PAGEword文檔可自由復制編輯高等數學作業AⅡ答案吉林大學公共數學教學與研究中心2013年3月

第一次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．下列反常積分收斂的是(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．下列反常積分發散的是(A)．（A）； （B）；（C）； （D）．3．設、在上連續，則由曲線，，直線所圍成平面圖形的面積為(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．4．設曲線與直線所圍圖形面積為S，則下列各式中，錯誤的是(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．5．設點是曲線上一點，記是直線OA（O為原點）與曲線所圍成圖形的面積，則當時，與(D)．（A）為同階無窮小； （B）為同階無窮小；（C）為同階無窮小； （D）為同階無窮小．6．設（常數），則由所圍圖形繞直線旋轉所形成的立體的體積等于(B)．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空題1．已知反常積分收斂，且值為1，則．2．．３．．４．反常積分，當滿足條件時收斂．5．由曲線所圍成的平面圖形面積為1．三、計算題1．用定義判斷無窮積分的收斂性，如果收斂則計算積分值．解：則該無窮積分收斂．2．判斷反常積分的收斂性：解：而收斂．收斂．3．用定義判斷反常積分．的收斂性，如果收斂則計算積分值．解：．收斂4．求由曲線與圍成圖形的面積．解：．5．計算由軸，曲線及其經過原點的切線圍成的平面圖形繞軸旋轉所生成立體體積．解：設切點為，則過切點的切線方程為令，得．6．求擺線的一拱的長度以及擺線與軸所圍圖形的面積．7．在曲線上某點A處作一切線，使之與曲線以軸所圍圖形的面積為，試求：（1）切點A的坐標；（2）過切點A的切線方程；（3）由上述所圍平面圖形繞軸旋轉一周所圍成旋轉體體積．解：設切點，則切線方程為：，得切線與x軸交點為．由，得．∴切點為，切線方程：．8．半徑為的球沉入水中，球的頂部與水面相切，球的密度與水相同，現將球從水中提出，問需作多少功？解：取球浮出水面后球心為原點建立坐標系，則

第二次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．平面（A）．（A）平行于yoz平面； （B）平行于x軸； （C）平行于xoz面； （D）平行于xoy平面．2．平面與曲面（B）．（A）不相交； （B）交于一點；（C）交線為一個橢圓； （D）交線為一個圓．3．方程所表示的曲面為（C）．（A）橢球面； （B）柱面； （C）雙曲拋物面； （D）旋轉拋物面．4．過點且與平面垂直的直線方程是（A）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．設有直線與，則L1與L2的夾角為（C）．（A）； （B）； （C）； （D）．6．設有直線及平面，則直線L（C）．（A）平行于； （B）在上； （C）垂直于； （D）與斜交．二、填空題1．設均為非零向量，且，則a與b的夾角為．2．與直線平行的單位向量為．3．點到平面的距離為1．4．若，，且a，b間夾角為，則，3．5．xoz平面上的曲線繞z軸旋轉一周所形成的旋轉曲面方程為．6．曲線在xoy面上的投影曲線方程為．7．已知向量a，b，c兩兩相互垂直，且，，，則有2．三、計算題1．求過直線，且平行于直線的平面的方程．解：過L的平面束為：即，由n與垂直，有∴所求平面為．2．求點到直線的距離．解：設則∴3．設空間三點，，，求三角形ABC的面積．解：4．求過平面和平面的交線，并切于球面的平面方程．解：過L平面束為．即．由得則所求平面為．5．設有直線，平面求直線L與平面的夾角；如果L與相交，求交點．解：L的方向向量而∴，∴將代入L方程．解得∴交點．6．模長為2的向量與軸的夾角是，與軸的夾角是，試求向量的坐標．解：∴，或∴或

第三次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．（D）．（A）； （B）0； （C）； （D）不存在．2．二元函數在處（C）．（A）連續，偏導數存在； （B）連續，偏導數不存在；（C）不連續，偏導數存在； （D）不連續，偏導數不存在．3．設，在下列求的方法中，不正確的一種是（B）．（A）因，故；（B）因，故；（C）因，故；（D）．4．若的點處的兩個偏導數都存在，則（C）．（A）在點的某個鄰域內有界；（B）在點的某個鄰域內連續；（C）在點處連續，在點處連續；（D）在點處連續．5．設，且，則為（B）．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空題1．