本章教學目標：簡要介紹概率的基礎知識，主要供學員回顧復習概率知識的參考，為統計學內容的學習提供所需的基礎知識；掌握查各種概率分布表時Excel統計函數的使用；能運用概率知識解決企業經營管理中的實際問題。運用動態模擬方法驗證中心極限定理；項目投資決策的應用案例分析。第4章概率論基礎1本章主要內容§4.1隨機試驗與隨機事件§4.2概率§4.3隨機變量及其分布函數§4.4離散型隨機變量§4.5連續型隨機變量§4.6隨機變量的數學期望和方差§4.7大數定律和中心極限定理§4.8新產品投資決策案例分析

本章內容的重點：條件概率、事件的獨立性、二項分布、正態分布、Excel統計函數的使用。2在市場經濟環境下，企業所面臨的是充滿不確定因素的市場經濟環境，企業的任何決策都存在不同程度的風險。正確的決策可以為企業帶來巨大的經濟效益和發展機遇，但重大的決策失誤也會給企業造成巨大的經濟損失，并有可能使企業從此陷入困境甚至破產倒閉。因此，如何提高決策的科學性，并盡可能降低和規避決策的風險，是所有企業的高層經營管理決策者都面臨的共性問題。利用概率論的知識，可以幫助決策者進行風險型決策分析，利用所能獲得的各種信息，還可以大大降低決策的風險程度，盡可能避免重大的經濟損失，并為企業帶來可觀的經濟效益和良好的發展機遇。引言3市場調查和預測分析估計，產品上市后銷售量將達到生產能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷）的可能性分別為40%、30%、30%。另經財務部門所作的財務預測分析，在產品出現”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項目投產后的年凈現金流量將分別為100萬元、600萬元和1000萬元?？紤]到籌資成本和資金的機會成本，貼現率應取6%。5為使對該新產品項目的投資決策更具科學性，總經理召開了有銷售、生產、財務、技術等部門負責人參加的會議。會上銷售部經理建議，為減小決策風險，應在決定是否投資生產前先利用原有設備進行少量試生產（100臺），并將試生產的洗衣機免費贈送給不同地區的一些用戶進行為期3個月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經理還設計了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度、外觀、可靠性五大類共25個指標，每項指標都由用戶按1～5分打分，加權平均后的滿分為100分。根據用戶試用后反饋結果的總平均分，可將用戶對該洗衣機的評價分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結果。銷售部經理的建議6銷售部經理認為，為減少決策風險，應根據對用戶試用反饋情況進行分析后再作是否投資生產該洗衣機的決定。銷售部經理還提供了過去許多企業在產品正式投產之前采用類似試用或試銷方法的用戶反饋結果與產品正式生產上市后銷售狀況之間的統計數據，見表1表1銷售狀況與試用結果間的統計資料7總經理指示財務部經理對銷售部經理所提方案的費用進行估算。在下一次的會議上，財務部經理給出了試生產、分發用戶試用及收集用戶反饋信息等項工作的總費用估算結果，估計需要100萬元。會上有人提出是否值得花100萬元進行試生產并免費贈送用戶試用，并展開了激烈的爭論?？偨浝硐Ｍ軐Ω鞣N可行方案的風險及經濟效益進行科學的分析與評價。如何進行科學決策？8一．隨機試驗人們在研究經濟管理以及其他社會問題中，通?？偸峭ㄟ^調查或對社會現象的觀察來獲取所研究問題的有關數據；在自然科學領域中，人們也是通過科學實驗或對自然現象的觀察來獲取所需要的資料。對社會現象的觀察和對自然現象的科學實驗在概率論和統計學中都統稱為試驗。如果試驗可在相同的條件下重復進行，而且試驗的結果不止一個，每次試驗前不能確定將會出現哪一結果，這樣的試驗就稱為隨機試驗，簡稱試驗。例如，在一批產品中任意抽取一件進行檢驗；企業市場調查人員就本企業的產品和服務進行的用戶滿意度調查；對某產品進行的壽命試驗等等都是隨機試驗?！?.1隨機試驗與隨機事件10【例1】擲一枚骰子，觀察出現的點數.記A1為{出現偶數點}；A2為{小于4的點}，A3為{不超過6的點}，A4為{大于6的點}。則：S={1，2，3，4，5，6}；A1={2，4，6}；A2={1，2，3}；A3=S；A4=φ【例2】在一批產品中連續抽取二次，每次任取一件進行檢驗，分別記T、F為抽到正品和次品，并記A1為{第一次抽到的是正品}，A2為{抽到一個正品}，A3為{兩次抽到的質量相同}，則：S={(T，T)，(T，F)，(F，T)，(F，F)}；A1={(T，T)，(T，F)}；A2={(T，F)，(F，T)}；A3={(T，T)，(F，F)}12A與B互斥AB3.事件的交“A與B同時發生”，稱為A交B，記為A∩B或AB。ABAB4.互斥(互不相容)事件若A與B不能同時發生，即AB=φ，則稱A與B互斥。顯然，基本事件都是互斥的。145.事件的差“A發生而B不發生”的事件，稱為A與B的差，記為A-B。A-BBA互逆事件A6.互逆(對立)事件

