上一堂課內容回顧

地球形狀

大地水準面與地球橢球大地水準面（一次逼近）地球橢球（二次逼近）參考橢球

地球重力場地球引力（位）離心力（位）重力（位）垂線偏差

地球磁場地磁七要素上一堂課內容回顧地球形狀上一堂課內容回顧重力場與地磁場的異同相同點：均為人為不可控天然穩定場（對導航有利）均隨空間位置變化，具有一定的空間分布規律

都隨時間發生微小變化不同點：重力場和地磁場成因不同、性質不同；重力場為單極場，地磁場近似為偶極場；重力場為強場，地磁場為弱場；地磁場為強時變，重力場弱時變；上一堂課內容回顧重力場與地磁場的異同相同點：第四章地球橢球及其數學計算張小紅

武漢大學測繪學院導航學第四章地球橢球及其數學計算導航學第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系4.4地球橢球上的曲率半徑4.5橢球面上的弧長計算4.6法截線與大地線4.7大地主題解算4.8導航中大地線長度的計算方法4.9把地面觀測值歸算至橢球面第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數第四講第四章地球橢球及其數學計算第四講第四章地球橢球及其數學計算第四章地球橢球及其數學計算第一節地球橢球的幾何參數

及其相互關系第四章地球橢球及其數學計算第一節地球橢球的幾何參數4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球上的點和線地球橢球是一個具有合適的形狀和大小的橢圓繞短軸旋轉一周后所形成的一個旋轉橢球北極N和南極S橢球中心O赤道平面（赤道圈）子午面（子午圈）平行圈或緯圈旋轉橢球體的特點對稱性過任意一點的子午圈的形狀和大小相同平行圈（緯圈）和赤道圈都是正圓子午圈的形狀和大小決定了地球橢球的形狀和大小4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球上的點和線子午圈4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球的基本幾何參數橢球長半徑橢球短半徑橢球的扁率橢球的第一偏心率橢球的第二偏心率上述5個參數中任選兩個參數就能表示橢球的形狀和大小，但其中至少有一個長度參數，通常選和其中a，b稱為長度元素，扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球的扁平程度，偏心率愈越大，橢球越扁4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球的基本幾何參數上4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球幾何參數間的相互關系4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球幾何參數間的相互94.1地球橢球的幾何參數及其相互關系輔助參數（為簡化后續公式推導）

極點處的子午曲率半徑4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系輔助參數（為簡化后續第四章地球橢球及其數學計算第二節大地坐標系、空間直角坐標系

及其相互關系第四章地球橢球及其數學計算第二節大地坐標系、空間直角4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系大地坐標系是大地測量學與導航學中常用的一種坐標系，亦稱地理坐標系或橢球坐標系它是以經過橢球定位后的地球橢球上所定義的點線面為參考的一種坐標系。地面一點的大地坐標（B，L，H)大地緯度B(N/S0~90°)大地經度L(E/W0~180°)大地高H4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標系是大地測量與導航計算常用的坐標系空間直角坐標系定義坐標原點O：位于總地球橢球(或參考橢球)中心Z軸：與地球平均自轉軸相重合，指向某段時間的平均北極點；X軸：指向由平均格林尼治天文臺和平均自轉軸所確定的子午面與赤道面的交點Ge；Y軸：垂直于X軸和Z軸構成右手系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐標系（大地坐標與空間直角坐標系轉換所需的中間坐標系）P點為空間某點P′

沿法線方向在地球橢球上的投影點，以過P點的子午橢圓中心為原點，建立一個平面直角坐標系，x軸與子午橢圓的長軸重合，y軸與橢圓的短軸重合。在該坐標系中，P點的位置用(x,y)表示過P點作子午橢圓的切線TP，切線的斜率為4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐標系引入輔助參數

代入x4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標轉空間直角坐標在橢球面上的點不在橢球面上的點（推導）4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標轉空4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系到空間直角坐標系的轉換推導思路建立空間直角坐標系建立子午面直角坐標系（中間過渡）推導子午面直角坐標和大地緯度與橢球有關參數之間的關系找到空間直角坐標和子午面直角坐標之間的相互關系建立空間直角坐標和大地坐標之間的關系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系到4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標轉大地坐標迭代公式

迭代初值：或4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標系轉大地坐標系直接公式低精度直接公式高精度直接公式緯度的精度可達大地高的誤差小于

4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標第四章地球橢球及其數學計算第三節地心緯度、歸化緯度及其

與大地緯度間的關系第四章地球橢球及其數學計算第三節地心緯度、歸化緯度4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系空間直角坐標與歸化緯度間的關系P點在子午面直角坐標系中的坐標4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系空間直角坐4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經過計算，當B=45°時：4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

大地緯度第四章地球橢球及其數學計算第四節地球橢球上的曲率半徑第四章地球橢球及其數學計算第四節地球橢球上的曲率半4.5橢球面上的弧長計算基本知識三角函數級數展開4.5橢球面上的弧長計算基本知識4.5橢球面上的弧長計算基本知識弧度和度的定義角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度來表示角度制：規定周角的360分之一為1度的角弧度制：規定長度等于半徑的弧長所對的圓心角為1弧度4.5橢球面上的弧長計算基本知識角度是表示角的大小的量，4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M對于一條平面曲線其曲率半徑可用下式計算4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M對于一條平面曲4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M