的定義域為．2．1/2．3．設，則2/5，1/5．4．設，則．5．設，則．三、計算題1．已知，且當時，求及的表達式．將代入，有解一：∴解二：令，則∴∴2．討論函數的連續性．.解一：當沿y軸(x=0)趨于0（0，0）時，當沿，趨于0（0，0）時，∴不存在∴不連續解二：當沿趨于0（0，0）時，與k有關，∴不連續3．設，求．解一：取對數，∴解二：∴4．求的偏導數．四、證明題1．設，驗證：當時，有．證明：，同理：∴2．證明函數在點(0,0)處：（1）連續；（2）偏導數存在；（3）不可微．（1），由于為使，只須，即取，則當，有，∴（或：），初等函數連實。（2）；（3）考察：當沿直線趨于0（0，0）有與k有關∴上式不存在，不可微

第四次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．設，其中為可導函數，則=（B）．（A）； （B）；（C）； （D）．2．設方程確定z是x，y的函數，F是可微函數，則=（D）．（A）； （B）； （C）； （D）．3．設都由方程所確定的隱函數，則下列等式中，不正確的一個是（C）．（A）； （B）；（C）； （D）．4．設都是可微函數，C為常數，則在下列梯度運算式中，有錯誤的是（A）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．，而，且函數具有二階連續導數，則(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．6．函數在點處沿任一方向的方向導數都存在是它在點處的兩個偏導數都存在的(D)條件．（A）充分必要； （B）必要非充分；（C）充分非必要； （D）既非充分又非必要．二、填空題1．已知，則在點（1,2）處對x的偏導數為192．2．由方程所確定的隱函數在點（1,1）處的全微分為．3．在點（0,0）處沿x軸正向的方向導數為1．4．函數在點處的方向導數的最大值等于．三、計算與解答題1．設f是C(2)類函數，，求．2．設，求．解一：解二：∴3．設f，是C(2)類函數，，證明：（1）；（2）．證4．設，求．∴一階：∴二階：5．設求．∴∴∴∴6．設，其中求f，是C(1)類函數，求．∴解二：全微分即代入消元解得：∴……7．求函數的點(1,2)處沿著拋物線的該點切線方向的方向導數．∴第五次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．在曲線的所有切線中，與平面平行的切線(B)．（A）只有一條； （B）只有兩條； （C）至少有三條； （D）不存在．2．設函數在點(0,0)附近有定義，且，則(C)．（A）；（B）曲面在點的法向量為；（C）曲線在點的切向量為；（D）曲線在點的切向量為．3．曲面的任一點處的切平面(D)．（A）垂直于一定直線； （B）平等于一定平面；（C）與一定坐標面成定角； （D）平行于一定直線．4．設在平面有界閉區域D上是C(2)類函數，且滿足及，則的(B)．（A）最大值點和最小值點必定都在D的內部；（B）最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；（C）最大值點在D的內部，最小值點在D的邊界上；（D）最小值點在D的內部，最得到值點在D的邊界上．5．函數滿足條件的條件極值為(D)．（A）1； （B）0； （C）； （D）．二、填空題1．如果曲面在點M處的切平面平行于平面，則切點M的坐標是（-1，2，-3）．2．曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為．3．曲線在點處的法平面方程是12x-10y-3z-6=0 ．4．在條件下的極小值是．5．函數在點處沿曲面在該點的外法線方向的方向導數是．三、計算題1．求曲線在點處的切線方程．解一：+：代入∴切成：，即解二：取切平面：切平面：∴2．過直線作曲面的切平面，求其方程．解：設切點為，切平面方程為：過已知直線的平面束方程為即：當為同一平面時有：且解得對應的切平面方程為：3．證明曲面上任意點處的切平面在各個坐標軸上的截距平方和等于．.設為曲面上任一點切平面方程為：即：令得x軸截距同理∴4．求函數的極值．.①令②得駐點③④處：AC-B2>0，A>0，∴極小值5．求函數在區域上的最大值和最小值．不在D內，∴D內無極值點在邊界上，解得最小最大6．求曲面的一個切平面，使其在三個坐標軸上的截距之積為最大．設切點為切平面為：即：令，得軸截距，得軸截距，得軸截距令即切點為切平面為：階段測試題學院班級姓名學號一、單項選擇題（每小題3分，滿分18分）1．曲面與（）的交線是（D）．（A）拋物線 （B）雙曲線 （C）橢圓 （D）圓2．極限（D）．（A）為0 （B）為1 （C）為 （D）不存在3．雙紐線所圍成區域面積可用定積分表示為（A）．