若試驗中，A與B必有且僅有一個發生，即同時滿足A∪B=S和AB=φ，則稱A與B互逆(對立)，并稱A是B的逆事件，反之亦然，記為157．事件運算的性質(1)交換律：A∪B=B∪A；AB=BA(2)結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)(3)分配律：(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)(4)對偶律：ABC(A∪B)CABC(AB)∪C16【例3】如何表示復雜事件

在一批產品中連續抽檢3個產品，記Ai={第i個是次品}，i=1,2,3,用Ai間的關系表示以下事件：(1)至少有一個次品：A1∪A2∪A3A1A2A3(4)至少有一個正品：(3)3個都是正品：(2)3個都是次品：其中(1)與(3)是互逆事件，(2)與(4)也是互逆事件。17課堂練習1在一批產品中連續抽取3個產品進行檢驗，記Ai={第i個抽到的是次品}，i=1,2,3。試用Ai間的運算關系表示以下事件：(1)至少有一個正品；(2)全部是正品；(3)恰有一個次品；(4)不多于2個次品；(5)不多于2個正品；(6)不多于1個次品。181.頻率對于隨機事件A，在一次試驗中我們無法預言它是否會發生，但是在相同條件下的重復試驗的次數n充分大以后，可以發現事件A發生的次數nA與試驗次數n之比將在某個確定值附近波動，這一比值就稱為事件A發生的頻率，記為fn(A)。顯然，頻率具有以下性質：(1)0≤fn(A)≤1(2)fn(S)=1；fn(Φ)=0(3)若AB=Φ，則fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)20

2.概率由于頻率并非是一個穩定的值，因此用它來刻畫事件發生的可能性大小是有缺陷的。人們發現，隨著重復試驗次數的增多，事件A發生的頻率fn(A)就逐漸穩定地趨于某個常數P(A)附近，這一客觀存在的常數P(A)就稱為事件A的概率。例如，不斷擲一枚勻質硬幣，則隨著拋擲的次數增加，我們可以發現硬幣落地后正面（或反面）朝上的次數占總的拋擲次數的比例會逐漸穩定地趨于1/2，因此擲一枚勻質硬幣落下后正面朝上的概率就是0.5。由于頻率與概率的密切關系，因而在實際應用中，當無法由理論上確知某些事件的概率時，就可以用事件發生的頻率作為其概率的估計值21課堂練習2：廣義加法定理的推廣設A、B、C為任意三個事件，P(A)、P(B)、P(C)、P(AB)、P(AC)、P(BC)、P(ABC)都已知，求P(ABC)23某汽車零件廠生產為某汽車發動機企業配套的活塞銷，以每箱500件出廠，主機廠對該廠的活塞銷采用如下抽樣檢驗方法：從一箱中任取10件進行檢驗，只要發現次品就判定該箱產品不合格并作退貨處理，如果退貨率超過2%，則該廠將被取消供貨資格。目前該廠出廠活塞銷的次品率為0.4%。該廠產品遭退貨的概率有多大？該廠產品的質量是否有待進一步提高？為滿足主機廠的供貨質量要求，該廠出廠產品的次品率至少應降低到什么水平？案例124【例4】古典概型概率的計算在100件產品中有5件是次品，從中任取10件，求以下事件的概率：(1)A={全為正品}，(2)B={恰有1件次品}，(3)C={至少有3件次品}，(4)D={至少有1件次品}。26(1)取到的10件正品只能從95件正品中抽取，共有解：將每一種可能的取法作為一個基本事件(2)1件次品是從5件次品中抽得的，另9件是從95件正品中抽取的，共有

