專題七第3講統計與統計案例(理)(教師)專題七第3講統計與統計案例(理)(教師)專題七第3講統計與統計案例(理)(教師)資料僅供參考文件編號：2022年4月專題七第3講統計與統計案例(理)(教師)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發布日期：專題七概率與統計（理）概率與統計應以隨機變量及其分布列為中心，求解時應抓住建模、解模、用模這三個基本點．排列組合是求解概率的工具，利用排列組合解題時應抓住特殊元素或特殊位置，注意元素是否相鄰及元素是否定序，同時還應注意題中是否還涉及兩個計數原理．隨機變量的均值和方差是概率初步的關鍵點，解決概率應用問題時，首先要熟悉幾種常見的概率類型，熟練掌握其計算公式；其次還要弄清問題所涉及的事件具有什么特點、事件之間有什么聯系；再次要明確隨機變量所取的值，同時要正確求出所對應的概率．統計的主要內容是隨機抽樣、樣本估計總體、變量的相關性，復習時應關注直方圖、莖葉圖與概率的結合，同時注意直方圖與莖葉圖的數據特點．第3講統計與統計案例考情解讀1.該部分常考內容：樣本數字特征的計算、各種統計圖表、線性回歸方程、獨立性檢驗等；有時也會在知識交匯點處命題，如概率與統計交匯等.2.從考查形式上來看，大部分為選擇題、填空題，重在考查基礎知識、基本技能，有時在知識交匯點處命題，也會出現解答題，都屬于中、低檔題．1．明確直方圖的三個結論(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．(2)各小長方形的面積之和等于1.(3)小長方形的高＝eq\f(頻率,組距)，所有小長方形高的和為eq\f(1,組距).2．把握統計中的四個數據特征(1)眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據．(2)中位數：樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數．(3)平均數：樣本數據的算術平均數，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(4)方差與標準差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．標準差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).熱點一抽樣方法AUTONUM．(1)(2013·陜西)某單位有840名職工，現采用系統抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入區間[481,720]的人數為()A．11B．12C．13D．14(2)(2014·石家莊高三調研)某學校共有師生3200人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，已知從學生中抽取的人數為150，那么該學校的教師人數是________．思維啟迪(1)系統抽樣時需要抽取幾個個體，樣本就分成幾組，且抽取號碼的間隔相同；(2)分層抽樣最重要的是各層的比例．答案(1)B(2)200解析(1)由eq\f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取編號落入區間[481,720]的人數為eq\f(720－480,20)＝eq\f(240,20)＝12.(2)本題屬于分層抽樣，設該學校的教師人數為x，所以eq\f(160,3200)＝eq\f(160－150,x)，所以x＝200.思維升華(1)隨機抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的；(2)系統抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例．AUTONUM．(1)某校高一、高二、高三分別有學生人數為495,493,482，現采用系統抽樣方法，抽取49人做問卷調查，將高一、高二、高三學生依次隨機按1,2,3，…，1470編號，若第1組有簡單隨機抽樣方法抽取的號碼為23，則高二應抽取的學生人數為()A．15B．16C．17D．18(2)(2014·廣東)已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10答案(1)C(2)A解析(1)由系統抽樣方法，知按編號依次每30個編號作為一組，共分49組，高二學生的編號為496到988，在第17組到第33組內，第17組抽取的編號為16×30＋23＝503，為高二學生，第33組抽取的編號為32×30＋23＝983，為高二學生，故共抽取高二學生人數為33－16＝17，故選C.(2)該地區中、小學生總人數為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數為2000×2%×50%＝20，故選A.熱點二用樣本估計總體AUTONUM．(1)(2014·山東)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為()A．6B．8C．12D．18(2)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，如圖是根據某地某日早7點至晚8點甲、乙兩個PM2.5監測點統計的數據(單位：毫克/每立方米)列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是()A．甲 B．乙C．甲乙相等 D．無法確定甲乙20.041236930.0596210.06293310.079640.08770.09246思維啟迪(1)根據第一組與第二組的人數和對應頻率估計樣本總數，然后利用第三組的頻率和無療效人數計算；(2)直接根據公式計算方差．答案(1)C(2)A解析(1)志愿者的總人數為eq\f(20,0.16＋0.24×1)＝50，所以第三組人數為50×0.36＝18，有療效的人數為18－6＝12.(2)eq\x\to(x甲)＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.0689，eq\x\to(x乙)＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.0675，s2＝eq\f(1,12)[(0.042－0.0689)2＋(0.053－0.0689)2＋…＋(0.097－0.0689)2]≈0.000212.s2＝eq\f(1,12)[(0.041－0.0675)2＋(0.042－0.0675)2＋…＋(0.096－0.0675)2]≈0.000429.所以甲、乙兩地濃度的方差較小的是甲地．思維升華(1)反映樣本數據分布的主要方式：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖．關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率，其高低能夠描述頻率的大小，高考中常常考查頻率分布直方圖的基本知識，同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數，具體問題中要能夠根據公式求解數據的均值、眾數和中位數、方差等．(2)由樣本數據估計總體時，樣本方差越小，數據越穩定，波動越小．AUTONUM．(1)某商場在慶元宵促銷活動中，對元宵節9時至14時的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為________萬元．