圓周運動的應用圓周運動的應用1、豎直平面內的圓周運動（1）無支持物模型臨界條件：小球恰能過最高點A、能過最高點的條件：B、不能過最高點的條件：思考:小球在豎直平面的運動情況?實際是球還沒到最高點時就脫離了軌道1、豎直平面內的圓周運動（1）無支持物模型臨界條件：小球恰能（2）有支持物模型a、當v=0時，N=mgc、當v=時，N=0b、當0＜v＜時，支持力N,0＜N＜mgmg–N=d、當v＞時，拉力TT+mg=臨界條件：小球恰能到最高點：v=0；輕桿無彈力時：（2）有支持物模型a、當v=0時，N=mgc、當v=例1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定著一個小球，另一端可繞光滑的水平軸轉使小球在豎直平面內運動，設小球在最高點的速度為v,則（）A.v的最小值為B.v若增大，向心力也增大C.當v由逐漸增大時，桿對球的彈力也增大D.當v由0逐漸增大時，桿對球的彈力先減小后增大例1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定著一個小球，另一端可繞

例2、雜技演員表演“水流星”，使裝有水的瓶子在豎直平面內做半徑為0.9m的圓周運動，若瓶內盛有100g水，瓶的質量為400g，當瓶運動到最高點時，瓶口向下，要使水不流出來，瓶子的速度至少為

m/s,若瓶子在最高點的速度為6m/s則瓶子對水的壓力為

N，繩子受到的拉力為______N。vmgN例2、雜技演員表演“水流星”，使裝有水的瓶子在豎直平vGN

解：在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底對它的壓力和重力的合力為向心力。而壓力只能：所以水不流出的條件是：若瓶子在最高點的速度為6m/s繩子受到的拉力為：則瓶子對水的壓力為vGN解：在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底對它的例3、用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環（管徑遠小于R）豎直放置，一小球（可看作質點直徑略小于管徑）質量為m=0.2kg在環內做圓周運動，求:小球通過最高點A時，下列兩種情況下球對管壁的作用力。取g=10m/s2，求：

(1)A的速率為1.0m/s(2)A的速率為4.0m/s。例3、用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環（管徑遠小于R）AOm解：先求出彈力為0時的速率v0(1)v1=1m/s<v0

球應受到內壁向上的支持力N1(2)v2=4m/s>v0

球應受到外壁向下的彈力力N2AOmN2mg由牛頓第三定律，球對管壁的作用力分別為：(1)對內壁1.6N向下的壓力(2)對外壁4.4N向上的壓力.AOm解：先求出彈力為0時的速率v0(1)v1=1m/s例4、如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸O在豎直面內轉動，桿的兩端固定有質量均為m=1kg的小球A和B，球心到軸O的距離分別為O=0.8m，BO=0.2m。已知A球轉到最低點時速度為vA=4m/s，問此時A、B球對桿的作用力的大小和方向？ABvAvB例4、如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸O在豎直面內轉動，桿的兩解:兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此可知：vA=4m/s時vB=1m/s對A球：FA-mg=mvA2/OA解出：FA=30N，于是A球對細桿的力大小為30N，方向向下對B球：設桿對球的作用力向下，則FB+mg=mvB2/OB解出：FB=-5N，于是B球對細桿的力大小為5N，方向向下ABvAvB解:兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此可知：ABv例5、如圖所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩定時，以角速度ω做勻速圓周運動，則在轉動過程中，電動機對地面的最大壓力和最小壓力的數值之差為多少？例5、如圖所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的【思路點撥】當小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉動至最低點時受桿的拉力F1及重力作用，如圖甲所示，此時F1>mg。當小鐵塊轉至最高點時，鐵塊受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力F2），如圖所示：【解析】對鐵塊，由牛頓第二定律得：甲：F1-mg=mω2r①乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r)②由①②兩式得：