種不同取法；樣本空間總數為，故P(A)==0.5838種不同取法，故P(B)=

=0.339427古典概型概率的計算(3)∵{至少有3件次品}={恰有3件次品}∪{恰有4件次品}∪{恰有5件次品}，且以上等式右邊三個事件是互斥的，故

=0.0066(4)顯然，D=，故

P(D)=P()=1-P(A)=1-0.5838=0.416228該廠產品的次品率至少應控制在什么水平之下？通過計算，要保持該主機廠供貨商的資格，該廠出廠產品的次品率至少應降低到0.2%以下（每箱中平均只有1件次品，499件正品），才能滿足主機廠的質量檢驗要求。

P{次品數1}=1-P{0個次品}==0.0230某地區死亡人口統計資料表明，該地區人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區現年60歲的人能活到80歲的概率是多少？案例2311．定義設A、B是兩個事件，且P(A)>0，稱在A已發生的條件下B發生的概率為B對A的條件概率，記為P(B|A)?！纠?】產品抽樣檢驗問題已知10件產品中有3件是次品，從中先后抽取2件，作不放回抽樣，求第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。解：設A={第一次取到的是次品}，B={第二次取到的是次品}，當A發生后，還剩下9件產品，其中有2件次品，故P(B|A)=2/9二.條件概率322.概率的乘法公式設A、B為兩個事件，且P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)(*)由概率的乘法公式，可得求條件概率的如下公式：(*)33【例6】在例5所給問題中，求抽到的二件都是次品的概率。解：由題意，即要求P(AB)，P(AB)=P(A)P(B|A)=3/10×2/9=1/1534某地區死亡人口統計資料表明，該地區人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區現年60歲的人能活到80歲的概率是多少？解：設A={壽命60},B={壽命80}，求P(B|A)。BA，∴P(AB)=P(B)ABP(AB)=P(B)P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.2/0.8=0.25案例2解答35統計資料表明，某地癌癥發病率為千分之五，現該地區正進行癌癥普查。普查試驗的結果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗反應為陽性的概率是0.95，健康人試驗反應呈陽性的概率是0.04。問：(1)當某人試驗反應為陽性時他確患癌癥的概率；(2)試驗反應為陰性者患癌癥的概率。案例3363．全概率公式若A1,A2,A3,…,An為樣本空間S的一個完備事件組，即滿足條件：(1)A1∪A2∪A3∪…∪An=S(2)AiAj=φ，i≠j；i,j=1,2,3,…,n(3)P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n

A2A1A2A3A5A6A4AnB則對任一事件B，都有(*)374．貝葉斯(Bayes)公式若A1,A2,A3,…,An為樣本空間S的一個完備事件組，則對任一事件B,(P(B)>0),有i=1,2,…,n(*)

貝葉斯公式在風險型決策中有非常重要的應用，詳見本章最后的案例。38【例7】貝葉斯公式的簡單應用某產品由甲、乙、丙三個班組生產，甲、乙、丙班的產量分別占全部產量的50%、30%和20%；次品率分別為2%、3%和1%。現任取1件進行檢驗，求：(1)抽到的是甲班生產，且是次品的概率；(2)抽到次品的概率；(3)若抽到的是次品，求該次品是丙班生產的概率。39解：記A1，A2，A3，分別為抽到的產品是甲班、乙班、丙班生產的，B={抽到的是次品}。(1)由概率的乘法公式，