4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M

4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑MBM說明

極點處的子午曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑MBM說明

極4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈過橢球面上任意一點P可作一條垂直于橢球面的法線PF，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中與子午面垂直的法截面稱為卯酉面，卯酉面與橢球面的交線稱為卯酉圈卯酉圈的曲率半徑通常用符號N表示4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑N麥尼爾定理：假設通過曲面上一點引兩條截弧，一條為法截弧（卯酉圈），一條為斜截弧（平行圈），且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑r等于法截弧的曲率半徑N乘以兩截弧平面夾角B的余弦卯酉圈曲率半徑N就是從P點至法線與橢球短軸的交點F間的距離(課后推導)4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑N卯酉圈曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑NBM說明4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑NBM說明4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈和卯酉圈圈曲率半徑級數展開（實際計算）或

顧及8次項的計算公式一般已能保證mm級的計算精度（參見4-47式）4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈和卯酉圈圈曲率半徑級數展4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑

子午法截弧是南北向，方位角為0°或180°卯酉法截弧是東西向，其方位角為90°或270°子午法截弧和卯酉法截弧在P點處正交過P點的子午曲圈率半徑M和卯酉圈曲率半徑N稱為曲面在該點的兩個主曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑尤拉公式級數展開A為任意法截弧的大地方位角4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑尤拉4.4地球橢球上的曲率半徑

4.4地球橢球上的曲率半徑

4.4地球橢球上的曲率半徑平均曲率半徑平均曲率半徑就是過該點的所有的法截弧的曲率半徑的算術平均值

積分橢球面上任一點處的平均曲率半徑就等于該處的子午圈曲率半徑與卯酉圈曲率半徑的幾何平均值4.4地球橢球上的曲率半徑平均曲率半徑

積分橢球面上任4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R

的關系曲率半徑NRM公式

4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R的關系曲率半徑NR4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R

的數值表BN(m)R(m)M(m)637824563568636335553637967563597146339816638358863675186351488638894563782096367491639431563889366383561639825563968116395368639969963996996399699參數：克拉索夫斯基橢球體4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R的數值表BN(m)第五講第四章地球橢球及其數學計算第五講第四章地球橢球及其數學計算上一堂課內容回顧地球橢球的幾何參數及其相互關系大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M法截弧、卯酉圈的定義，卯酉圈曲率半徑N任意方向上的法截弧曲率半徑RA平均曲率半徑RN,R,M均隨緯度增大而增大B=90°時，N=R=M=c上一堂課內容回顧地球橢球的幾何參數及其相互關系N,R,M均隨42第四章地球橢球及其數學計算第五節橢球面上的弧長計算第四章地球橢球及其數學計算第五節橢球面上的弧長計算4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長子午橢圓的一半，它的端點與極點重合赤道又把子午線分成對稱的兩部分橢球上每個子午圈的形狀和大小均相同計算子午線弧長與該子午圈的經度無關推導從赤道沿子午線至任一緯度B的子午線弧長計算公式就可以計算出所需要的子午弧長4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

其中4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

其中4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式小于0.1mm，可以忽略4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式小于0.1mm4.5橢球面上的弧長計算子午線計算公式克拉索夫斯基橢球：

1975年國際橢球：

CGCS2000地球橢球：

WGS84橢球：

4.5橢球面上的弧長計算子午線計算公式克拉索夫斯基橢球：4.5橢球面上的弧長計算當子午線很短時，例如子午線兩端的緯差時，可將子午線視為圓弧。其曲率半徑采用兩端的平均緯度處的子午曲率半徑子午線弧長公式可簡化為：1弧度對應的度，分，秒值4.5橢球面上的弧長計算當子午線很短時，例如子午線兩端的4.5橢球面上的弧長計算不同地球橢球上的子午線弧長橢球克拉索夫斯基橢球5540944.4632212405.7233328538.7401975年國際橢球5540849.6452212367.2963328482.349CGCS2000橢球5540847.0392212366.2533328480.786WGS84橢球5540847.0562212366.2563328480.800北緯至北緯的子午線弧長

4.5橢球面上的弧長計算不同地球橢球上的子午線弧長橢球克4.5橢球面上的弧長計算平行圈（圓）弧長計算

經度差4.5橢球面上的弧長計算平行圈（圓）弧長計算

經度差4.5橢球面上的弧長計算由子午線弧長求大地緯度迭代解法直接解法4.5橢球面上的弧長計算由子午線弧長求大地緯度4.5橢球面上的弧長計算曲率半徑M、N及弧長S、S＇隨緯度B的變化6335439.3276378137.0001842.904630.71511855.324830.92216337358.1216378780.8441843.462830.72441827.322730.45546342888.4836380635.8071845.071530.75121744.118129.06866351377.1046383480.9181847.540730.79231608.104726.80176361815.8276386976.166850.577230.84301423.236923.72056372955.9266390702.8441853.917730.89701194.929219.91556383453.8586394209.1741856.871530.9479930.000015.50006392033.1936397072.4881859.367130.9895636.442410.60746397643.3276398943.4601860.999031.0167323.22485.38716399593.6266399593.6261861.566331.02610.00000.00001850.57724.5橢球面上的弧長計算曲率半徑M、N及弧長S、S＇隨緯4.5橢球面上的弧長計算

4.5橢球面上的弧長計算

第四章地球橢球及其數學計算第六節法截線與大地線第四章地球橢球及其數學計算第六節法截線與大地線4.6法截線與大地線法截線面與法截線過橢球面上任意一點P可作一條垂直于橢球面的法線PF，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線4.6法截線與大地線法截線面與法截線4.6法截線與大地線相對法截線地球橢球是一個旋轉橢球，過橢球面上任意一點