F1±F2=2mω2r.由牛頓第三定律知，鐵塊對桿、桿對電動機兩個作用力的差即為：2mω2r.鐵塊轉至最高點時，電動機對地面的壓力FN最小為：FN=Mg±F2，其中M為電動機的質量.電動機對地面的最大壓力為：F′N=Mg+F1故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r【思路點撥】當小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉動至最低點時受

例6、如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三物，質量分別為2m、m、m，離轉軸距離分別為R、R、2R，與轉臺動摩擦因數相同，轉臺旋轉時，下列說法正確的是（）

A．若三物均未滑動，C物向心加速度最大

B．若三物均未滑動，B物受摩擦力最大

C．轉速增加，A物比B物先滑動

D．轉速增加，C物先滑動例6、如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三物，質量分別例7、細繩一端系著質量M=0.6千克的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質量m=0.3千克的物體，M與圓孔距離為0.2米，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2牛，現使此平面繞中心軸線轉動，問角速度在什么范圍m會處于靜止狀態？(g取10米/秒2)mMOr例7、細繩一端系著質量M=0.6千克的物體，靜止在水平面，另mMOr

解：當具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2牛。當具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，大小也為2牛。故范圍是：2.9弧度/秒≤≤6.5弧度/秒。隔離M有：解得：隔離M有：解得：mMOr解：當具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故例8、如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質量為M的質點P，與穿過中央小孔的輕繩一端連著。平板與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使質點做半徑為a、角速度為ω的勻速圓周運動.若繩子迅速放松至某一長度b而拉緊，質點就能在以半徑為b的圓周上做勻速圓周運動.求：（1）質點由半徑a到b所需的時間，（2）質點在半徑為b的圓周上運動的角速度。PF例8、如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質量為M的質點PbaVθ解：（1）繩子迅速放松后質點P沿切線做勻速直線運動。如圖所示，質點做勻速直線運動的距離為：做勻速直線運動速度大小為所以質點由半徑a到b所需的時間為（2）繩子繃直的瞬間，質點的法向速度V2變為0，此后質點以切向速度V1作半徑為b的勻速圓周運動。而：所以：baVθ解：（1）繩子迅速放松后質點P沿切線做勻速直線運動。例9、如圖所示，一個人用長為l=1m，只能承受Tm=46N拉力的繩子，拴著一質量為m=1kg的小球，在豎直平面內做圓周運動。已知圓心O離地面高h=6m，轉動中小球在最低點時繩子斷了。（1）繩子斷時小球運動的角速度多大？（2）繩子斷后，小球落點到拋出點的水平距離是多大？hvR（1）6rad/s

（2）6m例9、如圖所示，一個人用長為l=1m，只能承受Tm=46N拉例10、一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=30°。一條長為L的繩（質量不計），一端固定在圓錐體頂點O處，另一端栓著一個質量為m的小物體（可視為質點）。小物體以速率V繞軸線做水平勻速圓周運動。求：⑴當時,繩對物體的拉力。⑵當時，求繩對物體的拉力。300O例10、一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，解：物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持力為0，設此時線速度為V0。mgTY方向：X方向：解得：mgTY方向：X方向：解得：（1）當時，錐面對物體有支持力。N解：物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持力為0，設此時線速度Y方向：X方向：解得：（2）當時，錐面對物體無支持力，物體已離開錐面高，設α表示繩與軸線之間的夾角。兩式整理得：Y方向：X方向：解得：（2）當例11、如圖所示，兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，上面繩長L＝2m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊，當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？30°45°ABC分析：當角速度ω很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當ω逐漸增大使AC繩與軸成30°時，BC才被拉直（這是一個臨界狀態），但BC繩中的張力仍然為零。例11、如圖所示，兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，上面繩解：①當角速度ω為最小值ω1時，TBC=0，則有：

