第九章

定積分

§1

定積分的概念教學內容：

1)

定積分概念的引入2）“分割、近似求和、取極限”數學思想的建立3)

定積分的數學定義重點：

定積分的數學定義難點：“分割、近似求和、取極限”變量數學思想的建立定積分概念的引入一、背景1、曲邊梯形的面積2、變力所做的功1第九章

定積分1

1

曲邊梯形的面積

中學里我們已經學會了正方形，三角形，梯形等面積的計算，這些圖形有一個共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實際中經常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來近似它。2

1

曲邊梯形的面積2上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準確面積呢？比如舉世矚目的長江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據流體力學原理設計的，如圖1所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自然要根據它的體積備料，計算它的體積就需要盡可能準確的計算出它的斷面面積。該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該怎樣計算呢？在介紹微分定義時我們已經知道，直與曲雖然是一對矛盾，但它們可以相互轉化，早在三國時代，我代數學家劉徽就提出了“割圓術”，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來計算。現在我們來計算一下溢流壩上部斷面面積。3上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精假設拋物線方程為:

將等分成n等份，拋物線下面部分分割成n個小曲邊梯形第i個小曲邊梯形用寬為，高為的矩形代替，如下圖：則它的第i個小曲邊梯形的面積：

所求的總面積:

4假設拋物線方程為:

將等分成n等份，拋物線下面

我們分別取n=10,50,100用計算機把它的圖象畫出來，并計算出面積的近似值：5

我們分別取n=10,50,100用計算機把它的圖象畫出6677由此可知，分割越細，越接近面積準確值

再看一個變力做功的問題

設質點m受力

的作用，沿直線由A點運動到B點，求變力

的做的功。F雖然是變力，但在很短一段間隔內看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，，F的變化不大，可近似1）

對作分割：8由此可知，分割越細，越接近面積準確值

再看一當每個小區間的長度都很小時，小區間上的力：在

上，力F作的功2）求和力F在

上作的功

分割越細，近似程度越好，分割無限細時，即分割細度：時，9當每個小區間的長度都很小時，小區間上的力：3）取極限

對上面和式取極限，極限值就是力在

上作的功。

從上面兩個例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都歸結為形如：的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義（下頁）103）取極限從上面兩個例子看出，不管是求曲邊梯形的面

定義

設是定義在區間

上的一個函數，在閉區間

上任取n-1個分點

把[a,b]分成n個小閉區間，我們稱這些分點和小區間構成的一個分割，用T表示,分割的細度用表示，在分割T所屬的各個小區間內各取一點稱為介點，作和式:以后簡記為

11定義

設是定義在區間上的一個函數，在閉區間此和式稱為在上屬于分割T的積分和（或黎曼和，設是一個確定的數，若對任意總存在某個

，使得上的任何分割T，只要它的細度，屬于分割T的所有積分和

都有則稱在上可積,稱J為函數在上的定積分(或黎曼積分)，記作12此和式稱為在上屬于分割T的積分利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為:變力作功問題可表示為例

用定義求積分

解

分法與介點集選法如例1,

有

13利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為:變力上式最后的極限求不出來,

但卻表明該極限值就是積分

三．理解定積分定義要注意以下三點：1）定積分定義與我們前面講的函數極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對于定積分來說，給定了細度以后，積分和并不唯一確定，同一細度分割有無窮多種，即使分割確定，介點仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數極限要復雜的多。2）定積分是積分和的極限，積分值與積分變量的符號無關14上式最后的極限求不出來,

但卻表明該極限值就是積

。3)