D作橢球面的法線時，該法線必定位于過D點的子午面上，與橢球短軸交于D1D點在子午平面直角坐標系中的y坐標為4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線如果橢球上另有一點E，（，），過E點作橢球的法線（該法線位于過E點的子午面內），與橢球短軸交于E1

4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線當橢球面兩個點不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時，兩點間就有兩條法截線存在D點(D到E)正法截線D點(E到D)反法截線稱為相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點的正反法截線不重合正法截線：過某一點的法線和橢球面上的另一點作一法截面，與橢球相交的線為該點的正法截線反法截線：過另一點的法線和該點作一法截面，與橢球相交的線為該點的反法截線4.6法截線與大地線相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈4.6法截線與大地線相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點的正反法截線不重合某點的緯度越高，其法線與短軸的交點離開橢球中心就越遠法截線BbA偏上（北），法截線AaB偏下（南）當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈時，正反法截線重合4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線北半球，A點在B點的南面，則A的正法截線也在南面，而反法截線在北面南半球則相反北向東向正法截線反法截線AB方向在不同象限時，正反法截線的關系4.6法截線與大地線相對法截線北向東向正法截線反法截線A4.6法截線與大地線大地線的提出正反法截線不重合橢球面上A，B，C三個點處所測得角度(各點上正法截線之夾角)不能構成閉合三角形（圖中實線部分的觀測角）為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條唯一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構成的封閉橢球面三角形內角和不等于180°4.6法截線與大地線大地線的提出內角和不等于180°4.6法截線與大地線兩點之間的最短距離平面上是連接兩點的直線端球面上是連接兩點的大圓弧段（圓心和球心重合的圓就是大圓）在橢球面上呢？4.6法截線與大地線兩點之間的最短距離4.6法截線與大地線大地線定義定義1：大地線上每點的密切平面（無限接近的三個點構成的平面）都包含該點的曲面法線，即大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合。大地線又稱為測地線。（微分幾何中的定義）定義2：橢球面上兩點間距離最短的曲線叫大地線在平面上大地線就是一條直線在球面上大地線是一段大圓弧（圓心和球心重合的圓就是大圓）4.6法截線與大地線大地線定義4.6法截線與大地線大地線的性質大地線是兩點間唯一最短線大地線位于相對法截線之間大地線更靠近正法截線大地線上任何點的密切平面就是該點的法截面兩點的正反法截線不重合，它們之間的夾角Δ，在一等三角測量中(平均點間距<40km)可達千分之四秒大地線與正法截線的夾角大地線與法截線長度之差非常小，可忽略不計在橢球面上進行測量和計算時，應當以兩點間的大地線為依據地面上測得的方向，距離等，應歸算到相應大地線的方向和距離4.6法截線與大地線大地線的性質4.6法截線與大地線大地線的微分方程指的是大地線的弧長S與所定義坐標系中的自變量間的微分關系在空間直角坐標系中dS與dx，dy，dz間的關系在大地坐標系統中dS與dL，dB，dA間的關系4.6法截線與大地線大地線的微分方程4.6法截線與大地線球面三角形余弦定理若已知球面三角形ABC的三頂點是A、B、C，其所對應的三邊分別是a,b,c，則有球面上的角余弦定理:cosA=-cosB·cosC+sinB·sinC·cosa

4.6法截線與大地線球面三角形余弦定理4.6法截線與大地線大地線的微分方程

球面三角形(p1p3N)余弦定理:微小量4.6法截線與大地線大地線的微分方程

球面三角形(4.6法截線與大地線大地線微分方程

4.6法截線與大地線大地線微分方程

4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

積分

克萊勞定理：4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

積分

克4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

克萊勞定理：

當大地線穿越赤道時，B=0°，r=a，A=A0當大地線達極小平行圈時，A=90°，設r=r0，B=B0某一大地線常數等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角正弦的乘積，或者等于該大地線上具有最大緯度的那一點的平行圈半徑可用于檢測緯度和大地方位角計算的正確性思考：赤道是不是大地線，子午圈是不是大地線？4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

克萊勞定理：

當4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程圖中有一條大地線，該大地線在與赤道相交的E點處的大地方位角為A，則該大地線將與半徑的平行圈相切于F點，然后調頭向南，而不會跑到緯度更高的地區去4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程4.6法截線與大地線相對法截線夾角

4.6法截線與大地線相對法截線夾角

4.6法截線與大地線截面差

A點的大地線與正法截線的夾角（截面差）：

可忽略不計在一、二等大地測量中，截面差具有系統性，為防止誤差的不斷積累，進行方向觀測值的歸算時均需施加截面差改正導航中很少在橢球面上進行精密方向觀測值的計算4.6法截線與大地線截面差