TACcos30°＝mgTACsin30°＝m·Lsin30°·ω12

將已知條件代入上式解得

ω1＝2.4rad/s解：①當角速度ω為最小值ω1時，TBC=0，則有：②當角速度ω為最大值ω2時，TAC＝0，則有：

TBCcos45°＝mgTBCsin45°＝m·Lsin30°·ω22

將已知條件代入上式解得

ω2＝3.16rad/s

所以，當ω滿足2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s時，AC、BC兩繩始終張緊。②當角速度ω為最大值ω2時，TAC＝0，則有：設ω=3rad/s時兩繩拉力分別為FAC和FBC，則有：FACsin30°＋FBCsin45°＝m·Lsin30°·ω2FACcos30°＋FBCcos45°＝mg將數據代入上面兩式解得

FAC＝0.27N

FBC＝1.09N設ω=3rad/s時兩繩拉力分別為FAC和FBC，則有：F（1）3.65rad/s（2）4rad/s（3）A隨圓盤一起勻速轉動，B離心運動例12、如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放置著兩個用細線相連的小物體A、B，它們的質量均為m，它們到轉軸距離分別為rA=20cm，rB=30cm，A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：（g取10m/s2）（1）當細線上開始出現張力時，圓盤的角速度0；（2）當A開始滑動時，圓盤的角速度；（3）當A物體即將滑動時，燒斷細線，A、B狀態如何？（1）3.65rad/s例12、如圖所示，勻速轉動的水平圓解：（1）圓盤轉動角速度達到ω0時，圓盤對B的摩擦力達到最大靜摩擦力fm

fm=0.4mg=mrBω02（2）當A即將開始滑動時，A、B都達到最大靜摩擦力對A:

0.4mg-T=mrAω2對B:T+0.4mg=mrBω2解：（1）圓盤轉動角速度達到ω0時，圓盤對B的摩擦力達到最大1、有時候讀書是一種巧妙地避開思考的方法。12月-2212月-22Thursday,December22,20222、閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。06:30:1206:30:1206:3012/22/20226:30:12AM3、越是沒有本領的就越加自命不凡。12月-2206:30:1206:30Dec-2222-Dec-224、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。06:30:1206:30:1206:30Thursday,December22,20225、知人者智，自知者明。勝人者有力，自勝者強。12月-2212月-2206:30:1206:30:12December22,20226、意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。22十二月20226:30:12上午06:30:1212月-227、最具挑戰性的挑戰莫過于提升自我。。十二月226:30上午12月-2206:30December22,20228、業余生活要有意義，不要越軌。2022/12/226:30:1206:30:1222December20229、一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。6:30:12上午6:30上午06:30:1212月-2210、你要做多大的事情，就該承受多大的壓力。12/22/20226:30:12AM06:30:1222-12月-2211、自己要先看得起自己，別人才會看得起你。12/22/20226:30AM12/22/20226:30AM12月-2212月-2212、這一秒不放棄，下一秒就會有希望。22-Dec-2222December202212月-2213、無論才能知識多么卓著，如果缺乏熱情，則無異紙上畫餅充饑，無補于事。Thursday,December22,202222-Dec-2212月-2214、我只是自己不放過自己而已，現在我不會再逼自己眷戀了。12月-2206:30:1222December202206:30謝謝大家1、有時候讀書是一種巧妙地避開思考的方法。12月-2212月28

圓周運動的應用圓周運動的應用1、豎直平面內的圓周運動（1）無支持物模型臨界條件：小球恰能過最高點A、能過最高點的條件：B、不能過最高點的條件：思考:小球在豎直平面的運動情況?實際是球還沒到最高點時就脫離了軌道1、豎直平面內的圓周運動（1）無支持物模型臨界條件：小球恰能（2）有支持物模型a、當v=0時，N=mgc、當v=時，N=0b、當0＜v＜時，支持力N,0＜N＜mgmg–N=d、當v＞時，拉力TT+mg=臨界條件：小球恰能到最高點：v=0；輕桿無彈力時：（2）有支持物模型a、當v=0時，N=mgc、當v=例1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定著一個小球，另一端可繞光滑的水平軸轉使小球在豎直平面內運動，設小球在最高點的速度為v,則（）A.v的最小值為B.v若增大，向心力也增大C.當v由逐漸增大時，桿對球的彈力也增大D.當v由0逐漸增大時，桿對球的彈力先減小后增大例1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定著一個小球，另一端可繞