（A） （B）（C） （D）4．曲線在點處的切線必平行于（C）．（A）平面 （B）平面（C）平面 （D）平面5．的處的梯度等于（A）．（A） （B） （C） （D）6．已知、在（0，0）連續，則在（0，0）處，在處（A）．（A）均連續 （B）均不一定連續（C）均不連續 （D）一定連續，不一定連續二、填空題（每小題3分，滿分21分）1．．2．若向量與的和與差的模相等，則1．3．已知，則0，-1．4．在點處沿=（0,1,2）方向的方向導數最大，方向導數的最大值為．5．設，其中，則0．6．曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為．7．設，其中具有一階連續偏導數，則．三、解答題（每小題8分，滿分40分）1．判斷反常積分的收斂性，如果收斂則計算積分值．解：==，則收斂2．設直線在平面上，且平面又與曲面相切于點，求的值．解：曲面在點M0的法向量，切平面的方程為：即 將L的方程改寫成參數方程代入的方程，解得．3．求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的圖形面積最小．解：由，所以點處切線方程為：，即圍成圖形面積令，得又因此，當時，S取最小值，此時，l方程為4．，其中f具有二階連續偏導數，g具有二階導數。求．解：5．已知，而是由方程確定的的函數，求．解法1：即解法2：在方程組兩邊求微分，及：由（2）代入①整理及解法3：方程確定，則解得四、證明題（滿分7分）證明函數在點（0,0）處可微，但偏導數在點（0,0）處不連續．證明：，同理而在(0,0)可微．而時，，不存在，同理不存在，故在(0,0)處偏導數不連續．五、應用題（每小題7分，滿分14分）1．求內接于橢球面，且棱平行于對稱軸的體積最大的長方體．解：設第一卦限內頂點為則長方體長、寬、高分別為、2y、2z且作令由①-③得：代入③得由實際意義可得2．用鐵錘將鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將鐵釘擊入木板內1cm，如果鐵錘每次打擊所作的功相等，問鐵錘第二次能把鐵釘又擊入多少厘米？解：設鐵釘被擊入深度為x，則由題意：解得，則第二錘又擊入厘米．第六次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．設連續，且，其中D是由，，所圍區域，則等于(C)．（A）； （B）； （C）； （D）．2．設D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)為頂點的三角形區域，D1是D的第一象限部分，則等于(A)．（A）； （B）；（C）； （D）0．3．設平面區域是在區域D上的連續函數，則等于(A)．（A）； （B）；（C）； （D）．４．設平面區域，，則有(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．5．設為上的連續函數，則(B)．（A）不存在； （B）； （C）； （D）．二、填空題1．積分．2．交換積分次序：．3．設區域D為，則．4．設區域D為，則．5．設D為，則二重積分在極坐標中先r后的二次積分為．6．設D是由曲線與所圍成的區域，則0．三、計算題1．計算，其中D是由直線所圍成的三角形區域．原式=2．計算，其中D是由和所圍成的區域．①圖交點，先x，②③3．計算，其中．①圖，極坐標，方程②③4．求．解：換序為5．設函數在區間[0,1]上連續，并設，求．解一：換序為改變積分變量記號，解二：，湊微分有6．計算，其中．解一：令則且，則原式解二：利用極坐標原式四、應用題求位于兩圓之間的均勻平面薄片的重心．解：設重心為，由對稱性：=0而，重心五、證明題設函數在閉區間上連續且恒大于零，證明證明：設∵即：∴∴∴第七次作業學院班級姓名學號一、單項選擇題1．設有空間區域及，，，，則(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．設由平面圍成，，則(A)．（A）； （B）； （C）； （D）．3．設有空間區域，則等于(A)．（A）； （B）； （C）； （D）．4．設為球域：，則(C)．（A）不存在； （B）； （C）； （D）1．5．設由曲面圍成（含z軸部分），則將上三重積分化為球面坐標系下三次積分為(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．二、填空題1．直角坐標中三次積分在柱面坐標中先z再r后順序的三次積分是．2．設就由曲面與所圍成的區域，則0．3．設，則當時，．4．設是由平面及拋物柱面所圍成的閉區域，則0．5．設為，則．6．橢球體的體積為．三、計算題1．計算，其中是由曲面與平面和所圍成的閉區域．①圖，投影域②③2．計算，其中．①圖，已求坐標r=1②③3．計算，其中是由曲線繞z軸旋轉一周而成的曲面與平面所圍成的立體．用柱坐標原式4．設，其中在可導，且，求．解：∴5．設，求．6．計算積分．解7．利用函數，B函數計算積分．解：令，則，原式====4=4=四、應用題設曲面和圍成立體，其密度為1，求繞z軸旋轉的轉動慣量．

