專題4.2.1一次函數與正比例（知識解讀）【當打目標】.經歷一次函數概念的抽象過程，體會模型思想；.理解正比例函數和一次函數的概念，能根據所給條件寫出正比例函數和簡單的一次函數表達式；.通過學生從實際生活中發現變量間的特定的關系來掌握運動變化的本質，感受數學就在身邊，體驗生活中處處有數學，促進學生樂于親近數學，喜歡數學。【知積支梳理】考點1一次函數的定義如果y=kx+b（k,b是常數，k#0）的函數，叫做一次函數，k叫比例系數。注意：當b=0時，一次函數丫=1?+6變為y=kx,正比例函數是一種特殊的一次函數。考點2正比例函數的定義一般地，形如y=kx（kWO）函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.考點3待定系數法求一次函數解析式一次函數曠=履+人（k.。是常數，女W0）中有兩個待定系數k,b.需要兩個獨立條件確定兩個關于"，b的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對x,y的值.注意：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知數的系數，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數法.由于一次函數y=履+〃中有左和b兩個待定系數，所以用待定系數法時需要根據兩個條件列二元一次方程組（以攵和b為未知數），解方程組后就能具體寫出一次函數的解析式.考點4待定系數法求正比例函數解析式由于正比例函數丁=6（女為常數，攵#0）中只有一個待定系數左,故只要有一對X,y的值或一個非原點的點，就可以求得左值.考點5一次函數與一元一次方程直線y=kx+b（后0）與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程kx+b=0（后0）的解.求線y=kx+b（厚0）與x軸交點時，2.直線y=kx^-b.可令y=0,得到方程履+6=0（原0）,解2.直線y=kx^-b交x交x軸于點_（——,0）,就是直線y=kx-^h與x軸交點的橫坐標.【考點1一次函數的定義】【典例1】下列函數中，是一次函數的是（）A.y=g B.y=/A.y=g B.y=/ C.y=3x-5x【變式1?2】下列函數關系中，y是x的一次函數的是（ ）） 1A.y=x-jr B.y=—― C.y=kx+b. x+1 '【變式1-2］下列函數中，是一次函數的是（ ）A.y=7+3 B.丫=-" C.v=5y2 7x【典例2】要使函數、=（m-2）/"+”是一次函數，應滿足（A./nW2, B.a=2,〃=2C./nW2,〃=2D.y=——x-1D.y=-xD.y=kx+bD./n=2,n=0【變式2?1］若函數發=（m-1）/|1-5是一次函數，則相的值為（ ）A.±1A.±1 B.-1C.1D.2TOC\o"1-5"\h\z【變式2?2］若y=（m-1）7一制+3是關于x的一次函數，則m的值為（ ）A.1 B.-1 C.±1 D.±2【考點2正比例函數的定義】【典例3】下列函數中，是正比例函數的是（ ）A.y二x B.y=-^- C.y=-2x+lD.y=/+25 x【變式3-1］下列函數中，y是x的正比例函數的是（ ）A.y=8x B. C.y=5x+l D.y=/+2xx【變式3?2】下列函數中為正比例函數的是（ ）A.y=37 B.y=3 C.y=2L D.y=6x+lx 3【變式3?3］若函數y=（Z+l）x+F-1是正比例函數，則女的值為（ ）A.0±1A.0±11-1【考點3待定系數法求一次函數解析式】【典例4】已知y是x的一次函數，當x=l時，y=5；當x=-l時，y=l.求該一次函數的解析式.【變式4-1］如圖，在直角坐標系中，直線/所表示的一次函數是( )【變式4-2】已知一次函數的圖象過點(3,5)與點(-4,-9),求這個一次函數的解析式.【變式4-3】已知一次函數圖象經過點A(1,3)和B(2,5).求：(1)這個一次函數的解析式.(2)當x=-3時，y的值.【考點4待定系數法求正比例函數解析式】【典例5】已知y與x成正比例，且x=2時，y=-6.