例2、雜技演員表演“水流星”，使裝有水的瓶子在豎直平面內做半徑為0.9m的圓周運動，若瓶內盛有100g水，瓶的質量為400g，當瓶運動到最高點時，瓶口向下，要使水不流出來，瓶子的速度至少為

m/s,若瓶子在最高點的速度為6m/s則瓶子對水的壓力為

N，繩子受到的拉力為______N。vmgN例2、雜技演員表演“水流星”，使裝有水的瓶子在豎直平vGN

解：在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底對它的壓力和重力的合力為向心力。而壓力只能：所以水不流出的條件是：若瓶子在最高點的速度為6m/s繩子受到的拉力為：則瓶子對水的壓力為vGN解：在圓周的最高點，杯子中的水受到的杯底對它的例3、用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環（管徑遠小于R）豎直放置，一小球（可看作質點直徑略小于管徑）質量為m=0.2kg在環內做圓周運動，求:小球通過最高點A時，下列兩種情況下球對管壁的作用力。取g=10m/s2，求：

(1)A的速率為1.0m/s(2)A的速率為4.0m/s。例3、用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環（管徑遠小于R）AOm解：先求出彈力為0時的速率v0(1)v1=1m/s<v0

球應受到內壁向上的支持力N1(2)v2=4m/s>v0

球應受到外壁向下的彈力力N2AOmN2mg由牛頓第三定律，球對管壁的作用力分別為：(1)對內壁1.6N向下的壓力(2)對外壁4.4N向上的壓力.AOm解：先求出彈力為0時的速率v0(1)v1=1m/s例4、如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸O在豎直面內轉動，桿的兩端固定有質量均為m=1kg的小球A和B，球心到軸O的距離分別為O=0.8m，BO=0.2m。已知A球轉到最低點時速度為vA=4m/s，問此時A、B球對桿的作用力的大小和方向？ABvAvB例4、如圖，輕細桿可繞光滑的水平軸O在豎直面內轉動，桿的兩解:兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此可知：vA=4m/s時vB=1m/s對A球：FA-mg=mvA2/OA解出：FA=30N，于是A球對細桿的力大小為30N，方向向下對B球：設桿對球的作用力向下，則FB+mg=mvB2/OB解出：FB=-5N，于是B球對細桿的力大小為5N，方向向下ABvAvB解:兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同，由此可知：ABv例5、如圖所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩定時，以角速度ω做勻速圓周運動，則在轉動過程中，電動機對地面的最大壓力和最小壓力的數值之差為多少？例5、如圖所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的【思路點撥】當小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉動至最低點時受桿的拉力F1及重力作用，如圖甲所示，此時F1>mg。當小鐵塊轉至最高點時，鐵塊受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力F2），如圖所示：【解析】對鐵塊，由牛頓第二定律得：甲：F1-mg=mω2r①乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r)②由①②兩式得：

F1±F2=2mω2r.由牛頓第三定律知，鐵塊對桿、桿對電動機兩個作用力的差即為：2mω2r.鐵塊轉至最高點時，電動機對地面的壓力FN最小為：FN=Mg±F2，其中M為電動機的質量.電動機對地面的最大壓力為：F′N=Mg+F1故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r【思路點撥】當小鐵塊做勻速圓周運動時，小鐵塊轉動至最低點時受

例6、如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三物，質量分別為2m、m、m，離轉軸距離分別為R、R、2R，與轉臺動摩擦因數相同，轉臺旋轉時，下列說法正確的是（）

A．若三物均未滑動，C物向心加速度最大

B．若三物均未滑動，B物受摩擦力最大

C．轉速增加，A物比B物先滑動

D．轉速增加，C物先滑動例6、如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三物，質量分別例7、細繩一端系著質量M=0.6千克的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質量m=0.3千克的物體，M與圓孔距離為0.2米，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2牛，現使此平面繞中心軸線轉動，問角速度在什么范圍m會處于靜止狀態？(g取10米/秒2)mMOr例7、細繩一端系著質量M=0.6千克的物體，靜止在水平面，另mMOr

