第九章交會法和小三角測量§9.1概述一、控制點的布設(shè)形式1．測角交會1）前方交會如圖，A、B為已知點，P為待定點，在兩個已知點上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。

12/19/2022

1第九章交會法和小三角測量§9.1概述12/16

2）側(cè)方交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，B點不能安置儀器，所以在已知點A及待定點P上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。

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22）側(cè)方交會

如圖，A、B為已知點，P3）后方交會

如圖，A、B、C為已知點，P為待定點，在待定點P上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。12/19/2022

33）后方交會

如圖，A、B、C為已知點，P為待定點，4）其它交會

旁點交會圖形雙點后方交會圖形

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44）其它交會旁點交會圖形雙點2．測邊交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，測量兩待定邊的距離，求出P點坐標(biāo)。由測角交會和測邊交會知道：

確定一個點的平面位置，需要兩個觀測量。12/19/2022

52．測邊交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，測量兩待定邊3、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式單三角鎖中點多邊形ABCEDAF大地四邊形ABCD線型鎖CDEFBCDEFBA12/19/2022

63、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式單三角鎖中點多邊形ABCEDAF大地四二、作業(yè)步驟

1．外業(yè)選點（圖上選點、實地勘察）、造標(biāo)、埋石、觀測（測角、測邊）2．內(nèi)業(yè)檢查手簿、抄錄起算數(shù)據(jù)（核對）、坐標(biāo)反算、歸心投影計算、求各點坐標(biāo)、評定精度。

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7二、作業(yè)步驟

1．外業(yè)12/16/20227一.前方交會的計算一.計算公式（余切公式、戎格公式）

ABP

已知點：A(XA,YA)、B(XB,YB)待定點：P觀測數(shù)據(jù)：、,(=180--)§9.2前方交會12/19/2022

8一.前方交會的計算一.計算公式（余切公式、戎格公式）前方交會計算公式直接計算待定點坐標(biāo)的公式：ABP余切公式正切公式12/19/2022

9前方交會計算公式直接計算待定點坐標(biāo)的公式：ABP余切公式1）計算公式是根據(jù)A、B、P為逆時針組成的圖形導(dǎo)出的，實際計算時必須按這樣的順序編號；

2）為了檢核計算，以求出的P點坐標(biāo)和A點計算B點，與B點已知值相比較。這種檢核只能檢核計算是否正確，不能發(fā)現(xiàn)角度測錯、用錯，已知點坐標(biāo)用錯，也不能提高計算精度。

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101）計算公式是根據(jù)A、B、P為逆時針組成的圖二、檢核

1．兩組前方交會

雙點前方交會，不能發(fā)現(xiàn)觀測錯誤及用錯起算數(shù)據(jù)的錯誤。為了檢核，通常是布設(shè)成兩組前方交會，比較兩組計算結(jié)果，其差異是否在允許范圍之內(nèi)。

2．限差規(guī)定12/19/2022

11二、檢核

1．兩組前方交會

雙點前方交會，不三、圖形要求1．交會角γ：在測角交會圖形中，由未知點至相鄰兩起始點間方向的夾角。交會角太小或太大，相同的測角誤差將使待定點的點位誤差增大，如右圖所示。2．要求：30°≤γ≤150°12/19/2022

12三、圖形要求1．交會角γ：在測角交會圖形中，由未知點至相鄰兩四、變形圖形為了滿足交會角的要求，有時需要改變前方交會的基本圖形。

四點前方交會

折迭圖形

基線邊不通視的情況12/19/2022

13四、變形圖形為了滿足交會角的要求，有時需要改變前方交會基線邊不通視的情況的計算可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點前方交會，另外，也可以按下式計算：它省去了坐標(biāo)反算的步驟。注意圖形編號順序，對地形控制點，坐標(biāo)取至cm，三角函數(shù)要取6位小數(shù)。

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14基線邊不通視的情況的計算可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點前方交會，前方交會計算實例野外點位略圖

已知數(shù)據(jù)