求：y與x的函數解析式.【變式5-1］已知y與x成正比例，且x=2時，y=4.(1)求y關于x的函數表達式；(2)當x=-費時，求y的值.【變式5-2】已知y與x成正比例，且當x=3時，y=4.(1)求y與x之間的函數解析式；(2)當x=-l時，求y的值.【變式5-3］已知丫=丫|+》2，yi與x成正比例，”與x-1成正比例，且x=3時，y=4；x=1時，y=2,求y與x之間的函數關系式.【考點5一次函數與一元一次方程】【典例6-1】如圖所示，一次函數丫=去+6(AWO)的圖象經過點尸(3,2),則方程履+62 TOC\o"1-5"\h\z 1 _-5］ 3xr=2的解是( ).x=l B.x=2 C.x=3 D.無法確定【典例6-2］若關于x的方程4x-b=0的解是尸-2,則直線y=4x-6一定經過點( )A. (2,0) B. (0,-2) C. (-2,0) D. (0,2)【變式6-1］若關于x的方程-2x+b=0的解為x=2,則直線y=-2x+b一定經過點( )A. (2,0) B. (0,2) C. (4,0) D. (2,5)【變式6-2】如圖，直線y=x+5和直線y=ar+6相交于點P,觀察其圖象可知方程x+5=ax+b【變式6-3］關于x的方程H+6=3的解為x=7,則直線y=Ax+b的圖象一定過點( )A.(3,0) B.(7,0) C.(3,7)D.(7,3)【考點6根據實際問題列一次函數關系式】【典例7】A、8兩地相距500千米，一輛汽車以50千米/時的速度由A地駛向8地.汽車距8地的距離y(千米)與行駛時間f(之間)的關系式為.【變式7-1】已知一根彈簧在不掛重物時長60",在一定的彈性限度內，每掛1依重物彈簧伸長Q3cm.則該彈簧總長y(cm)隨所掛物體質量x(依)變化的函數關系式為.【變式7=2】拖拉機開始工作時，油箱中有油28升，如果每小時耗油4升，那么油箱中的剩余油量y(升)和工作時間x(時)之間的函數關系式是.【變式7-3】某音像社對外出租的光盤的收費方法是：每張光盤出租后的頭兩天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一張光盤在出租后〃天(〃22)應收租金 元.【變式7-4］漳州市出租車價格是這樣規定的：不超過2公里，付車費5元，超過的部分按每千米1.6元收費，已知李老師乘出租車行駛了x（x>2）千米，付車費y元，則所付車費y元與出租車行駛的路程x千米之間的函數關系為.專題4.2.1一次函數與正比例（知識解讀）. 【老司目標】經歷一次函數概念的抽象過程，體會模型思想；.理解正比例函數和一次函數的概念，能根據所給條件寫出正比例函數和簡單的一次函數表達式；.通過學生從實際生活中發現變量間的特定的關系來掌握運動變化的本質，感受數學就在身邊，體驗生活中處處有數學，促進學生樂于親近數學，喜歡數學。【知訊宜梳理】考點1一次函數的定義如果y=kx+b（k,b是常數，kwO）的函數，叫做一次函數，k叫比例系數。注意：當b=0時，一次函數丫=10<+6變為y=kx,正比例函數是一種特殊的一次函數。考點2正比例函數的定義一般地，形如y=kx（kW0）函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.考點3待定系數法求一次函數解析式一次函數曠="+6（k,方是常數，k^0）中有兩個待定系數k,b,需要兩個獨立條件確定兩個關于A,b的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對x,y的值.注意：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知數的系數，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數法.由于一次函數y= 中有k和b兩個待定系數，所以用待定系數法時需要根據兩個條件列二元一次方程組（以左和6為未知數），解方程組后就能具體寫出一次函數的解析式.考點4待定系數法求正比例函數解析式由于正比例函數y=H（左為常數，左K0）中只有一個待定系數3故只要有一對x,y的值或一個非原點的點，就可以求得2值.