高等代數(shù)2試題B及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)答案：B2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組線性無關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)D.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)答案：C3.設(shè)\(A\)是\(m×n\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)答案：A4.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對稱矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)正交B.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)線性相關(guān)C.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)長度相等D.\(\xi_1\)與\(\xi_2\)平行答案：A5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)答案：A6.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^{-1}\)的一個(gè)特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\lambda^{-2}\)答案：B7.已知\(n\)維向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則（）A.向量組中任意\(r\)個(gè)向量線性無關(guān)B.向量組中任意\(r+1\)個(gè)向量線性相關(guān)C.向量組中任意\(r-1\)個(gè)向量線性無關(guān)D.向量組中任意\(r\)個(gè)向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組答案：B8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)經(jīng)過初等行變換后得到矩陣\(B\)，則（）A.\(|A|=|B|\)B.\(A\)與\(B\)等價(jià)C.\(A\)與\(B\)相似D.\(A\)與\(B\)合同答案：B9.設(shè)\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則（）A.\(|A|=1\)B.\(|A|=-1\)C.\(|A|^2=1\)D.\(A\)是對稱矩陣答案：C10.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形\(y_1^2+y_2^2-y_3^2\)，則二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)的正慣性指數(shù)\(p\)為（）A.0B.1C.2D.3答案：C多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣的說法正確的是（）A.可逆矩陣一定是方陣B.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)C.若\(AB=AC\)，且\(A\)可逆，則\(B=C\)D.兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆答案：ABCD2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.向量組的秩小于\(s\)C.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.向量組中至少有兩個(gè)向量成比例答案：ABC3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.齊次線性方程組\((A-\lambdaE)x=0\)有非零解D.\(\lambda\)滿足\(|\lambdaE-A|=0\)答案：ABCD4.以下關(guān)于二次型的說法正確的是（）A.二次型的矩陣一定是對稱矩陣B.二次型可通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形C.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一D.正定二次型的矩陣的特征值全大于零答案：ABCD5.設(shè)\(A\)和\(B\)是\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(|A|=|B|\)D.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對角線元素之和）答案：ABCD6.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，向量組\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，則（）A.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性無關(guān)B.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)與\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)等價(jià)C.\(r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\)D.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性相關(guān)答案：ABC7.設(shè)\(A\)是\(m×n\)矩陣，線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示C.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解D.\(r(A)\ltn\)答案：AB8.以下關(guān)于正交矩陣的性質(zhì)正確的是（）A.正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是正交矩陣B.正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣C.兩個(gè)正交矩陣的乘積是正交矩陣D.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)答案：ABCD9.對于\(n\)階方陣\(A\)，以下哪些條件等價(jià)于\(A\)可對角化（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量B.\(A\)的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)C.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值D.\(A\)相似于對角矩陣答案：ABD10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(r(A)+r(A-E)=n\)C.\(A\)可對角化D.\(A\)是可逆矩陣答案：ABC判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)和\(B\)都是\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）答案：×2.向量組中若有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）答案：√3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda\)一定是實(shí)數(shù)。（）答案：×4.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。（）答案：×5.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（）答案：×6.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于\(n-r(A)\)，其中\(zhòng)(n\)是未知數(shù)個(gè)數(shù)，\(r(A)\)是系數(shù)矩陣\(A\)的秩。（）答案：√7.設(shè)\(A\)是正交矩陣，則\(A\)的行向量組和列向量組都是正交單位向量組。（）答案：√8.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零，且所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零。（）答案：√9.一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的。（）答案：×10.正定二次型的矩陣一定是實(shí)對稱矩陣。（）答案：√簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的判定方法。答案：對于\(n\)階方陣\(A\)，可逆的判定方法有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；存在\(n\)階方陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(Ax=0\)僅有零解等。2.說明向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若僅當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時(shí)上式成立，則稱向量組線性無關(guān)。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先計(jì)算特征多項(xiàng)式\(|\lambdaE-A|\)，令其為零求出特征值\(\lambda\)。對于每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解就是屬于\(\lambda_i\)的特征向量。4.簡述二次型正定的判定方法。答案：二次型\(f(x)=x^TAx\)正定的判定方法：\(A\)的特征值全大于零；\(A\)的各階順序主子式全大于零；對任意非零向量\(x\)，\(f(x)=x^TAx\gt0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似與合同的關(guān)系及區(qū)別。答案：相似與合同都是矩陣間的等價(jià)關(guān)系。相似矩陣有相同特征值，合同矩陣有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。實(shí)對稱矩陣相似必合同，但合同不一定相似。一般矩陣相似與合同沒有必然聯(lián)系。相似變換用可逆矩陣\(P\)使\(P^{-1}AP=B\)，合同變換用可逆矩陣\(C\)使\(C^TAC=B\)。2.討論向量組的極大線性無關(guān)組的性質(zhì)及求法。答案：極大線性無關(guān)組性質(zhì)：向量組與其極大線性無關(guān)組等價(jià)；極大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一，等于向量組的秩。求法：先將向量組構(gòu)成矩陣，通過初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行首非零元所在列對應(yīng)的原向量即構(gòu)成極大線性無關(guān)組。3.討論線性方程組有解、無解、有唯一解和有無窮多解的條件。答案：對于線性方程組\(Ax=b\)，當(dāng)\(r(A)\neqr