PAGE寶雞市金臺區2022-2023學年高三上學期10月教學質量檢測文科數學2022.10注意事項：1.答卷前，考生將答題卡有關項目填寫清楚。2.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無效。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A．B．C．D．2．已知，其中，是實數，是虛數單位，則（

）A． B． C． D．3．已知向量的夾角為，若，，則（

）A． B． C． D．4．某市教育局為得到高三年級學生身高的數據，對高三年級學生進行抽樣調查，隨機抽取了名學生，他們的身高都在，，，，五個層次內，分男、女生統計得到以下樣本分布統計圖，則（

）A．樣本中層次的女生比相應層次的男生人數多B．估計樣本中男生身高的中位數比女生身高的中位數大C．層次的女生和層次的男生在整個樣本中頻率相等D．樣本中層次的學生數和層次的學生數一樣多5.在約束條件下，則目標函數的最大值為（

）A． B． C．5D．76．已知拋物線的焦點為.若直線與交于兩點，且，則（

）A．3 B．4C．5 D．67．我國明朝數學家程大位著的《算法統宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，則輸出的（

）A．25 B．45 C．55 D．758．函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A．B．C．D．9.在正方體中，則下列判斷錯誤的是（

）A．平面 B．平面平面C．直線過的垂心 D．平面與平面夾角為10．已知等比數列的公比，前n項和為，，，則（

）A．2 B．3 C．6 D．1011．記函數的極大值從大到小依次為、、、、，則（

）A． B． C． D．12．半徑為的球面上有四點，且直線兩兩垂直，若，，的面積之和為72，則此球體積的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為等差數列的前項和．若，則公差．14.有一批產品，其中有2件正品和3件次品，從中任取3件，至少有2件次品的概率為．15.經過四個點，，，中三個點的圓的方程為.16.若是偶函數，則．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，且，（1）若,求；（2）求證：．18.（12分）如圖，在三棱錐中，，，，為棱上一點，，棱的中點在平面上的射影在線段上.證明：平面；求三棱錐的體積．19.（12分）應對嚴重威脅人類生存與發展的氣候變化，其關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現“碳達峰”，而后實現“碳中和”，2020年第七十五屆聯合國大會一般性辯論上，習近平總書記向世界鄭重承諾：力爭在2030年前實現“碳達峰”，努力爭取在2060年前實現“碳中和”。近年來，國家積極發展新能源汽車，某品牌的新能源汽車寶雞地區銷售在2022年5月至2022年9月這5個月的銷售量（單位：輛）的數據如下表：月份2022年5月2022年6月2022年7月2022年8月2022年9月月份代碼：12345銷售量：4556646872（1）依據表中的統計數據，請判斷月份代碼與該品牌的新能源汽車寶雞地區銷售量（單位：輛）是否具有較高的線性相關程度?（參考：若，則線性相關程度一般，若，則線性相關程度較高，計算時精確度為0.01.）（2）求銷售量與月份代碼之間的線性回歸方程，并預測2022年11月份寶雞地區的銷售量（單位：輛）.（結果保留整數）參考數據：，，，參考公式：相關系數，線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.20.（12分）已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，,,中恰有兩點在上.（1）求的方程；（2）兩點在上，且直線,的斜率互為相反數，直線,分別與直線交于,兩點，證明：.21.（12分）設.（1）證明：；（2）若，求的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.22.（10分）[選修4-4：坐標系與參數方程]在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的方程為．（1）求曲線的普通方程；（2）若曲線與直線交于兩點，且，求直線的斜率．23.（10分）[選修4-5：不等式選講]已知，，，且.（1）求證：；（2）若不等式對一切實數，，恒成立，求的取值范圍.2023屆高三教學質量檢測文科數學答案2022.10一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．B考察集合運算及數集的認知解：由，所以，由，所以；2．B考察復數的認知解:由題意得，所以，得，.3．C考察向量數量級的運算解:，4．B考察統計的基本知識解:設樣本中女生有人，則男生有人，設女生身高頻率分布直方圖中的組距為由頻率分布直方圖的性質可得，所以，所以女生身高頻率分布直方圖中層次頻率為20%，層次頻率為30%，層次頻率為25%，層次頻率為15%，層次頻率為10%所以樣本中層次的女生人數為，男生人數為，由于的取值未知，所以無法比較層次中男，女生人數，A錯誤；層次女生在女生樣本數中頻率為15%，所以在整個樣本中頻率為，層次男生在男生樣本數中頻率為15%，所以在整個樣本中頻率為，由于的取值未知，所以無法比較層次的女生和層次的男生在整個樣本中頻率，C錯誤；樣本中層次的學生數為，樣本中層次的學生數為，由于的取值未知，所以無法比較樣本中層次的學生數和層次的學生數的大小，D錯，女生中，兩個層次的頻率之和為50%，所以女生的樣本身高中位數為，層次的分界點，而男生，兩個層次的頻率之和為35%，，，兩個層次的頻率之和為65%，顯然中位數落在C層次內，所以樣本中男生身高的中位數比女生身高的中位數大，B正確；5．C考察線性規劃可行域及對目標函數斜率公式的認知解:做出可行域，設直線與的交點為點，直線與的交點為點，直線與的交點為點.可知，隨著直線向上平移而減小，隨著直線向下平移而增大，所以在頂點取得最大值.直線與的交點為點，由，得，即，代入目標函數，即可得最大值.6．C考察拋物線的定義及運算解:將代入，解得，則、，所以，解得，則.7．A考察循環結構的特征解:；；；；；．所以8．D考察通過函數性質識圖的能力解:由圖可知，在上的圖象關于軸對稱，所以在上為偶函數，故應先判斷各選項中函數的奇偶性.對A，，為偶函數，故A選項的函數為其定義域內的偶函數.同理：對C、D選項的均為其定義域內的偶函數，只有選項的為其定義域內的奇函數，從而排除選項B.又，對A選項：，所以排除A.而由圖可知，對C選項：，，故排除C.9．D正方體中的平行與垂直判斷解：由，得平面,所以，同理可得，所以平面，故A正確；由∥∥，得平面∥平面，故B正確；因為三棱錐為正三棱錐（或由兩兩垂直）得直線過的垂心，故C正確；連接交于O點，連接，由，得為平面與平面的夾角，因為，故D錯誤．10．B考察等比數列的基本運算解:設等比數列的首項為，公比為q，由題意可得，即，整理得，解得或（舍去），，所以.11．C考察相關三角函數的極值特征解:因為，其中，則，令可得，且不是函數的極值點，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減.所以，函數的極小值點為，極大值點為，所以，函數的極大值為，因為函數單調遞減，故，，因此，.12．D考察長方體與外接球組合體基本特征及與均值不等式的結合解：設，，，因為直線兩兩垂直，若，，的面積之和為72，所以，有，以、、為鄰邊可構造一個長方體，則該長方體為此球的內接長方體，所以，．因為所以，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，此球體積的最小值為．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.本題考查了等差數列的定義，改編自2022年乙卷13題，屬于基礎題。【答案】-2【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：-2.14.本題考查了互斥事件和古典概型的概率計算公式，屬于基礎題．從5件產品任取3件的取法共有10種，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法為7種，利用古典概型的概率計算公式即可得出。【答案】