點號

x/m

y/m

D6116.942683.295D7522.909794.647D8781.305435.018觀測數(shù)據(jù)

Ⅰ組α1=59°10′42″

β1=56°32′54″

Ⅱ組α2=53°48′45″

β2=57°33′33″

計算結(jié)果

(1)由I組計算得：

XP′=398.151mYP′=413.249m(2)由Ⅱ組計算得：XP″=398．127mYP″=413.215m

(3)兩組坐標(biāo)較差：

0.042m≤限差

(4)P點最后坐標(biāo)為：XP=398.139mYP=413.232m12/19/2022

15前方交會計算實例野外點位略圖已點號x/my/mD61§9.3側(cè)方交會

一、適應(yīng)條件一個已知點不能設(shè)站，而未知點上可以設(shè)站。二、計算公式把側(cè)方交會轉(zhuǎn)化為前方交會，β=180°-α–γ

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16§9.3側(cè)方交會一、適應(yīng)條件12/16/202

三、檢核

在待定點觀測另一個已知點C得檢查角ε，計算出P點坐標(biāo)后，反算PC、PB的方位角，其差值為ε計，兩者的差異Δε應(yīng)滿足下式規(guī)定：

Δε允=

Spc不能太短，否則Δε允可以允許很大。四、圖形要求：同前方交會

12/19/2022

17三、檢核

在待定點觀測另一個已知點C得檢查角ε，計五、變形圖形

A與B不通視，但可以觀測到另一個已知點D，如何求出α角？12/19/2022

18五、變形圖形

A與B不通視，但可以觀測到§9.4后方交會一、適應(yīng)條件適應(yīng)已知點不能安置儀器或不易到達(dá)的情況。二、基本圖形及計算公式1．余切公式

1）求12/19/2022

19§9.4后方交會一、適應(yīng)條件12/16/202212）求N3）求坐標(biāo)12/19/2022

202）求N3）求坐標(biāo)12/16/2022202．仿權(quán)公式（安謝麥特公式）

：ABCPRaRbRc∠A、∠B、∠C為三個已知點構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角。即后方交會基本圖形中的∠CAB、∠ABC、∠BCA。α、β、γ為后方交會基本圖形中∠A、∠B、∠C所對的角。

12/19/2022

212．仿權(quán)公式（安謝麥特公式）：ABCPRaRbRc∠三、后方交會的危險圓1．定義：過三個已知點構(gòu)成的外接圓稱為危險圓。2．影響：當(dāng)待定點位于危險圓上任一位置時，α、β角不變，無法求解。3．注意：待定點不要在危險圓附近，否則誤差很大。

12/19/2022

22三、后方交會的危險圓1．定義：過三個已知點構(gòu)成的外接圓稱為危四、后方交會的檢核1．觀測檢查角ε（同側(cè)方交會）2．分兩組計算

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23四、后方交會的檢核1．觀測檢查角ε（同側(cè)方交會）12/16/§9.5交會點的精度概述待定點坐標(biāo)XP、YP是已知點坐標(biāo)和觀測角的函數(shù)。

XP=f（XA，YA，…，α，β，…）YP=φ（XA，YA，…，α，β，…）對上面兩式求全微分，忽略已知點坐標(biāo)的誤差，應(yīng)用誤差傳播定律，得，則交會點的點位中誤差為：

下面只簡要介紹前方交會的幾個結(jié)論。

12/19/2022

24§9.5交會點的精度概述下面只簡要介紹前方交會的幾個一、兩點前方交會

若s、m不變，則與α、β有關(guān)，即與交會點相對于A點位置有關(guān)。對上兩式求極值，分析點位誤差與交會點位置的關(guān)系。12/19/2022

