金太陽好教育云平臺第頁（共=sectionpages13*113頁）專題15概率與統計（解答題）1．【2021年全國高考甲卷數學（文）】甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根據給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為,乙機床生產的產品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.2．【2021年全國高考乙卷數學（文）】某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.0新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【分析】（1）根據平均數和方差的計算方法，計算出平均數和方差.（2）根據題目所給判斷依據，結合（1）的結論進行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.3．【2020年高考全國Ⅰ卷文數】某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業務?【解析】（1）由試加工產品等級的頻數分布表知，甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為；乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為.（2）由數據知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為利潤6525?5?75頻數40202020因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為.由數據知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為利潤70300?70頻數28173421因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為.比較甲乙兩分廠加工的產品的平均利潤，應選甲分廠承接加工業務.【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應用，以及平均數的求法，并根據平均值作出決策，屬于基礎題．4．【2020年高考全國Ⅱ卷文數】某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加．為調查該地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數量，并計算得，，，，．（1）求該地區這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數)；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(精確到0.01)；（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數r=，≈1.414．【解析】（1）由己知得樣本平均數，從而該地區這種野生動物數量的估計值為60×200=12000．（2）樣本的相關系數．（3）分層抽樣：根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區的這種野生動物數量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計．【點晴】本題主要考查平均數的估計值、相關系數的計算以及抽樣方法的選取，考查學生數學運算能力，是一道容易題.5．【2020年高考全國Ⅲ卷文數】某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質量等級[0,200](200,400](400,600]1（優）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據所給數據，完成下面的2×2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由所給數據，該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09（2）一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為．（3）根據所給數據，可得列聯表：人次≤400人次>400空氣質量好3337空氣質量不好228根據列聯表得．由于，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻率和平均數，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.6．【2020年新高考全國Ⅰ卷】為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據所給數據，完成下面的列聯表：（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）根據抽查數據，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的天數為,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的概率的估計值為．（2）根據抽查數據，可得列聯表：64161010（3）根據（2）的列聯表得．由于，故有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關．7．【2019年高考全國Ⅰ卷文數】某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）男、女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值分別為，；（2）有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．【解析】（1）由調查數據，男顧客中對該商場服務滿意的比率為，因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為．女顧客中對該商場服務滿意的比率為，因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為．（2）由題可得．由于，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．8．【2019年高考全國Ⅱ卷文數】某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況，隨機調查了100個企業，得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表．的分組企業數22453147（1）分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例；（2）求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．（精確到0.01）附：．【答案】（1）產值增長率不低于40%的企業比例為21%，產值負增長的企業比例為2%；（2）這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為30%，17%．【解析】（1）根據產值增長率頻數分布表得，所調查的100個企業中產值增長率不低于40%的企業頻率為．產值負增長的企業頻率為．用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例為21%，產值負增長的企業比例為2%．（2），，，所以，這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為30%，17%．9．【2019年高考全國Ⅲ卷文數】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．根據試驗數據分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P（C）的估計值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．【答案】（1），；（2）甲、乙離子殘留百分比的平均值的估計值分別為，．【解析】（1）由已知得，故．．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為．乙離子殘留百分比的平均值的估計值為．10．【2019年高考天津卷文數】2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況．（1）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為．享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續教育××○×○○大病醫療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發生的概率．【答案】（1）應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人；（2）（i）見解析，（ii）．【分析】本題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青員工人數之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．（2）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為，共15種．（ii）由表格知，符合題意的所有可能結果為，共11種．所以，事件M發生的概率．11．【2019年高考北京卷文數】改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（1）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數；（2）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（3）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發現他本月的支付金額大于2000元．結合（2）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．【答案】（1）該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數約為；（2）；（3）見解析．【解析】（1）由題知，樣本中僅使用A的學生有27+3=30人，僅使用B的學生有24+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有100–30–25–5=40人．估計該校學生中上個月A，B兩種支付