學習目標3.能運用垂徑定理解決有關圓的簡單實際問題.

1.了解圓是軸對稱圖形，進一步認識圓.2.理解垂直于弦的直徑的性質，并能應用它解決一些簡單的計算、證明問題.

新知導入下面我們一起來欣賞最美的平面圖形——圓.知識探究

實踐探究請同學們拿出準備的圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你有什么發現？圓的軸對稱性知識點1知識點1猜想：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.知識探究已知：如圖，在?o中，直線CD是過圓心的一條直線，交?o于點C、D.求證：?o是關于直線CD的軸對稱圖形.猜想：

圓是軸對稱圖形，任何一條過圓心的直線都是圓的對稱軸.·OABDEC證明：∵?o上的C、D兩點在直線CD上，∴C、D關于直線CD的對稱點分別是C、D本身.設A為圓上除點C、D以外的任意一點，過點A作AB⊥CD于E，交?o于點B.

連結OA、OB

∵OA＝OB∴AE=BE∴點B是點A關于直線CD的對稱點.∴對于圓上任意一點，在圓上都有關于直線CD的對稱點.

即?o關于直線CD對稱.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.知識探究實踐探究：如圖，過圓心作一條直徑CD垂直弦AB于點E，從上面的證明知道，點A關于直徑CD所在直線的對稱點是點B.即直徑CD平分弦AB，并且平分AB，ACB

∴線段:AE=BE

弧:AC=BC,AD=BD

把圓沿著直徑CD折疊時，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC重合，AD與BD重合．·OABDEC垂徑定理知識點2垂徑定理：·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵CD是直徑，

CD⊥AB∴AE=BE,AC

=BC,AD=BD.用幾何語言來表述這個定理：想一想：下列圖形能否根據垂徑定理得到點E是線段AB的中點？如果不能，請說明理由.火眼金睛歸納：使用垂徑定理的條件：一過（過圓心）；二垂直（過圓心的線垂直于弦）不是，CD沒有垂直AB不是，CD沒過圓心不是，AB不是弦是是是是是學以致用例1

如圖，在?o中，AB是弦.(1)若AB=16cm，OE⊥AB于E，則AE=

cm.

(2)在（1）題的基礎上，若OE=6cm，則?o的半徑為

cm，延長OE交?o于點F，則EF=

cm.(3)若OE⊥AB于E，OE=6cm，?o的半徑為10cm，則AB=

cm.·OABE垂徑定理的計算810164學以致用例2如圖，在半徑為10的?O中,弦AB∥CD,AB=16,CD=12,求AB與CD之間的距離..CDABO垂徑定理的計算學以致用例2如圖，在半徑為10的?o中,弦AB∥CD，AB=16，CD=12，求AB與CD之間的距離.垂徑定理的計算解：作OE⊥AB,垂足為點E，延長OE

交CD于點F，連接OA，OC.∵AB=16,

∴∵OA=10∴在RtΔAOE中，

∵AB∥CD,OM⊥AB∴OF⊥CD同理可得，OF=8∴AB與CD之間的距離：EF=8-6=2.

學以致用變式：在半徑為10的?O中,AB∥CD,AB=16,CD=12,

則AB與CD之間的距離為

.垂徑定理的計算第一種情況：兩條弦在圓心O同側：第二種情況：兩條弦在圓心O異側：AB與CD之間的距離為2AB與CD之間的距離為142或14例3如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形．又∵AC=AB∴AE

=AD∴

四邊形ADOE為正方形.證明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC∴∠AEO=∠ADO=∠A=90°∴四邊形ADOE為矩形.∵OE⊥AC，OD⊥AB∴學以致用垂徑定理的證明學以致用例4

如圖，古橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為20m,拱高(弧的中點到弦的距離)為5m，你能求古橋橋拱的半徑嗎？垂徑定理的實際應用解：如圖，用弧AB表示橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.

作半徑OC⊥AB，垂足為D，∴AD=AB

由題意知AB=20，CD=5.解得R=12.5（m）.即主橋拱半徑約為12.5m.在