解：當具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2牛。當具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，大小也為2牛。故范圍是：2.9弧度/秒≤≤6.5弧度/秒。隔離M有：解得：隔離M有：解得：mMOr解：當具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故例8、如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質量為M的質點P，與穿過中央小孔的輕繩一端連著。平板與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使質點做半徑為a、角速度為ω的勻速圓周運動.若繩子迅速放松至某一長度b而拉緊，質點就能在以半徑為b的圓周上做勻速圓周運動.求：（1）質點由半徑a到b所需的時間，（2）質點在半徑為b的圓周上運動的角速度。PF例8、如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質量為M的質點PbaVθ解：（1）繩子迅速放松后質點P沿切線做勻速直線運動。如圖所示，質點做勻速直線運動的距離為：做勻速直線運動速度大小為所以質點由半徑a到b所需的時間為（2）繩子繃直的瞬間，質點的法向速度V2變為0，此后質點以切向速度V1作半徑為b的勻速圓周運動。而：所以：baVθ解：（1）繩子迅速放松后質點P沿切線做勻速直線運動。例9、如圖所示，一個人用長為l=1m，只能承受Tm=46N拉力的繩子，拴著一質量為m=1kg的小球，在豎直平面內做圓周運動。已知圓心O離地面高h=6m，轉動中小球在最低點時繩子斷了。（1）繩子斷時小球運動的角速度多大？（2）繩子斷后，小球落點到拋出點的水平距離是多大？hvR（1）6rad/s

（2）6m例9、如圖所示，一個人用長為l=1m，只能承受Tm=46N拉例10、一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=30°。一條長為L的繩（質量不計），一端固定在圓錐體頂點O處，另一端栓著一個質量為m的小物體（可視為質點）。小物體以速率V繞軸線做水平勻速圓周運動。求：⑴當時,繩對物體的拉力。⑵當時，求繩對物體的拉力。300O例10、一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，解：物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持力為0，設此時線速度為V0。mgTY方向：X方向：解得：mgTY方向：X方向：解得：（1）當時，錐面對物體有支持力。N解：物體剛要離開錐面時，錐面對物體的支持力為0，設此時線速度Y方向：X方向：解得：（2）當時，錐面對物體無支持力，物體已離開錐面高，設α表示繩與軸線之間的夾角。兩式整理得：Y方向：X方向：解得：（2）當例11、如圖所示，兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，上面繩長L＝2m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊，當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？30°45°ABC分析：當角速度ω很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當ω逐漸增大使AC繩與軸成30°時，BC才被拉直（這是一個臨界狀態），但BC繩中的張力仍然為零。例11、如圖所示，兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，上面繩解：①當角速度ω為最小值ω1時，TBC=0，則有：

TACcos30°＝mgTACsin30°＝m·Lsin30°·ω12

將已知條件代入上式解得

ω1＝2.4rad/s解：①當角速度ω為最小值ω1時，TBC=0，則有：②當角速度ω為最大值ω2時，TAC＝0，則有：

TBCcos45°＝mgTBCsin45°＝m·Lsin30°·ω22

將已知條件代入上式解得

ω2＝3.16rad/s

所以，當ω滿足2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s時，AC、BC兩繩始終張緊。②當角速度ω為最大值ω2時，TAC＝0，則有：設ω=3rad/s時兩繩拉力分別為FAC和FBC，則有：FACsin30°＋FBCsin45°＝m·Lsin30°·ω2FACcos30°＋FBCcos45°＝mg將數據代入上面兩式解得

FAC＝0.27N

FBC＝1.09N設ω=3rad/s時兩繩拉力分別為FAC和FBC，則有：F（1）3.65rad/s（2）4rad/s（3）A隨圓盤一起勻速轉動，B離心運動例12、如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放置著兩個用細線相連的小物體A、B，它們的質量均為m，它們到轉軸距離分別為rA=20cm，rB=30cm，A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：（g取10m/s2）（1）當