P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.50×0.02=0.01(2)由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.5╳0.02+0.3╳0.03+0.2╳0.01=0.021(3)由Bayes公式40Bayes公式更主要的應用是風險型決策分析。在通過試驗能獲取追加信息的條件下，修正所研究問題的概率分布，達到降低風險，獲得更大效益的目的。在Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意義，其中：P(Ai)——稱為事件Ai的先驗概率，由過去的統計資料或根據經驗估計得到；B——為某一試驗可能出現的結果之一；P(B|Ai)——已知的條件概率，由該類試驗的統計資料獲得，反映了試驗的精度(所提供追加信息量的大小)。P(Ai|B)——稱為后驗概率，即當試驗出現結果B時，對Ai概率分布的修正。關于Bayes公式41統計資料表明，某地癌癥發病率為千分之五，現該地區正進行癌癥普查。普查試驗的結果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗反應為陽性的概率是0.95，健康人試驗反應呈陽性的概率是0.04。問：(1)當某人試驗反應為陽性時他確患癌癥的概率；(2)試驗反應為陰性者患癌癥的概率。案例3解答42記：A1={癌癥患者}，A2={健康人}，

B1={反應陽性}，B2={反應陰性}由題意可知，P(A1)=0.005，P(A2)=0.995，P(B1|A1)=0.95，P(B2|A1)=0.05，P(B1|A2)=0.04，P(B2|A2)=0.96，由全概率公式：P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=0.005×0.95+0.995×0.004=0.04455

P(B2)=1-P(B1)=1-0.04455=0.95545。由Bayes公式可得即普查試驗反應為陽性者確患癌癥的概率是10.66%，而反應為陰性者患癌癥的概率為萬分之2.6。43若事件A發生的概率不受B是否發生的影響，反之亦然，則稱事件A與B相互獨立。即

P(B|A)=P(B)(*)

P(A|B)=P(A)由P(AB)=P(A)P(B|A)，可得A、B獨立等價于

P(AB)=P(A)P(B)

(*)三.事件的獨立性44【例8】不同抽樣方法的差異已知10件產品中有二件次品，分別采用放回抽樣和不放回抽樣方法，從中任取二件，求抽到的都是次品的概率。解：記A={第一次抽到的是次品},B={第二次抽到的是次品}。(1)采用放回抽樣，A、B獨立，則P(AB)=P(A)P(B)=2/10×2/10=0.04(2)不放回抽樣,A、B不獨立，則P(AB)=P(A)P(B|A)=2/10×1/9=0.02245課堂練習3用甲,乙兩種防空導彈同時向一架入侵的敵機射擊。已知甲導彈的命中率為0.6，乙導彈的命中率為0.7，求敵機被擊中的概率。46一．隨機變量任何隨機試驗的試驗結果，都可以定量化并用隨機變量表示。例如，在燈泡壽命試驗中，令X為“燈泡壽命”(小時)，則X為一隨機變量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的隨機事件?！?.3隨機變量及其分布函數471．分布函數

設X是一隨機變量，x是任意實數，稱函數

F(x)=P{X≤x}(*)為X的分布函數。顯然，對任意實數x1<x2，有P{x１<Ｘ≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)(*)2．分布函數的性質(1)0≤F(x)≤1；x∈(－∞,＋∞)(2)對任意x1<x2，F(x1)≤F(x2)(3)