A點的大地線與正法截線的4.6法截線與大地線大地線與法截線的長度之差

4.6法截線與大地線大地線與法截線的長度之差

第四章地球橢球及其數學計算第七節大地主題解算第四章地球橢球及其數學計算第七節大地主題解算4.7大地主題解算

大地主題解算分為:短距離(<400km)中距離(<1000km)長距離(1000km以上)4.7大地主題解算

大地主題解算分為:4.7大地主題解算大地主題解算在涉及描述地球表面或近地空間相關學科，如大地測量、導航制導、遠程導彈的彈道解算、遠洋航海、航天測控和地球物理等領域的問題時，經常會遇到計算橢球面上兩點之間距離、方向等問題是彈道計算的核心算法在航路規劃中，大地主題解算是最基本的運算，其運算的速度，運算結果的精度將直接關系到航路規劃的效果4.7大地主題解算大地主題解算4.7大地主題解算大地主題解算解算時涉及復雜的數學運算與推導，以前沒有電子計算機，處理非常繁瑣，先后有一大批學者致力于大地主題解算的研究1806年法國著名數學家勒讓德首先采用泰勒級數將大地線微分方程展開為大地線長度的升冪級數，用以解算大地主題歷史上研究大地主題解算的算法有許多種，據不完全統計，有100多種，如Gauss法、Helmert法、Bessel法和Boring法等手工推導得到的直接解算公式，形式較復雜，使用不甚方便隨著計算機技術的發展，大地主題解算更簡單，更準確4.7大地主題解算大地主題解算4.7大地主題解算大地線在大地坐標系中的微分方程其精確值不能直接計算，必須進行逼近求解4.7大地主題解算大地線在大地坐標系中的微分方程其精確值794.7大地主題解算

4.7大地主題解算

4.7大地主題解算4.7大地主題解算4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

一階導數：二階導數：

再次求導三階導數：……四階導數：……五階導數：……將所有求得的導數代入麥克勞林級數展開式4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

一階導數：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

緯度計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

緯度計算公4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

經度計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

經度計算公4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

方位角計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

方位角計算4.7大地主題解算

提出高斯平均引數法4.7大地主題解算

提出高斯平均引數法4.7大地主題解算高斯平均引數法高斯平均引數法在大地線的中點處M同時向前和向后用級數展開，然后再合并在一起推導思路：首先把勒讓德級數在P1展開改為在大地線中點M處展開，使公式項數減少，加快收斂，提高精度將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的m點來代替，并迭代計算優點可以使大地線的長度減半可消除公式中的偶階項同時適用于大地主題正、反算4.7大地主題解算高斯平均引數法4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相減4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相減4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

怎么解決？引入平均緯度和方位角未知，需迭代

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

怎么解決？引4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相加除2=

同理得：4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相加除24.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

前面已得到4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

前4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

代入略去高階項

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

代入略去高4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式（適用于120km以內）

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式（適用于1204.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式（適用于70km以內）

其中主項為：主項迭代3次改正項迭代1~2次4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式（適用于70k4.7大地主題解算

4.7大地主題解算

4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式將正算公式左右移項后得：

4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式將正算公式左右4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式將正算公式左右移項后得：

省去高階項，右式中用主項代替，主項為：主項

用主項代入4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式將正算公式左右4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于200km以內）令：

得：無需迭代直接求得

4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于2004.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于200km以內）

代入至下式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于2004.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于70km以內）

公式簡化得：

其中有：其余算法和200km距離的反算一樣4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式（適用于70k4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式總結和要點反算公式由正算公式左右移項得到利用主項替換公式右邊的未知項無需迭代，直接求得對于短距離大地線，通過省去高次項，可以簡化計算公式4.7大地主題解算高斯平均引數算法反算公式總結和要點4.7大地主題解算白塞爾大地主題解算法按照一定的法則將橢球面上的大地元素投影至一個輔助球上，實現橢球面向球面的過渡在圓球上采用簡單的球面三角公式進行計算，推求大地元素將計算結果轉換至橢球面上，實現球面向橢球面的過渡特點：計算精度不會隨著距離的增加而迅

速下降，適用于短距離和長距離大地主題解算算法：白塞爾大地主題算法4.7大地主題解算白塞爾大地主題解算法特點：計算精度不會4.7大地主題解算白塞爾大地主題解算方法1825年德國大地測量學家、天文學家白塞爾（F.W.Bessel）提出了一種長距離大地主題解算公式。基本思想是：首先按照一定法則將橢球面上的已知大地元素“投影”至一個單位球面上，然后再在這個輔助球面上用球面三角公式進行嚴密的坐標正反算，最后再將計算結果再轉換至橢球面上來。由于地球橢球的扁率僅為1/297，與圓球非常接近，因而從橢球面至圓球（或從圓球至橢球）的投影的“變形”就很小，即使采用一個相對較為簡單的公式就能適用于長距離的大地主題解算。此后又有不少學者對該公式進行了改進。特點：計算精度不會隨著距離的增加而迅速下降，適用于短距離和長距離大地主題解算4.7大地主題解算白塞爾大地主題解算方法4.7大地主題解算直接對大地線微分方程進行數值積分采用數值計算的方法以適當的步長對大地線微分方程進行數值積分優點：易于編程實現，適用于不同長度的大地主題解算缺點：計算工作量大，隨著距離的增加精

度可能會有所下降，此外在兩極地區效果也不好算法：龍格—庫塔法，阿達姆斯法

4.7大地主題解算直接對大地線微分方程進行數值積分優點：4.7大地主題解算其它方法轉換至高斯平面進行計算直接在空間中計算點的幾何關系（衛星大地測量）4.7大地主題解算其它方法第四章地球橢球及其數學計算第八節導航中大地線長度的計算方法第四章地球橢球及其數學計算第八節導航中大地線長度的4.8導航中大地線長度的計算方法導航中大地線長度的計算需求：由兩點大地坐標求大地線特點：精度要求不高，公式要求簡單方便，計算速度快方法：Andoyer-Lambert法，大橢圓法4.8導航中大地線長度的計算方法導航中大地線長度的計算4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法該法是以適用于中長距離的白塞爾大地主題解算公式為基礎進行簡化和近似處理得到的大地線微分方程：