15.本題考查利用待定系數法求圓的方程，屬于基礎題.【答案】x2+y2方法一：設圓的一般方程為，分別將三點的坐標代入圓的方程，求出即可；或者設圓的標準方程為，分別將三點的坐標代入圓的方程，求出即可.推薦方法二：數形結合根據題目中點的特殊性直接寫出圓方程【解答】解：設過，0,2，三點的圓的方程為，則解得，即圓的方程為故答案為（其余略）16.本題考查了函數的奇偶性，指數，對數的基本運算，屬于中檔題。【答案】【解析】（解法一）函數為偶函數，故，即，化簡得，即，整理得，所以，即．

（解法一）函數為偶函數，故，即，化簡得，即，整理得，所以，即．

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（12分）本題考查了正弦定理，余弦定理公式的基本應用，屬于簡單題。【答案】解：若a=2b,c236=a2+a=436證明：因為，，所以，根據正弦定理得，，8分又，所以，即12分18.（12分）本題主要考查棱錐的體積和線面垂直的判定，屬于中檔題.根據空間中直線與平面垂直的判定定理求證即可；利用三棱錐的體積公式求解即可.證明：取AB的中點H，連接CH，，為AH的中點，又E為AC的中點，，，又點E在平面PAB上的射影F在線段PD上，平面PAB，2分又平面PAB平面PDE，平面PDE4分平面PDE，又平面PDE因為點E為棱AC的中點，，6分又平面ABC，平面ABC，又在中，由得，8分

12分19.（12分）（1）根據所給數據算出相關系數即可；（2）根據所給數據和公式算出答案即可.解：（1）由表中數據可得，所以,又，，3分所以.5分所以月份代碼與銷售量（單位:輛）具有較高的線性相關程度，可用線性回歸模型擬合銷售量與月份代碼之間的關系.6分（2）由表中數據可得，則，所以，9分令，可得(輛)，故可預測2022年10月該品牌的新能源汽車該區域的銷售量為輛.12分20.（12分）（1）分類討論并利用待定系數法可求出結果；（2）設直線的斜率為，則直線的斜率為，通過聯立方程組求出的坐標，然后利用兩點間的距離公式可證等式成立.聯立方程組求出的坐標，再根據兩點間的距離公式證明是解題關鍵.解：(1)因為圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，所以橢圓方程為標準方程，設為，若兩點在上，則有，不合題意；1分若兩點在橢圓上，則無解；3分若兩點在橢圓上，則，解得，5分所以橢圓的方程為.6分(2)直線，設直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，8分設，，聯立消去并整理得，10分則，即，同理可得，12分所以，，所以，，聯立，得，則，聯立，得，則，所以，，，，所以，所以，所以.12分21.（12分）（1）設，，根據函數的單調性證明結論成立；（2）通過討論的范圍，求出函數的導數，根據函數的單調性確定的取值范圍即可．導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．解：（1）由題意可設，有，1分所以在（0，1）單減，所以，即，3分設，，4分，則有，單調遞增，得，所以得證；6分（2）由（1）可知時，成立，則當時，設，8分則，，單調遞增，則，10分①若，，單調遞減，則有，此時不符合題意；②若，，，所以有唯一零點，可記為，則，，此時單調遞減，有，則不符合題意；綜上可知，即的取值范圍為.12分（10分）（