考點5一次函數與一元一次方程直線y=kx+h（后0）與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程kx+b=O（后0）的解.求線y=kx+b（后0）與x軸交點時，b.可令y=0,得到方程kx+b=O（?0）,解方程得_x=-- ,kb.直線y=kx+h交x軸于點_（,0）,就是直線y=kx+h與x軸交點的橫坐標.k【哀記者青】【考點1一次函數的定義】【典例1】下列函數中，是一次函數的是（ ）A.尸旦 B.y=x2 C.y=3x-5D.y=——X ' ' x-1【答案】C【解答】解：A、y=A,是反比例函數，不符合題意；X8、y=/,是二次函數，不符合題意：C、y=3x-5.是一次函數，符合題意；。、y=二一，分母中含自變量.不是一次函數，不符合題意；x+1故選：C.【變式1-21下列函數關系中，y是x的一次函數的是（ ）y=x-x1B.y=—— C.y=kx+b D.y=-xx+1【答案】D【解答】解：A選項，這是二次函數，故該選項不符合題意；8選項，這不是整式，故該選項不符合題意：C選項，沒有強調人力0,故該選項不符合題意；。選項，這是一次函數，故該選項符合題意；故選：D.【變式1-2］下列函數中，是一次函數的是（ ）y=x^+3 B.y=-^- C.y=,I D.y=kx+b2 x【答案】B【解答】解：A.y=7+3,是二次函數，故A不符合題意；y=三，是一次函數，故8符合題意；■2y=$,是反比例函數，故C不符合題意；y=kx+b（%,方為常數，AWO）,此時才是一次函數，故。不符合題意；故選：B.【典例2】要使函數丫=（w-2）是一次函數，應滿足（ ）A.小W2,nW2B.m=2,〃=2C.n=2D.m=2,n=0【If■父】C【解答】解：。=（m-2）是一次函數，.\m-2W0,n-1=1,n=2,故選：C.【變式2-1］若函數y=（/?-1），利-5是一次函數，則，〃的值為（ ）A.±1 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解答】解：根據題意得，|m|=1且/n-1W0,解得m=±1且mKl,所以，m=-1.故選：B.TOC\o"1-5"\h\z【變式2-2】若尸（/n-1）/-叫3是關于x的一次函數，則m的值為（ ）A.1 B.-1 C.±1 D.±2【答案】B【解答】解：?.?函數y=（切7）/叫3是關于x的一次函數，.*.2-|w|=l, l#0.解得：，〃=-1.故選：B.【考點2正比例函數的定義】【典例3】下列函數中，是正比例函數的是（ ）A.y=，x B.y=J C.y=-2x+l D.y=x^+25 x【答案】A【解答】解：A、y=_1?是正比例函數，故此選項符合題意；8、y=」是反比例函數，故此選項不符合題意；C、y=-2x+l是一次函數，但不是正比例函數，故此選項不符合題意;故此選項不符合題意;D、y=/+2是二次函數，故選：A.故此選項不符合題意;y是x的正比例函數的是（ ）A.y=8xy是x的正比例函數的是（ ）A.y=8xB.y望C.y=y=7+2x5x4-1 D.【答案】A【解答】解：A、y=Sxfy是x的正比例函數，故A符合題意；B、丫=反，y是x的反比例函數，故B不符合題意：xC、y=5x+\,），是x的一次函數，故C不符合題意；。、y=Xl+2x,y是x的二次函數，故。不符合題意；故選：A.【變式3-2］下列函數中為正比例函數的是（ ）A.y=3x1 B.y=— C.y=— D.y=G+lx 3【答案】C【解答】解：A、該函數是二次函數，故本選項錯誤：8、該函數是反比例函數，故本選項錯誤；C、該函數是正比例函數，故本選項正確；。、該函數是一次函數，故本選項錯誤；故選：C.【變式3-3］若函數尸a+1）x+F-1是正比例函數，貝必的值為（ ）A.0 B.±1 C.I D.-1【答案】C【解答】解：?.?函數y=（Jt+1）x+必-1是正比例函數，.（k+17tolk2-l=0解得QI.故選：C.【考點3待定系數法求一次函數解析式】【典例4］已知y是x的一次函數，當x=l時，y=5；當x=-l時，y=l.求該一次函數的解析式.