替換

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法大地線微分方程：

泰勒展開：

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

積分未知量，需要求解4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

未知，先放著，稍后做處理4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lambert法

4.8導航中大地線長度的計算方法Andoyer-Lamb4.8導航中大地線長度的計算方法Bowring公式英國的Bowring與1981年按橢球面對球面的正形投影,導出了一個嶄新地橢球面上主題解算公式。易于編程,特別適用于可編程計算器上解算及實時應用中。在美國導航學會第三十九屆年會上,該法被建議應用于導航領域。推薦此法作為短距離大地主題解算的最好公式。4.8導航中大地線長度的計算方法Bowring公式4.8導航中大地線長度的計算方法Bowring正解公式4.8導航中大地線長度的計算方法Bowring正解公式1204.8導航中大地線長度的計算方法Bowring反解公式4.8導航中大地線長度的計算方法Bowring反解公式1214.8導航中大地線長度的計算方法

大橢圓法解算大地線請同學們課后自學！4.8導航中大地線長度的計算方法

大橢圓法解算大地線4.8導航中大地線長度的計算方法

4.8導航中大地線長度的計算方法

4.8導航中大地線長度的計算方法顧及高程影響的大地線長度計算方法

扁率不變4.8導航中大地線長度的計算方法顧及高程影響的大地線長度4.8導航中大地線長度的計算方法顧及高程影響的大地線長度計算方法在輔助橢球上進行大地線的計算4.8導航中大地線長度的計算方法顧及高程影響的大地線長度第四章地球橢球及其數學計算第九節把地面觀測值歸算至橢球面第四章地球橢球及其數學計算第九節把地面觀測值歸算至4.9把地面觀測值歸算至橢球面為什么要把地面觀測值歸算至橢球面在傳統大地測量中，需要先把地面測站上所測得的方向觀測值和距離觀測值等歸算至橢球面上，然后才能在橢球面這個規則的數學曲面上進行數學計算。在導航學中，也可以沿用這種方法。當然在導航學中，也可采用另一種方法：完全脫離地球橢球的概念，直接在空間直角坐標系中按照點與點之間的幾何關系來進行數據處理。如有必要再將這些空間直角坐標系化算為大地坐標4.9把地面觀測值歸算至橢球面為什么要把地面觀測值歸算至4.9把地面觀測值歸算至橢球面

距離歸算值，具體推導見課本

4.9把地面觀測值歸算至橢球面

距離歸算值，具體推導見4.9把地面觀測值歸算至橢球面

偏差改正值

4.9把地面觀測值歸算至橢球面

偏差改正值

4.9把地面觀測值歸算至橢球面

標高差改正值

4.9把地面觀測值歸算至橢球面

標高差改正值

第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系4.4地球橢球上的曲率半徑4.5橢球面上的弧長計算4.6法截線與大地線4.7大地主題解算4.8導航中大地線長度的計算方法4.9把地面觀測值歸算至橢球面第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數上一堂課內容回顧

地球形狀

大地水準面與地球橢球大地水準面（一次逼近）地球橢球（二次逼近）參考橢球

地球重力場地球引力（位）離心力（位）重力（位）垂線偏差

地球磁場地磁七要素上一堂課內容回顧地球形狀上一堂課內容回顧重力場與地磁場的異同相同點：均為人為不可控天然穩定場（對導航有利）均隨空間位置變化，具有一定的空間分布規律

都隨時間發生微小變化不同點：重力場和地磁場成因不同、性質不同；重力場為單極場，地磁場近似為偶極場；重力場為強場，地磁場為弱場；地磁場為強時變，重力場弱時變；上一堂課內容回顧重力場與地磁場的異同相同點：第四章地球橢球及其數學計算張小紅

武漢大學測繪學院導航學第四章地球橢球及其數學計算導航學第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系4.4地球橢球上的曲率半徑4.5橢球面上的弧長計算4.6法截線與大地線4.7大地主題解算4.8導航中大地線長度的計算方法4.9把地面觀測值歸算至橢球面第四章地球橢球及其數學計算4.1地球橢球的幾何參數第四講第四章地球橢球及其數學計算第四講第四章地球橢球及其數學計算第四章地球橢球及其數學計算第一節地球橢球的幾何參數

及其相互關系第四章地球橢球及其數學計算第一節地球橢球的幾何參數4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球上的點和線地球橢球是一個具有合適的形狀和大小的橢圓繞短軸旋轉一周后所形成的一個旋轉橢球北極N和南極S橢球中心O赤道平面（赤道圈）子午面（子午圈）平行圈或緯圈旋轉橢球體的特點對稱性過任意一點的子午圈的形狀和大小相同平行圈（緯圈）和赤道圈都是正圓子午圈的形狀和大小決定了地球橢球的形狀和大小4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球上的點和線子午圈4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球的基本幾何參數橢球長半徑橢球短半徑橢球的扁率橢球的第一偏心率橢球的第二偏心率上述5個參數中任選兩個參數就能表示橢球的形狀和大小，但其中至少有一個長度參數，通常選和其中a，b稱為長度元素，扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球的扁平程度，偏心率愈越大，橢球越扁4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球的基本幾何參數上4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球幾何參數間的相互關系4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系橢球幾何參數間的相互1404.1地球橢球的幾何參數及其相互關系輔助參數（為簡化后續公式推導）

