最短路徑--課件精編版

我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等問(wèn)題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過(guò)幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題,具體體會(huì)如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)選擇最短路徑.新課引入我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最2第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)3問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABl問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名4精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．

你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的你能將這個(gè)5lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最小？分析：ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，A6如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點(diǎn)之間，線段最短.lABCB如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，聯(lián)想7（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把左圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？分析：lABCl8lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與CB′的和最小？在連接AB′兩點(diǎn)的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.9在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C、C′在對(duì)稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.在直線l上任取另一點(diǎn)C′，lABCB′C′證明：如圖.10在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱變換，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇．方法總結(jié)：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱變換，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化11問(wèn)題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題ABl問(wèn)題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊12問(wèn)題2（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？問(wèn)題2（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在同一條河13如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN由于河寬是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，14分析：lABCaBAbMNA'

如圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N+NB最小？參考右圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決.分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點(diǎn)15如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA16另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′另任意造橋M′N′，由平移性質(zhì)可知，∴AM+MN+BN＝AA17總結(jié)歸納：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換，把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇。總結(jié)歸納：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸18問(wèn)題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題lABC問(wèn)題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)lA19小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對(duì)稱變換平移變換兩點(diǎn)之間，線段最短.小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對(duì)稱平移兩點(diǎn)之間，線段最短1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修212.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10002.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別22最短路徑--課件精編版234、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn)，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小。M’P4、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn)，在BC邊上24歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學(xué)習(xí)了利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題②感悟和體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學(xué)習(xí)了利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)25補(bǔ)償提高

如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋補(bǔ)償提高如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山ABC26思路分析：

由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋思路分析：ABCPQ山河岸大橋新知1運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問(wèn)題

運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)，是解決距離之和最小問(wèn)題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同.新知1運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問(wèn)題運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之28新知2利用平移確定最短路徑選址

解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題.

在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題.新知2利用平移確定最短路徑選址解決連接河兩岸的兩個(gè)29必做題教材第91頁(yè)復(fù)習(xí)題13第15題.布置作業(yè)必做題布置作業(yè)最短路徑--課件精編版31最短路徑--課件精編版

我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等問(wèn)題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過(guò)幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題,具體體會(huì)如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)選擇最短路徑.新課引入我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最33第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)34問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABl問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名35精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．

你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的你能將這個(gè)36lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最小？分析：ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，A37如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點(diǎn)之間，線段最短.lABCB如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，聯(lián)想38（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把左圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？分析：lABCl39lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與CB′的和最小？在連接AB′兩點(diǎn)的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.40在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C、C′在對(duì)稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.在直線l上任取另一點(diǎn)C′，lABCB′C′證明：如圖.41在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱變換，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇．方法總結(jié)：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱變換，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化42問(wèn)題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題ABl問(wèn)題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊43問(wèn)題2（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？問(wèn)題2（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在同一條河44如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN由于河寬是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，45分析：lABCaBAbMNA'

如圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N+NB最小？參考右圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決.分析：lABCaBAbMNA'如圖，如果將點(diǎn)46如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA47另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′另任意造橋M′N′，由平移性質(zhì)可知，∴AM+MN+BN＝AA48總結(jié)歸納：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換，把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇。總結(jié)歸納：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸49問(wèn)題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題lABC問(wèn)題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)lA50小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對(duì)稱變換平移變換兩點(diǎn)之間，線段最短.小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對(duì)稱平移兩點(diǎn)之間，線段最短1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修522.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10002.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別53最短路徑--課件精編版544、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn)，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小。M’P4、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn)，在BC邊上