48一．離散型隨機變量的概率分布1．離散型隨機變量的概率分布設離散型隨機變量X的所有可能取值為xk，記P{X=xk}=Pk，k=1,2,…稱上式為X的概率分布或分布律，簡稱分布。2．概率分布的性質(1)0≤Pk≤1；k=1,2,…(2)Pk=1(3)§4.4離散型隨機變量49將E獨立地重復進行n次，令X為“事件A發生的次數”，則若試驗E僅有兩個可能結果A和,記P(A)=p，P()=1-p=q，(0<P<1)q=1-P，k=0,1,2,…,n稱X服從二項分布(Binomialdistribution)，記為X～B(n,p)由于上式中的第k項恰好是二項式(p+q)n展開式中的第k項，故稱之為二項分布。二.二項分布50【例9】設某臺設備所加工產品的次品率為0.02，求90件產品中次品數≥2的概率。解：將加工90件產品視為90重貝努利試驗，令X為次品數，由題意，p=0.02，q=0.98,則P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}51可用Excel的BINOMDIST函數求解二項分布問題BINOMDIST函數的語法規則：格式：BINOMDIST(k,n,p,邏輯值)功能：當第4個參數的邏輯值為1時，返回二項分布的累積概率P{X≤k}的值；當邏輯值為0時，返回二項分布的概率P{X=k}的值。52某加工零件的機加工車間有30臺相同型號的機床，每臺機床運行時的電耗為2千瓦。由于裝拆零件等輔助時間的原因，每臺機床在工作日中平均有30%的時間處于停止運行狀態下。該車間現由一臺功率為40千瓦的變壓器供電。根據供電負荷規范要求，該車間在工作日中用電量超過供電負荷的概率不能大于10%。試借助Excel進行分析：(1)現有的變壓器能否滿足要求？(2)該車間至少應配置多大功率的變壓器才能滿足需要？案例4車間用電負荷問題53設X為該車間在工作日中任一時刻正在運行的機床數，由于各機床的運行與否是獨立的，故X～B(n，p)，其中n=30，p=1-0.3=0.7該車間現配置的變壓器供電量能滿足同時運行的機床數為：40/2=20臺，使用Excel

的BINOMDIST函數，可求得：P{X≤20}=0.41<0.9故現有的變壓器不能滿足要求。同時可得P{X≤23}=0.84<0.9,P{X≤24}=0.92>0.924臺×2千瓦/臺=48千瓦故該車間應配置至少48千瓦的變壓器才能滿足要求。案例4分析54一．連續型隨機變量的概率密度1．定義對連續型隨機變量X，如果存在非負可積函數?(x)，使得對任意實數x，有則稱?(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度?！?.5連續型隨機變量552．概率密度的性質(4)若?(x)在點x處連續,則：由(3)式可知，X的分布函數F(x)的值，以及X落在區間(x1，x2]上的概率，就是相應區間上概率密度曲線下的面積，見下圖所示。56分布函數和密度函數的關系f(x)xx0(*)f(x)xb0a571．指數分布若隨機變量X的概率密度為其中λ>0為常數，則稱X服從參數為λ的指數分布（Exponentialdistribution）。不難求得指數分布的分布函數為：二．幾種重要的連續型分布58指數分布的應用通常產品的無故障工作時間服從指數分布，其參數就是失效率，1/則是平均無故障工作時間?！纠?0】設某品牌彩電無故障工作時間服從λ=1/2000的指數分布。求該種彩電無故障工作時間不少于1000小時的概率。解：設X為該彩電的無故障工作時間，則P{X≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)=1-(1-e-1000/2000)=e-0.5=0.606559可用Excel的EXPONDIST函數求解指數分布問題EXPONDIST函數的語法規則：格式：EXPONDIST(x,λ,邏輯值)功能：當邏輯值為1時，返回指數分布的分布函數P{X≤x}的值；當邏輯值為0時，返回指數分布的密度函數值。60設隨機變量X的概率密度為其中、為常數，且>0，則稱X服從參數為,的正態分布(Normaldistribution)，記為X～N(,2)。正態分布密度函數的圖形見下圖所示。2．正態分布61正態分布密度函數的圖形xf(x)0=0.5=1=20f(x)x12動態演示62(1)正態分布密度函數的性質①?(x)在x=μ處達到最大值，x離μ越遠，f(x)的值越小，且以x軸為漸近線；②曲線關于x=μ對稱；③越小，曲線越陡峭，反映了X取值的離散程度；④對相同的，改變μ值相當于曲線的平移。63(2)標準正態分布稱=0，=1的正態分布為標準正態分布，記為Z～N(0,1)，其密度函數和分布函數分別記為φ(x)

和(x)。(3)正態分布表的使用正態分布表給出的是標準正態分布的分布函數的值(x)

。查正態分布表時常要用到以下關系(*)①P{Z≤a}=(a)

②P{Z>a}=1-(a)

③P{a<Z≤b}=(b)-(a)

④(-a)=1-(a)