(2)(2014·陜西)設樣本數據x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a答案(1)10(2)A解析(1)由頻率分布直方圖可知：eq\f(0.10,0.40)＝eq\f(2.5,x)，所以x＝10.(2)eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變仍為4.故選A.熱點三統計案例AUTONUM．(1)以下是某年2月某地區搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據.房屋面積x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222根據上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝0.1962，則面積為150m2的房屋的銷售價格約為________萬元．(2)(2014·江西)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是()表1成績性別不及格及格總計男61420女102232總計163652表2視力性別好差總計男41620女122032總計163652表3智商性別偏高正常總計男81220女82432總計163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計男14620女23032總計163652A.成績B．視力C．智商D．閱讀量思維啟迪(1)回歸直線過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；(2)根據列聯表，計算K2的值答案(1)31.2442(2)D解析(1)由表格可知eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(115＋110＋80＋135＋105)＝109，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝23.2－0.1962×109＝1.8142.所以所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962x＋1.8142.故當x＝150時，銷售價格的估計值為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(萬元)．(2)A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴與性別有關聯的可能性最大的變量是閱讀量．思維升華(1)線性回歸方程求解的關鍵在于準確求出樣本點中心．回歸系數的求解可直接把相應數據代入公式中求解，回歸常數的確定則需要利用中心點在回歸直線上建立方程求解；(2)獨立性檢驗問題，要確定2×2列聯表中的對應數據，然后代入K2(χ2)計算公式求其值，根據K2(χ2)取值范圍求解即可．AUTONUM．(1)已知x、y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))等于()A．1.30B．1.45C．1.65D．1.80(2)某研究機構為了研究人的腳的大小與身高之間的關系，隨機抽測了20人，若“身高大于175厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”，“腳長大于42碼”的為“大腳”，“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”．得以下2×2列聯表：高個非高個總計大腳527非大腳11213總計61420則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系．(附：P(K2>k)0.050.010.001k3.8416.63510.828)答案(1)B(2)0.01解析(1)依題意得，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即點(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，由此解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.45.(2)由題意得K2＝eq\f(20×5×12－1×22,6×14×7×13)≈8.802>6.635.而K2>6.635的概率約為0.01，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系．1．隨機抽樣的方法有三種，其中簡單隨機抽樣適用于總體中的個體數量不多的情況，當總體中的個體數量明顯較多時要使用系統抽樣，當總體中的個體具有明顯的層次時使用分層抽樣．系統抽樣最重要的特征是“等距”，分層抽樣，最重要的是各層的“比例”．2．用樣本估計總體(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1.(2)眾數、中位數及平均數的異同：眾數、中位數及平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，平均數是最重要的量．(3)當總體的個體數較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規律而得到總體分布；當總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布．①總體期望的估計，計算樣本平均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi.②總體方差(標準差)的估計：方差＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2，標準差＝eq\r(方差)，方差(標準差)較小者較穩定．3．線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，這為求線性回歸方程帶來很多方便．4．獨立性檢驗(1)作出2×2列聯表．(2)計算隨機變量K2(χ2)的值．(3)查臨界值，檢驗作答．真題感悟AUTONUM．(2014·江蘇)為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數據均在區間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.答案24解析底部周長在[80,90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90,100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數為(0.15＋0.25)×60＝24.AUTONUM．某地區對某路段公路上行駛的汽車速度實施監控，從中抽取50輛汽車進行測速分析，得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，根據該圖，時速在70km/h以下的汽車有________輛．答案20解析時速在70km/h以下的汽車所占的頻率為0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20(輛)．AUTONUM．某教育出版社在高三期末考試結束后，從某市參與考試的考生中選取600名學生對在此期間購買教輔資料的情況進行調研，得到如下數據：購買圖書情況只買試題類只買講解類試題類和講解類都買人數240200160若該教育出版社計劃用分層抽樣的方法從這600人中隨機抽取60人進行座談，則只買試題類的學生應抽取的人數為________．答案24解析只買試題類的學生應抽取的人數為60×eq\f(240,600)＝24.AUTONUM．