另一邊長為4xm，

則總造價y=4×120+80×(2x+2?4x)×2

=480+320(x+4x)?480+320×2x?4x=1760(元)．

當且僅當為不斷滿足人民日益增長的美好生活需要，實現群眾對舒適的居住條件、更優美的環境、更豐富的精神文化生活的追求，某大型廣場正計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個長方形音樂噴泉綜合體A1B1C1D1，該項目由長方形核心噴泉區ABCD(陰影部分)和四周綠化帶組成．規劃核心噴泉區ABCD的面積為1000m2，綠化帶的寬分別為2m和5m(如圖所示)A.20m B.50m C.1010m D.100【答案】B【解析】解：設BC=xm，知AB=1000x

m，

∴整個項目占地A1B1C1D1面積為S=(x+10)(1000x+4)=1040+4x+10000x≥1040+24x·10000x=1440．設a>0，b>0，a+b=1，則下列說法錯誤的是(

)A.ab的最大值為14 B.a2+b2的最小值為12

C.4【答案】D【解析】解：由題意，對各選項依次進行分析：

對A，因為正實數a，b滿足a+b=1，

所以1=a+b≥2ab，當且僅當a=b=12時等號成立，

所以ab≤14，當且僅當a=b=12時等號成立，

故ab有最大值14，故A正確;

對B，因為(a+b)2=a2+b2+2ab=1，

所以a2+b2=1-2ab≥1-2×14=12，當且僅當a=b=12時等號成立，

所以a2+b2有最小值12，故B正確．

對C，利用基本不等式，有4a已知m>0，xy>0，當x+y=2時，不等式2x+my≥4A.

[2,+∞) B.

[2,+∞) C.

(0,【答案】B【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+my=12(x+y)(2x+my)=12(m+2+2yx+mxy)≥12在彈性限度內，彈簧拉伸的距離與所掛物體的質量成正比，即d=mk，其中d是距離(單位，m是質量(單位，k是彈簧系數(單位彈簧系數分別為k1，k2的兩個彈簧串聯時，得到的彈簧系數k滿足1k=1k1+1k2，并聯時得到的彈簧系數k滿足A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根據題意可得，串聯時k=md=101=10，

∵1k=1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，

∴串聯時，k=k1k數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物．曲線C：(x2+給出下列結論：①曲線C經過5個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區域的面積大于4π；④方程(x2+yA.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④【答案】B【解析】解：?(x2+y2)3=16x2y2≤16x2+y222,

解得x2+y2≤4(當且僅當x2=y若正實數x，y滿足log2(x+3y)=log4A.12 B.6 C.16 D.8【答案】D【解析】解：∵正實數x，y滿足log2(x+3y)=log4x2+log2(2y)，

∴(x+3y)2=x2(2y中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”.假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現有一個三角形的邊長滿足a+b=12，c=8，則此三角形面積的最大值為A.45 B.415 C.8【答案】C【解答】解：由題意，得p=10，

所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)

=20(10-a)(10-b)≤20?10-a+10-b2=85，

當且僅當10-a=10-b，即a=b=6函數f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數，且f(x)+2g(x)=ex，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)-mg(x)≤0成立，則實數mA.4 B.42 C.8 D.【答案】B【解析】解：函數f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數，且f(x)+2g(x)=ex，

可得f(-x)+2g(-x)=e-x，即f(x)-2g(x)=e-x，

解得f(x)=12(ex+e-x)，g(x)=14(ex-e-x)，

由x∈(0,2]，可得ex∈(1,e2]，

由t=ex-e-x在x∈(0,2]遞增，可得t∈(0,已知關于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(xA.63 B.-233【答案】D【解析】解：不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(x1,x2)，

根據韋達定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，已知關于x的不等式1ax2+6x+c<0(ab>1)的解集為?，則T=A.3 B.2 C.23 D.【答案】D【解析】解：由題意得：1a>0，b2-4ca≤0，得c≥ab24．

∴T=12(ab-1)+a(b+2c)已知函數f(x)=ekklnx+1x-x，k∈(0,+∞)，曲線y=f(x)上總存在兩點M(x1,y1)A.2e,+∞ B.4e2【答案】D【解析】解：

f'(x)=ekkx-1x2-1(x>0,k>0)，

由題意知，

f'(x1)=f'(x2)，即ekk·1x1-1x12=ekk·1x2-1x22，

∴

ek二、單空題（本大題共6小題，共30分）已知正數a，b滿足a+b=2，則【答案】9【解析】解：正數a，b滿足a+b=2，則a+1+b+1=4．

則1a+1+4b+1=14[(a+1)+(b+1)](1a+1+壁畫為人類歷史上最早的繪畫形式之一．早在漢朝就有在墻壁上作畫的記載，多是在石窟、墓室或是寺觀的墻壁，現在結合了現代工藝和文化氣息，壁畫向多元化、個性化發展．作為建筑物的附屬部分，它的裝飾和美化功能使它成為環境藝術的一個重要方面．現要制作一幅長和寬分別為a米和b米的矩形壁畫，壁畫由邊框和印刷的彩畫組成．壁畫邊框要求其長和寬使用不同的材質(厚度忽略不計)，長和寬材質的單價分別為50元/米和100元/米，彩畫的單價為200元/米?2.要求在邊框制作費用不超過400元的條件下，使彩畫的面積最大，此時壁畫的總費用是【答案】800【解析】解：由題意，設彩畫長a米，寬b米(其中a>0，b>0)，

則有250a+100b?400，即a+2b?4，

所以彩畫面積S=ab=a·2b2?12×a+2b22?12×422=2已知A、B、C為△ABC的三內角，且角A為銳角，若tanB=2tanA，則1tan?B+【答案】2【解析】解：∵tanB=2tanA，角A為銳角，

∴tanA>0，tanB>0，

∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=-32tanB1-1已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m【答案】-4,2【解析】解：由2x+1y=1，

可得x+2y=x+2y2x+1y=4+xy+x+2y>m2+2m恒成立?m2+2m<(x+2y)解得-4<m<2．

故實數m的取值范圍是(-4,2)．

故答案為(-4,2)．設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當xy【答案】1【解析】解：由已知條件有xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+已知a>2b(a,b∈R)，函數f(x)=【答案】2【解析】解：根據題意，函數f(x)=ax2+x+2b