awo)所以該一次函數的解析式是y=2r+3把點-k+b解得.故選與點求這個一次函數的解析根據題意得這個一次函數的解析式的值設該直線解析式為*片0)【變式4-3】已知一次函數圖象經過點Aawo)所以該一次函數的解析式是y=2r+3把點-k+b解得.故選與點求這個一次函數的解析根據題意得這個一次函數的解析式的值設該直線解析式為*片0)【變式4-3】已知一次函數圖象經過點A【變式4-2］已知一次函數的圖象過點【變式4-1］如圖，在直角坐標系中，直線/所表示的一次函數是所以一次函數的解析式為y=2x【解答】解：設一次函數解析式為丫=履+〃宜線/所表示的一次函數的解析式為y=3x+3【解答】解：設直線/的解析式為y=^+b(k+b=3,解得(k=2l2k+b=5Ib=l故該一次函數解析式為：y=2r+l；(2)把工=-3代入(1)中的函數解析y=2x+L得y=2X(-3)+1=-6+1=-5.BP：y的值為-5.【考點4待定系數法求正比例函數解析式】【典例5】已知y與x成正比例，且x=2時，y=-6.求：y與x的函數解析式.【解答】解：設丁=履(女工0),Vx=2時，y=-6,-6=2h解得k=-3,Ay與x的函數解析式為y=-3x.【變式5?1】已知y與x成正比例，且x=2時，y=4.(1)求y關于x的函數表達式；(2)當五=-工時，求y的值.2【解答】解：(1)根據題意，設y="(&r0),把x=2,y=4代入得：4=2匕解得：k=2,即y與x的函數關系式為y=2x；(2)把1=-2代入y=2x得：y=-1.2【變式5-2】已知y與x成正比例，且當x=3時，y=4.(1)求y與x之間的函數解析式；(2)當工=-1時，求y的值.【解答】解：(1)與x成正比例，設y=kx>:當x=3時，y=4,.*.4=3*.解得*=4,3.R與x之間的函數關系式為y=&；(2)把x=-1代入了=&得丫=-A；3 3 3【變式5?3］已知y=yi+y2，刃與x成正比例，”與x-1成正比例，且x=3時，y=4；x=

1時，y=2,求y與x之間的函數關系式.【解答】解：設川="tv,yi=n(x-1)?則、=川+”=(加+〃)x-n,根據題意得：(3(mf)-n=4解得：,廿1,Im+n-n=2 ln=-l則y與x之間的函數關系式是：y=x+L【考點5一次函數與一元一次方程】【典例6-1】如圖所示，一次函數y=&+b(ZWO)的圖象經過點尸(3,2),則方程H+力B?B?x~~2C.x=3D.無法確定【答案】C【解答】解：；一次函數(LWO)的圖象經過點P(3,2),，當y=2時，x=3,即方程kx+b=2的解為x=3,故選：C.【典例6-2］若關于x的方程4x-b=0的解是x=-2,則直線y=4x-6一定經過點( )A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)【答案】C【解答】解：由方程可知：當x=-2時，4x-b=0,即當x=-2,y=0,二直線y=4x-b的圖象一定經過點(-2,0).故選：C.【變式6-1］若關于x的方程-2x+6=0的解為x=2,則直線y=-2x+A一定經過點(A.(2,0) B.(0,2) C.(4,0) D.(2,5)【答案】A【解答】解：由方程的解可知：當x=2時，-2r+6=0,即當x=2,y=0,，直線y=-2x+6的圖象一定經過點(2,0),故選：A.【變式6-2】如圖，直線y=x+5和直線y=ar+Z?相交于點P,觀察其圖象可知方程x+5=ar+6

的解()C.x=10的解()C.x=10D.x=20【答案】D【解答】解：；直線y=x+5和直線y=ox+%相交于點尸(20,25),二方程x+5=ar+6的解為x=20.故選：D.【變式6-3】關于x的方程"+6=3的解為x=7,則直線y=&+6的圖象一定過點( )A.(3,0) B.(7,0) C.(3,7) D.(7,3)【答案】D【解答】解：???關于x的方程H+b=3的解為x=7,?日寸，y~~kx^~h~~3,，直線y=fcr+0的圖象一定過點(7,3).故選：D.【考點6根據實際問題列一次函數關系式】【典例7】48兩地相距500千米，一輛汽車以50千米/時的速度由A地駛向8地.汽車距8地的距離y(千米)與行駛時間，(之間)的關系式為.【答案】y=500-5