極點處的子午曲率半徑4.1地球橢球的幾何參數及其相互關系輔助參數（為簡化后續第四章地球橢球及其數學計算第二節大地坐標系、空間直角坐標系

及其相互關系第四章地球橢球及其數學計算第二節大地坐標系、空間直角4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系大地坐標系是大地測量學與導航學中常用的一種坐標系，亦稱地理坐標系或橢球坐標系它是以經過橢球定位后的地球橢球上所定義的點線面為參考的一種坐標系。地面一點的大地坐標（B，L，H)大地緯度B(N/S0~90°)大地經度L(E/W0~180°)大地高H4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標系是大地測量與導航計算常用的坐標系空間直角坐標系定義坐標原點O：位于總地球橢球(或參考橢球)中心Z軸：與地球平均自轉軸相重合，指向某段時間的平均北極點；X軸：指向由平均格林尼治天文臺和平均自轉軸所確定的子午面與赤道面的交點Ge；Y軸：垂直于X軸和Z軸構成右手系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐標系（大地坐標與空間直角坐標系轉換所需的中間坐標系）P點為空間某點P′

沿法線方向在地球橢球上的投影點，以過P點的子午橢圓中心為原點，建立一個平面直角坐標系，x軸與子午橢圓的長軸重合，y軸與橢圓的短軸重合。在該坐標系中，P點的位置用(x,y)表示過P點作子午橢圓的切線TP，切線的斜率為4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐標系引入輔助參數

代入x4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系子午面直角坐4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標轉空間直角坐標在橢球面上的點不在橢球面上的點（推導）4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標轉空4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系到空間直角坐標系的轉換推導思路建立空間直角坐標系建立子午面直角坐標系（中間過渡）推導子午面直角坐標和大地緯度與橢球有關參數之間的關系找到空間直角坐標和子午面直角坐標之間的相互關系建立空間直角坐標和大地坐標之間的關系4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系大地坐標系到4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標轉大地坐標迭代公式

迭代初值：或4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標系轉大地坐標系直接公式低精度直接公式高精度直接公式緯度的精度可達大地高的誤差小于

4.2大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系空間直角坐標第四章地球橢球及其數學計算第三節地心緯度、歸化緯度及其

與大地緯度間的關系第四章地球橢球及其數學計算第三節地心緯度、歸化緯度4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系空間直角坐標與歸化緯度間的關系P點在子午面直角坐標系中的坐標4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系空間直角坐4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經過計算，當B=45°時：4.3地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系

大地緯度第四章地球橢球及其數學計算第四節地球橢球上的曲率半徑第四章地球橢球及其數學計算第四節地球橢球上的曲率半4.5橢球面上的弧長計算基本知識三角函數級數展開4.5橢球面上的弧長計算基本知識4.5橢球面上的弧長計算基本知識弧度和度的定義角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度來表示角度制：規定周角的360分之一為1度的角弧度制：規定長度等于半徑的弧長所對的圓心角為1弧度4.5橢球面上的弧長計算基本知識角度是表示角的大小的量，4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M對于一條平面曲線其曲率半徑可用下式計算4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M對于一條平面曲4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M

4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M

4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑MBM說明

極點處的子午曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑MBM說明

極4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈過橢球面上任意一點P可作一條垂直于橢球面的法線PF，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中與子午面垂直的法截面稱為卯酉面，卯酉面與橢球面的交線稱為卯酉圈卯酉圈的曲率半徑通常用符號N表示4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑N麥尼爾定理：假設通過曲面上一點引兩條截弧，一條為法截弧（卯酉圈），一條為斜截弧（平行圈），且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑r等于法截弧的曲率半徑N乘以兩截弧平面夾角B的余弦卯酉圈曲率半徑N就是從P點至法線與橢球短軸的交點F間的距離(課后推導)4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑N卯酉圈曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑NBM說明4.4地球橢球上的曲率半徑卯酉圈曲率半徑NBM說明4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈和卯酉圈圈曲率半徑級數展開（實際計算）或

顧及8次項的計算公式一般已能保證mm級的計算精度（參見4-47式）4.4地球橢球上的曲率半徑子午圈和卯酉圈圈曲率半徑級數展4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑

子午法截弧是南北向，方位角為0°或180°卯酉法截弧是東西向，其方位角為90°或270°子午法截弧和卯酉法截弧在P點處正交過P點的子午曲圈率半徑M和卯酉圈曲率半徑N稱為曲面在該點的兩個主曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑尤拉公式級數展開A為任意法截弧的大地方位角4.4地球橢球上的曲率半徑任意方向法截弧的曲率半徑尤拉4.4地球橢球上的曲率半徑

4.4地球橢球上的曲率半徑

4.4地球橢球上的曲率半徑平均曲率半徑平均曲率半徑就是過該點的所有的法截弧的曲率半徑的算術平均值

積分橢球面上任一點處的平均曲率半徑就等于該處的子午圈曲率半徑與卯酉圈曲率半徑的幾何平均值4.4地球橢球上的曲率半徑平均曲率半徑

積分橢球面上任4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R

的關系曲率半徑NRM公式

4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R的關系曲率半徑NR4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R