0a-aφ(x)(-a)1-(a)x64【例11】設X～N(0,1)，求①P{X≤1.89}，

②P{X>-2.13}，③P{-0.97<X≤2.35}解：查表可得：①P{X≤1.89}=(1.89)=0.9706②P{X>-2.13}=1-(-2.13)=(2.13)=0.9834③P{-0.97<X≤2.35}=(2.35)-(-0.97)=(2.35)-(1-(0.97))=0.9906-1+0.8340=0.824665

設某廠生產的某種電子產品的壽命服從μ=8年，=2年的正態分布，問(1)該產品壽命小于5年的概率是多少？(2)壽命大于10年的概率是多少？(3)廠方要對外承諾，若該產品在保用期內失效可免費更換，廠方希望將產品的免費更換率控制在1%以內，問保用年限最長可定為幾年？案例5保用年限應定為幾年？66(5)非標準正態分布的標準化變換設X～N(,2)，則

～N(0,1)(*)上式就稱為正態分布的標準化變換。67(6)非標準正態分布的查表設X～N(,2)，則計算時可運用以下關系(*)：68設某廠生產的某種電子產品的壽命服從μ=8年，=2年的正態分布，問(1)該產品壽命小于5年的概率是多少？(2)壽命大于10年的概率是多少？(3)廠方要對外承諾，若該產品在保用期內失效可免費更換，廠方希望將產品的免費更換率控制在1%以內，問保用年限最長可定為幾年？案例5解答69設X為該產品的使用壽命，則X～N(8,22)(3)設保用年限最長可定為n年，則由題意查表得：(8-n)/22.33，得n

3.34，取n=3，故保用年限最長可定為3年。70可用Excel的NORMDIST函數求解正態分布問題NORMDIST函數的語法規則：格式：NORMDIST(x,μ,σ,邏輯值)功能：當邏輯值為1時，返回正態分布的分布函數P{X≤x}的值；當邏輯值為0時，返回其密度函數值。71【例12】設X～N(,2),求：(1)P{-<X<+}，(2)P{-2<X<+2}，(3)P{-3<X<+3}解：P{-<X<+}=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826同理可得：P{-2<X<+2}=2(2)-1=0.9544P{-3<X<+3}=2(3)-1=0.9974μ-3μ+30.9974X落在(-3,+3)內的概率為99.74%，落在該區間外的概率僅為0.26%，幾乎是不可能事件。正態分布的這一性質稱為“3法則”，在質量管理中常運用這一法則判斷生產過程是否出現異常。3法則72課堂練習4某臺加工缸套外徑的機床，當將尺寸定位在μ時，所加工的缸套外徑尺寸X~N(μ,σ2)，其中σ=0.01(mm)，缸套外徑的允許公差為0.02(mm)，求(1)該機床加工缸套的合格率；(2)當σ=0.007時，所加工缸套的合格率又為多少?由本題的計算結果，可知正態分布中的參數σ反映了該機床的什么指標?73(7)正態分布的性質且X與Y獨立，則①若，，②設,且相互獨立，i=1,2,…,n，則74一．數學期望1．離散型隨機變量的數學期設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=Pk，k=1,2,…，稱級數為X的數學期望，簡稱均值。由定義可知，離散型隨機變量的數學期望，就是以概率Pk為權數，對X的所有可能取值的加權平均值，故期望也稱為均值?！?.6數學期望和方差752．連續型隨機變量的數學期望連續型隨機變量的數學期望為：若X～N(μ,σ2)，則E(X)=μ3．數學期望的性質設c，k，b為常數，X，Y為隨機變量(1)E(C)=C；(2)E(kX)=kE(X)；(3)E(kX＋b)=kE(X)+b；(4)E(X±Y)=E(X)±E(Y)；(5)若X，Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)76方差是反映隨機變量取值離散程度的數字特征。1．定義對隨機變量X，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱它為X的方差，記為D(X)或Var(X),即

D(X)=E{[X–E(X)]2}并稱為X的標準差。標準差與X具有相同的量綱。二.方差77設c，k，b為常數，X，Y為隨機變量(1)D(c)=0；(2)D(kX)=k2D(X)；D(kX＋b)=k2D(X)(3)若X、Y獨立，則：D(X±Y)=D(X)＋D(Y)2．方差的性質78設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立，且具有有限的數學期望和方差，若每個Xi對總和Xi的影響不大，則隨機變量

