題型三平行四邊形的存在性問題解題策略

以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強。

這類題，一般有兩個類型：

（1）“三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問題：

以A，B，C三點為頂點的平行四邊形構(gòu)造方法有：作平行線：如圖，連結(jié)AB，BC，AC，分別過點A，B，C作其對邊的平行線，三條直線的交點為D，E，F(xiàn)．則四邊形ABCD，ACBE，ABFC均為平行四邊形．②倍長中線：如圖，延長邊AC，AB，BC上的中線，使延長部分與中線相等，得點D，E，F(xiàn)，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)D．則四邊形ABCD，ACBE，ABFC均為平行四邊形．（2）“兩個定點、兩個動點”的平行四邊形存在性問題：

先確定其中一個動點的位置，轉(zhuǎn)化為“三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問題，再構(gòu)造平行四邊形．注意：解平行四邊形存在性問題，無論是以上哪種類型，若沒有指定四邊形頂點順序，都需要分類討論．如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．計算小技巧：根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便．根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運用坐標對稱，可以使得解題簡便．◆例題1.

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為P，如果以點P、A、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標．(-3,0)(0,3)(-1,4)由于A(－3,0)C(0,3)所以P(－1,4)D1(2,7)D2(-4,1)D3(-2,-1)用坐標平移的方法，比用解析式構(gòu)造方程組求交點方便多了。(1,0)三定一動：作平行◆小試牛刀：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2＋mx＋n經(jīng)過點A（3，0），B（0，﹣3），P是直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M．（1）分別求出直線AB和這條拋物線的表達式；解：（1）將點A，B的坐標代入拋物線的表達式，得y＝x2－2x＋3．設(shè)直線AB的表達式為y＝kx＋b，將點A，B的坐標代入，得y＝x－3．（2）存在．因為PM∥OB，所以當PM＝OB時，四邊形即為平行四邊形．設(shè)點P的坐標為（p，p－3），則點M的坐標為（p，p2－2p－3）．所以解得：故滿足條件的點P的橫坐標為（2）是否存在這樣的點P，使得以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．◆例題2.

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．(-1,0)(3,0)◆例題2.

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．(-1,0)(3,0)①當AB是平行四邊形的對角線時M的橫坐標為2．此時M(2，3)②當AB是平行四邊形的邊時PM//AB，PM＝AB＝4以點M的橫坐標為4或－4M(4,－5)或(－4,－21)兩定兩動：定邊作一邊或作對角線◆小試牛刀：如圖，拋物線

y=x2+bx+c的頂點為D（－1，－4），與y軸交于點C（0，－3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．解

（1）將點C，D的坐標代入拋物線的表達式，

得y=x2+2x-3.（2）存在．

令x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3。所以點A的坐標為（－3，0），B的坐標為（1，0）．由點F在拋物線上，設(shè)點F的坐標為

（m,m2+2m-3）兩定兩動：定邊作一邊或作對角線方法一：①如圖1、圖2，當AC為平行四邊形的邊時，過點F作FP垂直于拋物線的對稱軸，垂足為P．易證△PEF≌△OCA．所以PF＝AO＝3，從而點F的坐標為（2，5）或（－4，5）．總結(jié)：②如圖3，當AC為平行四邊形的對角線時，過點F作FP⊥y軸于點P．令拋物線的對稱軸交x軸于點Q，易證△PCF≌△QEA．所以PF＝AQ＝2，從而點F的坐標為（－2，－3），此時點F與點C縱坐標相同，所以點E在x軸上．◆試一試

如圖，已知拋物線與x軸的負半軸交于點C，點E的坐標為(0,－3)，點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N，使得以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．(-4,0)

◆試一試

如圖，已知拋物線與x軸的負半軸交于點C，點E的坐標為(0,－3)，點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N，使得以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．(-4,0)

以CE為分類標準，分兩種情況討論平行四邊形：

①當CE為平行四邊形的邊時

C、E兩點間的水平距離為4M的橫坐標為－6或2M、N兩點間的水平距離也為4將x＝-6和x＝2分別代入拋物線的解析式，得M(-6,16)或(2,16)(-4,0)

②當CE為平行四邊形的對角線時

M為拋物線的頂點只討論已知線段的水平距離◆試一試

如圖，已知拋物線與x軸的負半軸交于點C，點E的坐標為(0,－3)，點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N，使得以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．◆練1：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．經(jīng)過點A的直線l：y＝ax＋a與拋物線的另一交點為C，設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，那么以點A，C，P，Q為頂點是四邊形能否成為矩形?若能，求出點P的坐標;若不能，請說明理由．◆練1：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．經(jīng)過點A的直線l：y＝ax＋a與拋物線的另一交點為C，設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，那么以點A，C，P，Q為頂點是四邊形能否成為矩形?若能，求出點P的坐標;若不能，請說明理由．解：以點A，C，P，Q為都頂點的四邊形能成為矩形．令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，所以點A的坐標為（－1，0），C的坐標為（4，5a）因為y＝ax2－2ax－3a，所以拋物線的對稱軸為x＝1．則xP＝1．①若AC是矩形的一條邊，如圖，則xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，從而點Q坐標為（－4，21a）．同樣yA＋yP＝y(tǒng)C＋yQ，可得yP＝26a，從而點P坐標為（1，26a）．因為AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，解得此時點P的坐標為（1，）②若AC是矩形的一條對角線，如圖．則xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，從而點Q坐標為（2，－3a）．同樣yA＋yC＝y(tǒng)P＋yQ，可得yP＝8a，從而點P坐標為（1，8a）．因為AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，算得所以此時點P的坐標為（1，－4）◆練2.

如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在直線AB上，在平面直角坐標系中求一點D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點的四邊形是菱形．(4,0)O、A是確定的，以線段OA為分類標準(0,4)◆練2.

如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在直線AB上，在平面直角坐標系中求一點D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點的四邊形是菱形．(4,0)O、A是確定的，以線段OA為分類標準①OA是菱形的對角線時點C在OA的垂直平分線上C(2,2)D(2,－2)②OA是菱形的邊時O為圓心，D的坐標為(4,4)以A為圓心(0,4)◆練3.交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，直線AD與y軸負半軸交于點C，且CD＝4AC．設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．以AD為分類標準，分兩種情況討論：

①如果AD為矩形的邊

AD//QP，AD＝QP,鄰邊相互垂直(-1,0)

(3,0)

(4,5a)

(1,？)

A、D兩點間的水平距離為5所以點Q的橫坐標為－4或6(舍去)Q(－4,21a)A、D兩點間的豎直距離為－5aP的縱坐標為26a所以P(1,26a)AP2＝QD222＋(26a)2＝82＋(16a)2整理，得7a2＝1②如果AD為矩形的對角線

AP//QD，AP＝QD(-1,0)

(3,0)

(4,5a)

(1,？)

由于A、P兩點間的水平距離為2，所以點Q的橫坐標為2．所以Q(2,－3a)由于Q、D兩點間的豎直距離為－8a，所以點P的縱坐標為8a．所以P(1,8a)AD2＝PQ252＋(5a)2＝12＋(11a)2整理，得4a2＝1◆練3.交于A、B兩