的數值表BN(m)R(m)M(m)637824563568636335553637967563597146339816638358863675186351488638894563782096367491639431563889366383561639825563968116395368639969963996996399699參數：克拉索夫斯基橢球體4.4地球橢球上的曲率半徑M、N、R的數值表BN(m)第五講第四章地球橢球及其數學計算第五講第四章地球橢球及其數學計算上一堂課內容回顧地球橢球的幾何參數及其相互關系大地坐標系、空間直角坐標系及其相互關系地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關系橢球上的曲率半徑子午圈曲率半徑M法截弧、卯酉圈的定義，卯酉圈曲率半徑N任意方向上的法截弧曲率半徑RA平均曲率半徑RN,R,M均隨緯度增大而增大B=90°時，N=R=M=c上一堂課內容回顧地球橢球的幾何參數及其相互關系N,R,M均隨173第四章地球橢球及其數學計算第五節橢球面上的弧長計算第四章地球橢球及其數學計算第五節橢球面上的弧長計算4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長子午橢圓的一半，它的端點與極點重合赤道又把子午線分成對稱的兩部分橢球上每個子午圈的形狀和大小均相同計算子午線弧長與該子午圈的經度無關推導從赤道沿子午線至任一緯度B的子午線弧長計算公式就可以計算出所需要的子午弧長4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

其中4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

其中4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式小于0.1mm，可以忽略4.5橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式小于0.1mm4.5橢球面上的弧長計算子午線計算公式克拉索夫斯基橢球：

1975年國際橢球：

CGCS2000地球橢球：

WGS84橢球：

4.5橢球面上的弧長計算子午線計算公式克拉索夫斯基橢球：4.5橢球面上的弧長計算當子午線很短時，例如子午線兩端的緯差時，可將子午線視為圓弧。其曲率半徑采用兩端的平均緯度處的子午曲率半徑子午線弧長公式可簡化為：1弧度對應的度，分，秒值4.5橢球面上的弧長計算當子午線很短時，例如子午線兩端的4.5橢球面上的弧長計算不同地球橢球上的子午線弧長橢球克拉索夫斯基橢球5540944.4632212405.7233328538.7401975年國際橢球5540849.6452212367.2963328482.349CGCS2000橢球5540847.0392212366.2533328480.786WGS84橢球5540847.0562212366.2563328480.800北緯至北緯的子午線弧長

4.5橢球面上的弧長計算不同地球橢球上的子午線弧長橢球克4.5橢球面上的弧長計算平行圈（圓）弧長計算

經度差4.5橢球面上的弧長計算平行圈（圓）弧長計算

經度差4.5橢球面上的弧長計算由子午線弧長求大地緯度迭代解法直接解法4.5橢球面上的弧長計算由子午線弧長求大地緯度4.5橢球面上的弧長計算曲率半徑M、N及弧長S、S＇隨緯度B的變化6335439.3276378137.0001842.904630.71511855.324830.92216337358.1216378780.8441843.462830.72441827.322730.45546342888.4836380635.8071845.071530.75121744.118129.06866351377.1046383480.9181847.540730.79231608.104726.80176361815.8276386976.166850.577230.84301423.236923.72056372955.9266390702.8441853.917730.89701194.929219.91556383453.8586394209.1741856.871530.9479930.000015.50006392033.1936397072.4881859.367130.9895636.442410.60746397643.3276398943.4601860.999031.0167323.22485.38716399593.6266399593.6261861.566331.02610.00000.00001850.57724.5橢球面上的弧長計算曲率半徑M、N及弧長S、S＇隨緯4.5橢球面上的弧長計算

4.5橢球面上的弧長計算

第四章地球橢球及其數學計算第六節法截線與大地線第四章地球橢球及其數學計算第六節法截線與大地線4.6法截線與大地線法截線面與法截線過橢球面上任意一點P可作一條垂直于橢球面的法線PF，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線4.6法截線與大地線法截線面與法截線4.6法截線與大地線相對法截線地球橢球是一個旋轉橢球，過橢球面上任意一點

D作橢球面的法線時，該法線必定位于過D點的子午面上，與橢球短軸交于D1D點在子午平面直角坐標系中的y坐標為4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線如果橢球上另有一點E，（，），過E點作橢球的法線（該法線位于過E點的子午面內），與橢球短軸交于E1

4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線當橢球面兩個點不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時，兩點間就有兩條法截線存在D點(D到E)正法截線D點(E到D)反法截線稱為相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點的正反法截線不重合正法截線：過某一點的法線和橢球面上的另一點作一法截面，與橢球相交的線為該點的正法截線反法截線：過另一點的法線和該點作一法截面，與橢球相交的線為該點的反法截線4.6法截線與大地線相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈4.6法截線與大地線相對法截線不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點的正反法截線不重合某點的緯度越高，其法線與短軸的交點離開橢球中心就越遠法截線BbA偏上（北），法截線AaB偏下（南）當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈時，正反法截線重合4.6法截線與大地線相對法截線4.6法截線與大地線相對法截線北半球，A點在B點的南面，則A的正法截線也在南面，而反法截線在北面南半球則相反北向東向正法截線反法截線AB方向在不同象限時，正反法截線的關系4.6法截線與大地線相對法截線北向東向正法截線反法截線A4.6法截線與大地線大地線的提出正反法截線不重合橢球面上A，B，C三個點處所測得角度(各點上正法截線之夾角)不能構成閉合三角形（圖中實線部分的觀測角）為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條唯一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構成的封閉橢球面三角形內角和不等于180°4.6法截線與大地線大地線的提出內角和不等于180°4.6法截線與大地線兩點之間的最短距離平面上是連接兩點的直線端球面上是連接兩點的大圓弧段（圓心和球心重合的圓就是大圓）在橢球面上呢？4.6法截線與大地線兩點之間的最短距離4.6法截線與大地線大地線定義定義1：大地線上每點的密切平面（無限接近的三個點構成的平面）都包含該點的曲面法線，即大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合。大地線又稱為測地線。（微分幾何中的定義）定義2：橢球面上兩點間距離最短的曲線叫大地線在平面上大地線就是一條直線在球面上大地線是一段大圓弧（圓心和球心重合的圓就是大圓）4.6法截線與大地線大地線定義4.6法截線與大地線大地線的性質大地線是兩點間唯一最短線大地線位于相對法截線之間大地線更靠近正法截線大地線上任何點的密切平面就是該點的法截面兩點的正反法截線不重合，它們之間的夾角Δ，在一等三角測量中(平均點間距<40km)可達千分之四秒大地線與正法截線的夾角大地線與法截線長度之差非常小，可忽略不計在橢球面上進行測量和計算時，應當以兩點間的大地線為依據地面上測得的方向，距離等，應歸算到相應大地線的方向和距離4.6法截線與大地線大地線的性質4.6法截線與大地線大地線的微分方程指的是大地線的弧長S與所定義坐標系中的自變量間的微分關系在空間直角坐標系中dS與dx，dy，dz間的關系在大地坐標系統中dS與dL，dB，dA間的關系4.6法截線與大地線大地線的微分方程4.6法截線與大地線球面三角形余弦定理若已知球面三角形ABC的三頂點是A、B、C，其所對應的三邊分別是a,b,c，則有球面上的角余弦定理:cosA=-cosB·cosC+sinB·sinC·cosa