Y=Xi就近似服從正態分布分布。在自然界和社會經濟領域中，大量的隨機現象都是由許多獨立的隨機因素的共同影響所造成的。中心極限定理說明了大量隨機現象都服從或近似服從正態分布的原因。這也是在統計學中通常都假定總體服從正態分布的理論依據。中心極限定理的驗證§4.7大數定律和中心極限定理79光大電器公司開發了一種新型洗衣機，生產該洗衣機的經濟規模為100萬臺/年，需要投入的生產線設備、模具、工裝等固定投資費用為2000萬元，項目的建設期為一年，固定投資費用在建設期初一次投入。產品投產時還需投入生產流動資金1000萬元。由于洗衣機產品的技術進步較快，估計該產品的市場壽命期為5年，5年末固定資產殘值為固定投資額的20%，流動資金可在壽命期末全部收回。由于洗衣機的市場競爭非常激烈，該新型洗衣機投入生產后的經濟效益具有很大的不確定性。為了提高產品投資決策的科學性，該公司在決定是否投資生產該新型洗衣機之前，進行了一些市場調查預測和項目的經濟可行性研究。項目投資決策實例80市場調查和預測分析估計，產品上市后銷售量將達到生產能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷）的可能性分別為40%、30%、30%。另經財務部門所作的財務預測分析，在產品出現”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項目投產后的年凈現金流量將分別為100萬元、600萬元和1000萬元。考慮到籌資成本和資金的機會成本，貼現率應取6%。81為使對該新產品項目的投資決策更具科學性，總經理召開了有銷售、生產、財務、技術等部門負責人參加的會議。會上銷售部經理建議，為減小決策風險，應在決定是否投資生產前先利用原有設備進行少量試生產（100臺），并將試生產的洗衣機免費贈送給不同地區的一些用戶進行為期3個月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經理還設計了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度、外觀、可靠性五大類共25個指標，每項指標都由用戶按1～5分打分，加權平均后的滿分為100分。根據用戶試用后反饋結果的總平均分，可將用戶對該洗衣機的評價分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結果。銷售部經理的建議82銷售部經理認為，為減少決策風險，應根據對用戶試用反饋情況進行分析后再作是否投資生產該洗衣機的決定。銷售部經理還提供了過去許多企業在產品正式投產之前采用類似試用或試銷方法的用戶反饋結果與產品正式生產上市后銷售狀況之間的統計數據，見表1表1.銷售狀況與試用結果間的統計資料83總經理指示財務部經理對銷售部經理所提方案的費用進行估算。在下一次的會議上，財務部經理給出了試生產、分發用戶試用及收集用戶反饋信息等項工作的總費用估算結果，估計需要100萬元。會上有人提出是否值得花100萬元進行試生產并免費贈送用戶試用，并展開了激烈的爭論?？偨浝硐Ｍ軐Ω鞣N可行方案的風險及經濟效益進行科學的分析與評價。如何進行科學決策？841.投產后各種銷售狀況下的項目凈現值

記PWj(i),j=1,2,3分別為滯銷,一般和暢銷時的項目凈現值。PW1(6)=-2000-1000×1.06-1+100×1.06-2+100×1.06-3+100×1.06-4+100×1.06-5+1500×1.06-6=-1559PW2(6)=-2000-1000×1.06-1+600×1.06-2+600×1.06-3+600×1.06-4+600×1.06-5+2000×1.06-6=428同理可得PW3(6)=20180123456200010001001001001001500滯銷時的項目現金流量圖案例分析85記X為該產品的未來銷售狀況，X1、X2、X3分別代表滯銷、一般和暢銷。并記V1(X),V2(X)分別為投產和不投產兩種決策方案的項目凈現值，則E[V1(X)]=0.3×(-1559)+0.3×428+0.4×2018=468E[V2(X)]=0故最優決策是投產，投產該產品6年中可為企業帶來468萬元的期望凈收益(按凈現值計)。但該產品投產后有30%的可能性會滯銷。一旦滯銷將使企業在6年中總計虧損1559萬元(凈現值)。投產該產品存在極大的風險。2.不考慮試生產方案86記Y1,Y