表示分割越來越細的過程，

分點個數，但反過來，并不能保證，所以：不能寫成：4)、定積分的幾何意義(作圖并解釋）abxyo15

。分點個數，但反過來，并不能保證四．小結：

學習定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學習建立定積分概念的基本思想，我們以后的學習中還會遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。現在我們再來總結一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實例和概念中看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的長方形去近似代替小曲邊梯形，以“直”代“曲”；然后把所有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個近似值；當分割無限加細時，就得到曲邊梯形的準確值，即，這時又從“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取極限”是定積分的核心思想。16四．小結：16§2牛頓—萊布尼茲公式若用定積分定義求，一般來說是比較困難的。是否有較簡便的方法求？下面介紹的牛頓—萊布尼茲公式不僅為定積分計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯系了起來。17§2牛頓—萊布尼茲公式若用定積分定義求，一般來說是比較公式使用說明：18公式使用說明：18利用定積分的定義可求某些數列的極限：若待求極限的數列通過適當的變形，能化成某一函數在某一區間上關于某一特定分割的積分和時，則可用定積分的定義來求數列的極限。19利用定積分的定義可求某些數列的極限：若待求極限的§3可積條件一個函數究竟要滿足何種條件，才能可積？這是本節所要討論的的主要問題。一、可積的必要條件20§3可積條件一個函數究竟要滿足何種條件，才能可積？這是本節

1.

思路與方案:

思路:

鑒于積分和與分法和介點有關,

先簡化積分和.

用相應于分法的“最大”和“最小”的兩個“積分和”去雙逼一般的積分和,即用極限的雙逼原理考查積分和有極限,且與分法及介點無關的條件。

方案:

定義上和和下和

，研究它們的性質和當時有相同極限的充要條件.

2.

達布和:

21

1.

思路與方案:

方案:

定義上和和下和由達布和定義可知，達布和未必是積分和.但達布

和由分法唯一確定.則顯然有：22由達布和定義可知，達布和未必是積分和.但達布和由分法23232424定理9.6說明，單調函數即使有無限多個間斷點，仍不失其可積性。思考題：1、閉區間上僅有一個間斷點的函數是否必可積？2、閉區間上有無窮多個間斷點的函數是否必不可積？3、閉區間上的單調函數是否必可積？例2

25定理9.6說明，單調函數即使有無限多個間斷點，仍不失其可積22626§4定積分性質一、定積分的基本性質27§4定積分性質一、定積分的基本性質272828利用性質4可得一個重要的結論：即對積分值大小的基本估計方法29利用性質4可得一個重要的結論：即對積分值大小的基本估計方法2303031313232xyY=f(x)033xyY=f(x)0333434§5微積分學基本定理.定積分計算（續）本節第一部分的內容主要是利用定積分證明來證明前面多次提到的問題—連續函數必存在原函數；第二部分的內容主要介紹定積分的換元積分法及積分分部積分法。一、變限積分與原函數存在定理1、變限積分35§5微積分學基本定理.定積分計算（續）本節363637373838393940404141例1求例2求為技巧積分題例3求為技巧積分題例4已知：，求42例1求例2求為技巧積分題例3求為技巧積分題例4已解：43解：43=，，解得：直接求得于是,

當為偶數時,

有：

44=，，解得：直接求得于是,

當為偶數時,

有：4當為奇數時,

有：注：有關利用定積分分部積分法推廣推導出Taylor公式的積分型余項的內容放到Taylor級數內容一起講授。45當為奇數時,

有：注：有關利用定積分分部積分法推廣推第九章

定積分

§1

定積分的概念教學內容：

1)

定積分概念的引入2）“分割、近似求和、取極限”數學思想的建立3)

定積分的數學定義重點：

定積分的數學定義難點：“分割、近似求和、取極限”變量數學思想的建立定積分概念的引入一、背景1、曲邊梯形的面積2、變力所做的功46第九章

定積分1

1

曲邊梯形的面積

中學里我們已經學會了正方形，三角形，梯形等面積的計算，這些圖形有一個共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實際中經常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來近似它。47

1

曲邊梯形的面積2上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準確面積呢？比如舉世矚目的長江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據流體力學原理設計的，如圖1所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自然要根據它的體積備料，計算它的體積就需要盡可能準確的計算出它的斷面面積。該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該怎樣計算呢？在介紹微分定義時我們已經知道，直與曲雖然是一對矛盾，但它們可以相互轉化，早在三國時代，我代數學家劉徽就提出了“割圓術”，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來計算。現在我們來計算一下溢流壩上部斷面面積。48上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精假設拋物線方程為:

將等分成n等份，拋物線下面部分分割成n個小曲邊梯形第i個小曲邊梯形用寬為，高為的矩形代替，如下圖：則它的第i個小曲邊梯形的面積：

所求的總面積:

