專題12數列【2022年全國乙卷】1．已知等比數列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.【2022年全國乙卷】2．嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據，再利用數列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】方法一（常規解法）因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.方法二：（特值法）不妨設則故D正確.【2022年新高考2卷】3．圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D【2021年甲卷文科】4．記為等比數列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】【分析】根據題目條件可得，，成等比數列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數列的前n項和，∴，，成等比數列∴，∴，∴.故選：A.【2021年甲卷理科】5．等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數列為時，滿足，但是不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數列，則必有成立，若不成立，則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．【2020年新課標1卷文科】6．設是等比數列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題．【2020年新課標2卷理科】7．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】【分析】第n環天石心塊數為，第一層共有n環，則是以9為首項，9為公差的等差數列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環天石心塊數為，第一層共有n環，則是以9為首項，9為公差的等差數列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數列前n項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.【2020年新課標2卷理科】8．數列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】取，可得出數列是等比數列，求得數列的通項公式，利用等比數列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，，，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用等比數列求和求參數的值，解答的關鍵就是求出數列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.【2020年新課標2卷理科】9．0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數列的新定義問題，涉及到周期數列，考查學生對新定義的理解能力以及數學運算能力，是一道中檔題.【2020年新課標2卷文科】10．記Sn為等比數列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】【分析】根據等比數列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數列的通項公式和前項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點睛】本題考查了等比數列的通項公式的基本量計算，考查了等比數列前項和公式的應用，考查了數學運算能力.【2022年全國乙卷】11．記為等差數列的前n項和．若，則公差_______．【答案】2【解析】【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.【2021年新高考1卷】12．某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為______；如果對折次，那么______.【答案】

5

【解析】【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據規律可得，再根據錯位相減法得結果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規格（單位；故對折4次可得到如下規格：，，，，，共5種不同規格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.【2020年新課標1卷文科】13．數列滿足，前16項和為540，則______________.【答案】【解析】【分析】對為奇偶數分類討論，分別得出奇數項、偶數項的遞推關系，由奇數項遞推公式將奇數項用表示，由偶數項遞推公式得出偶數項的和，建立方程，求解即可得出結論.【詳解】，當為奇數時，；當為偶數時，.設數列的前項和為，，.故答案為：.【點睛】本題考查數列的遞推公式的應用，以及數列的并項求和，考查分類討論思想和數學計算能力，屬于較難題.【2020年新課標2卷文科】14．記為等差數列的前n項和．若，則__________．【答案】【解析】【分析】因為是等差數列，根據已知條件，求出公差，根據等差數列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數列，且，設等差數列的公差根據等差數列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據等差數列前項和公式：可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求等差數列的前項和，解題關鍵是掌握等差數列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.【2020年新高考1卷（山東卷）】15．將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數列與項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.【詳解】因為數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，數列是以1首項，以3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以的前項和為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數列的公共項構成新數列的特征，等差數列求和公式，屬于簡單題目.【2022年全國甲卷】16．記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數列．（2）[方法一]：二次函數的性質由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解．【2022年新高考1卷】17．記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴【2022年新高考2卷】18．已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可證出；（2）根據題意化簡可得，即可解出．（1）設數列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數為．【2021年甲卷文科】19．記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.【答案】證明見解析.【解析】【分析】先根據求出數列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數列是等差數列，設公差為∴，∴，∴當時，當時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數列.【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.【2021年甲卷理科】20．已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】證明過程見解析【解析】【分析】選①②作條件證明③時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數列可證；也可分別設出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關系，對照系數，得到等量關系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出，結合等差數列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數法+與關系式設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數法設等差數列的公差為d，等差數列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因為，是等差數列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數列.[方法二]【最優解】：求解通項公式因為，所以，，因為也為等差數列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，選①②時，法一：利用等差數列的通項公式是關于的一次函數，直接設出，平方后得到的關系式，利用得到的通項公式，進而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設出與的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關系，對照系數，得到等量關系，，進而得到；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進而由等差數列定義進行證明；選②③時，法一：利用等差數列的通項公式是關于的一次函數，直接設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列；法二：利用是等差數列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結論.【2021年乙卷文科】21．設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導函數法設，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.【2021年乙卷理科】22．記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數列是以為首項，以為公差等差數列;[方法二]【最優解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數列是以為首項，為公差的等差數列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當時，．故數列是以為首項，為公差的等差數列．[方法四]：數學歸納法

由已知，得，，，，猜想數列是以為首項，為公差的等差數列，且．下面用數學歸納法證明．當時顯然成立．假設當時成立，即．那么當時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數列是以為首項，為公差的等差數列．（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數列的遞推關系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關系，從而證得結論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結合得到，從而證得結論，為最優解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結論；方法四利用歸納猜想得到數列，然后利用數學歸納法證得結論．（2）由（1）的結論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關系求得的通項公式；【2021年新高考1卷】23．已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：顯然為偶數，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數）及（為偶數）可知，數列從第一項起，若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數列滿足．所以，，則．所以，數列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數列滿足，所以．所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．從而數列的前20項和為：．【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優的解法；方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規的方法；方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.【2021年新高考2卷】24．記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數列的通項公式為：.(2)由數列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數，故的最小值為.【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.【2020年新課標1卷理科】25．設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結合等差中項關系，建立公比的方程，求解即可得出結論；（2）由（1）結合條件得出的通項，根據的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結論.【詳解】（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題.【2020年新課標3卷理科】26．設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數學歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優解】：通性通法由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構造法，猜想．由于，所以可設，其中為常數．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優解】：裂項相消法，所以．［方法三］：構造法當時，，設，即，則，解得．所以，即為常數列，而，所以．故．［方法四］：因為，令，則，，所以．故．【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數列的部分項從而歸納得出數列的通項公式，再根據數學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優解；方法二：根據遞推式，代換得，兩式相減得，設，從而簡化遞推式，再根據構造法即可求出，從而得出數列的通項公式；方法三：由化簡得，根據累加法即可求出數列的通項公式；方法四：通過遞推式求出數列的部分項，歸納得出數列的通項公式，再根據待定系數法將遞推式變形成，求出，從而可得構造數列為常數列，即得數列的通項公式．（2）方法一：根據通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優解法；方法三：由時，，構造得到數列為常數列，從而求出；方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數列的前項和即可，其中數列的前項和借助于函數的導數，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．【2020年新課標3卷文科】27．設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．【答案】（1）；（2