4.6法截線與大地線球面三角形余弦定理4.6法截線與大地線大地線的微分方程

球面三角形(p1p3N)余弦定理:微小量4.6法截線與大地線大地線的微分方程

球面三角形(4.6法截線與大地線大地線微分方程

4.6法截線與大地線大地線微分方程

4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

積分

克萊勞定理：4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

積分

克4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

克萊勞定理：

當大地線穿越赤道時，B=0°，r=a，A=A0當大地線達極小平行圈時，A=90°，設r=r0，B=B0某一大地線常數等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角正弦的乘積，或者等于該大地線上具有最大緯度的那一點的平行圈半徑可用于檢測緯度和大地方位角計算的正確性思考：赤道是不是大地線，子午圈是不是大地線？4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程

克萊勞定理：

當4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程圖中有一條大地線，該大地線在與赤道相交的E點處的大地方位角為A，則該大地線將與半徑的平行圈相切于F點，然后調頭向南，而不會跑到緯度更高的地區去4.6法截線與大地線大地線的克萊勞方程4.6法截線與大地線相對法截線夾角

4.6法截線與大地線相對法截線夾角

4.6法截線與大地線截面差

A點的大地線與正法截線的夾角（截面差）：

可忽略不計在一、二等大地測量中，截面差具有系統性，為防止誤差的不斷積累，進行方向觀測值的歸算時均需施加截面差改正導航中很少在橢球面上進行精密方向觀測值的計算4.6法截線與大地線截面差

A點的大地線與正法截線的4.6法截線與大地線大地線與法截線的長度之差

4.6法截線與大地線大地線與法截線的長度之差

第四章地球橢球及其數學計算第七節大地主題解算第四章地球橢球及其數學計算第七節大地主題解算4.7大地主題解算

大地主題解算分為:短距離(<400km)中距離(<1000km)長距離(1000km以上)4.7大地主題解算

大地主題解算分為:4.7大地主題解算大地主題解算在涉及描述地球表面或近地空間相關學科，如大地測量、導航制導、遠程導彈的彈道解算、遠洋航海、航天測控和地球物理等領域的問題時，經常會遇到計算橢球面上兩點之間距離、方向等問題是彈道計算的核心算法在航路規劃中，大地主題解算是最基本的運算，其運算的速度，運算結果的精度將直接關系到航路規劃的效果4.7大地主題解算大地主題解算4.7大地主題解算大地主題解算解算時涉及復雜的數學運算與推導，以前沒有電子計算機，處理非常繁瑣，先后有一大批學者致力于大地主題解算的研究1806年法國著名數學家勒讓德首先采用泰勒級數將大地線微分方程展開為大地線長度的升冪級數，用以解算大地主題歷史上研究大地主題解算的算法有許多種，據不完全統計，有100多種，如Gauss法、Helmert法、Bessel法和Boring法等手工推導得到的直接解算公式，形式較復雜，使用不甚方便隨著計算機技術的發展，大地主題解算更簡單，更準確4.7大地主題解算大地主題解算4.7大地主題解算大地線在大地坐標系中的微分方程其精確值不能直接計算，必須進行逼近求解4.7大地主題解算大地線在大地坐標系中的微分方程其精確值2104.7大地主題解算

4.7大地主題解算

4.7大地主題解算4.7大地主題解算4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

一階導數：二階導數：

再次求導三階導數：……四階導數：……五階導數：……將所有求得的導數代入麥克勞林級數展開式4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

一階導數：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

緯度計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

緯度計算公4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

經度計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

經度計算公4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

方位角計算公式：4.7大地主題解算在起點P1處展開的級數算法

方位角計算4.7大地主題解算

提出高斯平均引數法4.7大地主題解算

提出高斯平均引數法4.7大地主題解算高斯平均引數法高斯平均引數法在大地線的中點處M同時向前和向后用級數展開，然后再合并在一起推導思路：首先把勒讓德級數在P1展開改為在大地線中點M處展開，使公式項數減少，加快收斂，提高精度將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的m點來代替，并迭代計算優點可以使大地線的長度減半可消除公式中的偶階項同時適用于大地主題正、反算4.7大地主題解算高斯平均引數法4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相減4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

相減4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

4.7大地主題解算高斯平均引數算法正算公式

怎么解決？引入平均緯度和方位角未知，