綜合練習題學院班級姓名學號一、單項選擇題1．曲線所圍圖形的面積等于(D)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．與z軸垂直，則滿足條件（C）．（A）； （B）； （C）； （D）．3．函數在點(0,0)處(C)．（A）不連續； （B）偏導數存在；（C）沿任一方向的方向導數存在； （D）可微．4．設為連續函數，則為（B）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．設D由和圍成，則（C）．（A）0 （B）1 （C）2/3 （D）4/36．設由圍成，則三重積分化為柱面坐標系下三次積分為（D）．（A） （B）（C） （D）二、填空題1．由曲線和所圍圖形面積為，則．2．已知a，b，c都是單位向量，且滿足，則．3．函數在點連續且可偏導，是在點可微的必要條件．4．設，則．5．設函數，其中具有二階導數，具有一階導數，則0．6．設為由，圍成的空間區域，為常數，則．7．設，改變積分次序；化為極坐標下二次積分為．三、計算題1．求過點，平行于平面，且與直線相交的直線方程．解：過P且平行于的平面為為與L的交點為2．計算解：a、b為奇點原式3．設，f具有連續的二階偏導數，求．4．設，是由方程和確定的函數，其中和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數，求．解：5．求，其中為球體．解：．而∴原．6．設是由確定的函數，求的極值點和極值．解：取微分：即：得：而處，,.則函數有極小值z(9,3)=3處，,.則函數有極大值z(-9,-3)=-37．設連續，，其中，求，．解：四、應用題1．在第一卦限內作球面的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小，求這切平面的切點．解：設切點為，則切平面方程：令,得x軸截距，同理當最大時V最小作令解得時，V最小，∴切點2．一容器的內表面是由曲線繞軸旋轉所得的旋轉曲面．如果以(m3/s)的速率注水，求水面高度(m)時，水面上升的速率．2．解：將代入，得（m/s）五、證明題設D由軸，軸，直線圍成，證明：.證明：令則且∴或利用二重積分換元法∴

綜合模擬題（一）學院班級姓名學號一、選擇題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1.下列方程表示拋物面的是(C)（A）； （B）；（C）； （D）．2.函數的極小值點是（A）（A）（1,1）；（B）（0,0）；（C）（0,1）；（D）（1,0）.3.設山坡的高度為，一個登山者在山坡上點處，他決定沿最陡的道路向上攀登，則他應當選取的方向l是（A）（A）l=；（B）l=；（C）l=；（D）l=.4.設隱函數由方程所確定，其中可微，且，則（D）(A)；（B）；(C)0；(D).5.由曲面與所圍成的立體體積等于（B）．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1.與兩條直線及都平行，且過原點的平面方程為.2.曲線在點處的切線的方向向量為（3,1,2）.3.設函數，則ln5.4．設函數，則0.5．設D是由直線所圍成的平面閉區域，則二重積分0．三、(滿分6分)設，其中具有二階連續偏導數，求.解：3分6分四、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分)1.求由曲線與及軸所圍成的平面圖形的面積和該平面圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積.解：（1）……4分（2）.……8分2.若點M與關于直線對稱，求M的坐標．解：l方向向量為，l參數方程為過N垂直l的平面為：……….4分L與交點為，即為MN中心設，則，解得M為．……8分3.求由方程組所確定的隱函數的偏導數.解：將方程組兩端對求偏導，有……4分……8分4.求函數在閉區域上的最大值和最小值.解：當時，令解得駐點，且.……4分當時，設解得，……6分又，所以最大值為，最小值為.……8分五、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分)1.判別的斂散性.解：設，則……4分而無界函數積分收斂……6分由比較判別法收斂.……8分2.計算二重積分，其中D為圓域在第一象限的部分.解：...3分6分8分3.計算三重積分,其中是由圓錐面與平面圍成的閉區域.解：由對稱性，………4分