(2012·山東高考)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區間[1,450]的人做問卷A，編號落入區間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為()A．7 B．9C．10 D．15[思路點撥]由系統抽樣的概念可以求解．[解析]由系統抽樣的特點知：抽取號碼的間隔為eq\f(960,32)＝30，抽取的號碼依次為9,39,69，…，939.落入區間[451,750]的有459,489，…，729，這些數構成首項為459，公差為30的等差數列，設有n項，顯然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做問卷B的有10人．[答案]CAUTONUM．某校共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表，已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19，現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生數為()一年級二年級三年級女生373xy男生377370zA.24 B．18C．16 D．12解析：選C依題意可知，二年級女生有380人，則三年級的學生的人數應是500，即總體中各個年級的人數比例為3∶3∶2，故在分層抽樣中應在三年級抽取到的學生人數為64×eq\f(2,8)＝16.[配套課時作業]A組12．(2012·濟南模擬)某全日制大學共有學生5600人，其中專科生有1300人，本科生有3000人，研究生1300人，現采用分層抽樣的方法調查學生利用因特網查找學習資料的情況，抽取的樣本為280人，則應在專科生，本科生與研究生這三類學生中分別抽取()A．65人，150人，65人 B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人 D．80人，120人，80人解析：選A設應在專科生，本科生與研究生這三類學生中分別抽取x人，y人，z人，則eq\f(5600,280)＝eq\f(1300,x)＝eq\f(3000,y)＝eq\f(1300,z)，所以x＝z＝65，y＝150.所以應在專科生，本科生與研究生這三類學生中分別抽取65人，150人，65人．13．(2012·陜西高考)對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數、眾數、極差分別是()A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,53解析：選A從莖葉圖中可以看出樣本數據的中位數為中間兩個數的平均數，即eq\f(45＋47,2)＝46，眾數為45，極差為68－12＝56.14．(2012·廣州調研)設隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實數a的值為()A．4 B．6C．8 D．10解析：選A由正態分布的性質可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4.15．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為 ()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2解析：選D由題可知樣本的平均值為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.16．高三(1)班共有56人，學號依次為1,2,3，…，56，現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本．已知學號為6,34,48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為________．解析：由題意可知，可將學號依次為1,2,3，…，56的56名同學分成4組，每組14人，抽取的樣本中，若將他們的學號按從小到大的順序排列，彼此之間會相差14.故還有一個同學的學號應為6＋14＝20.答案：2017．(2012·濟南模擬)隨機變量ξ服從正態分布N(40，σ2)，若P(ξ<30)＝0.2，則P(30<ξ<50)＝________.解析：根據正態分布曲線的對稱性可得P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.答案：0.618．(2012·江南十校聯考)“低碳經濟”是促進社會可持續發展的推進器．某企業現有100萬元資金可用于投資，如果投資“傳統型”經濟項目，一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,5)，eq\f(1,5)；如果投資“低碳型”經濟項目，一年后可能獲利30%，也可能損失20%，這兩種情況發生的概率分別為a和b(其中a＋b＝1)．(1)如果把100萬元投資“傳統型”經濟項目，用ξ表示投資收益(投資收益＝回收資金－投資資金)，求ξ的概率分布及均值(數學期望)E(ξ)；(2)如果把100萬元投資“低碳型”經濟項目，預測其投資收益均值會不低于投資“傳統型”經濟項目的投資收益均值，求a的取值范圍．解：(1)依題意，ξ的可能取值為20,0，－10，則ξ的分布列為ξ200－10Peq\f(3,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)故ξ的均值E(ξ)＝20×eq\f(3,5)＋0×eq\f(1,5)＋(－10)×eq\f(1,5)＝10(萬元)．(2)設η表示100萬元投資“低碳型”經濟項目的收益，則η的分布列為η30－20Pab依題意，需30a－20b≥10，又a＋b＝1，則50所以eq\f(3,5)≤a≤1.19.(2012·鄭州質檢)為加強中學生實踐、創新能力和團隊精神的培養，促進教育教學改革，鄭州市教育局舉辦了全市中學生創新知識競賽．某校舉行選拔賽，共有200名學生參加，為了解成績情況，從中抽取50名學生的成績(得分均為整數，滿分為100分)進行統計．請你根據尚未完成的頻率分布表，解答下列問題：分組頻數頻率一60.5～70.5a0.26二70.5～80.515c三80.5～90.5180.36四90.5～100.5bd合計50e(1)若用系統抽樣的方法抽取50個樣本，現將所有學生隨機地編號為000,001,002，…，199，試寫出第二組第一位學生的編號；(2)求出a，b，c，d，e的值(直接寫出結果)，并作出頻率分布直方圖；(3)若成績在85.5～95.5分的學生為二等獎，問參賽學生中獲得二等獎的學生約為多少人．解：(1)依題意可知第二組第一位學生的編號為004.(2)a，b，c，d，e的值分別為13,4,0.30,0.08,1.頻率分布直方圖如下：(3)被抽到的學生中獲二等獎的人數約為9＋2＝11，占樣本的比例是eq\f(11,50)＝0.22，即獲二等獎的概率為22%，所以參賽學生中獲二等獎的人數估計為200×22%＝44.答：參賽學生中獲得二等獎的學生大約有44人．20.(2014·湖南)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案D解析由于三種抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.21.某中學高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280人，現從中抽取一個容量為200人的樣本，則高中二年級被抽取的人數為()A．28 B．32C．40