49假設拋物線方程為:

將等分成n等份，拋物線下面

我們分別取n=10,50,100用計算機把它的圖象畫出來，并計算出面積的近似值：50

我們分別取n=10,50,100用計算機把它的圖象畫出516527由此可知，分割越細，越接近面積準確值

再看一個變力做功的問題

設質點m受力

的作用，沿直線由A點運動到B點，求變力

的做的功。F雖然是變力，但在很短一段間隔內看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，，F的變化不大，可近似1）

對作分割：53由此可知，分割越細，越接近面積準確值

再看一當每個小區間的長度都很小時，小區間上的力：在

上，力F作的功2）求和力F在

上作的功

分割越細，近似程度越好，分割無限細時，即分割細度：時，54當每個小區間的長度都很小時，小區間上的力：3）取極限

對上面和式取極限，極限值就是力在

上作的功。

從上面兩個例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都歸結為形如：的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義（下頁）553）取極限從上面兩個例子看出，不管是求曲邊梯形的面

定義

設是定義在區間

上的一個函數，在閉區間

上任取n-1個分點

把[a,b]分成n個小閉區間，我們稱這些分點和小區間構成的一個分割，用T表示,分割的細度用表示，在分割T所屬的各個小區間內各取一點稱為介點，作和式:以后簡記為

56定義

設是定義在區間上的一個函數，在閉區間此和式稱為在上屬于分割T的積分和（或黎曼和，設是一個確定的數，若對任意總存在某個

，使得上的任何分割T，只要它的細度，屬于分割T的所有積分和

都有則稱在上可積,稱J為函數在上的定積分(或黎曼積分)，記作57此和式稱為在上屬于分割T的積分利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為:變力作功問題可表示為例

用定義求積分

解

分法與介點集選法如例1,

有

58利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為:變力上式最后的極限求不出來,

但卻表明該極限值就是積分

三．理解定積分定義要注意以下三點：1）定積分定義與我們前面講的函數極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對于定積分來說，給定了細度以后，積分和并不唯一確定，同一細度分割有無窮多種，即使分割確定，介點仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數極限要復雜的多。2）定積分是積分和的極限，積分值與積分變量的符號無關59上式最后的極限求不出來,

但卻表明該極限值就是積

。3)

表示分割越來越細的過程，

分點個數，但反過來，并不能保證，所以：不能寫成：4)、定積分的幾何意義(作圖并解釋）abxyo60

。分點個數，但反過來，并不能保證四．小結：

學習定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學習建立定積分概念的基本思想，我們以后的學習中還會遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。現在我們再來總結一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實例和概念中看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的長方形去近似代替小曲邊梯形，以“直”代“曲”；然后把所有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個近似值；當分割無限加細時，就得到曲邊梯形的準確值，即，這時又從“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取極限”是定積分的核心思想。61四．小結：16§2牛頓—萊布尼茲公式若用定積分定義求，一般來說是比較困難的。是否有較簡便的方法求？下面介紹的牛頓—萊布尼茲公式不僅為定積分計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯系了起來。62§2牛頓—萊布尼茲公式若用定積分定義求，一般來說是比較公式使用說明：63公式使用說明：18利用定積分的定義可求某些數列的極限：若待求極限的數列通過適當的變形，能化成某一函數在某一區間上關于某一特定分割的積分和時，則可用定積分的定義來求數列的極限。64利用定積分的定義可求某些數列的極限：若待求極限的§3可積條件一個函數究竟要滿足何種條件，才能可積？這是本節所要討論的的主要問題。一、可積的必要條件65§3可積條件一個函數究竟要滿足何種條件，才能可積？這是本節

1.

思路與方案:

思路:

鑒于積分和與分法和介點有關,

先簡化積分和.

用相應于分法的“最大”和“最小”的兩個“積分和”去雙逼一般的積分和,即用極限的雙逼原理考查積分和有極限,且與分法及介點無關的條件。

方案:

定義上和和下和

，研究它們的性質和當時有相同極限的充要條件.

2.

達布和:

66

1.

思路與方案:

方案:

定義上和和下和由達布和定義可知，達布和未必是積分和.但