25一、兩點前方交會若s、m不變，則與α、β有關(guān)，即與交會點相1．交會點P位于A、B、P三點的圓周上

此時，交會角不變，即上兩式的分母不變，變量只有α和β。令

上式對α、β求偏導(dǎo)，在α=β條件下對U求二階導(dǎo)數(shù)，

可見：γ＜90°，U“＜0，U有極大值；

γ＝90°，U“＝0，U無極值；（中誤差處處相等）

γ＞90°，U“＞0，U有極小值；

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261．交會點P位于A、B、P三點的圓周上

此時，交會角不變，即結(jié)論：

1）當(dāng)交會角γ＞90°時，前方交會點宜選在與已知點構(gòu)成等腰三角形的位置，最佳位置為γ=109°28′16″；

2）當(dāng)交會角γ＜90°時，則以靠近已知點的位置為好。

12/19/2022

27結(jié)論：

1）當(dāng)交會角γ＞90°時，前方交會點宜選在與已知點構(gòu)§9.6單三角形一、特點及適應(yīng)條件1．由兩個已知點和一個待定點組成三角形，觀測三角形的三個內(nèi)角。2．適應(yīng)于控制點少或不通視，而且已知點和待定點都能設(shè)站的情況。12/19/2022

28§9.6單三角形一、特點及適應(yīng)條件12/16/2022二、計算

1．計算并分配三角形內(nèi)角和閉合差。

2．用改正后的角度按前方交會公式計算點的坐標(biāo)。

3．已知點坐標(biāo)抄錯或角度搞反，計算時發(fā)現(xiàn)不了，要特別注意。

12/19/2022

29二、計算

1．計算并分配三角形內(nèi)角和閉合差。

2．用改正后的三、精度分析

1．點位中誤差

式中，s以km為單位，m以秒為單位，mp以mm為單位。2．點位中誤差與圖形的關(guān)系1）因為有一個多余觀測，對觀測角進行了改正，所以精度比前方交會更高。2）當(dāng)α=β=39°38′10.7″，γ=100°43′38.6″時精度最高。

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30三、精度分析

1．點位中誤差式中，s以km為單位，m以秒為§9.7其它交會方法這里在就只介紹雙點后方交會的幾種圖形布設(shè)。適應(yīng)于測區(qū)控制點較少的情況

待定點在已知點兩側(cè)待定點在已知點同側(cè)

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31§9.7其它交會方法這里在就只介紹雙點后方交會的幾種圖形檢核圖形12/19/2022

32檢核圖形12/16/202232§9.8測邊交會一、圖形布設(shè)

三邊交會四邊交會

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33§9.8測邊交會一、圖形布設(shè)三邊交會二、計算公式

1．推導(dǎo)思路

求坐標(biāo)不但要知道邊長，還要知道方位角，要設(shè)法用邊長來表示角度。如圖，過P點作已知邊的垂線，得輔助邊h、l、g，用h、l、g表示ctgA、ctgB，然后通過前方交會的余切公式來計算。12/19/2022

34二、計算公式

1．推導(dǎo)思路

求坐標(biāo)不但要知道2．計算公式

12/19/2022

352．計算公式12/16/202235三、限差

1．三邊交會：ΔSC≤2×0.1M(mm)

2．四邊交會：ΔS≤2×0.1M(mm)

四、精度分析

當(dāng)測邊精度相同時，交會角P=90°，待定點的精度最高。

作業(yè)：1412/19/2022

36三、限差

1．三邊交會：ΔSC≤2×0.1M(mm)第九章交會法和小三角測量§9.1概述一、控制點的布設(shè)形式1．測角交會1）前方交會如圖，A、B為已知點，P為待定點，在兩個已知點上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。

12/19/2022

37第九章交會法和小三角測量§9.1概述12/16

2）側(cè)方交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，B點不能安置儀器，所以在已知點A及待定點P上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。

12/19/2022

382）側(cè)方交會

如圖，A、B為已知點，P3）后方交會

如圖，A、B、C為已知點，P為待定點，在待定點P上安置儀器，觀測水平角，求出P點坐標(biāo)。12/19/2022

393）后方交會

如圖，A、B、C為已知點，P為待定點，4）其它交會

旁點交會圖形雙點后方交會圖形

12/19/2022

404）其它交會旁點交會圖形雙點2．測邊交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，測量兩待定邊的距離，求出P點坐標(biāo)。由測角交會和測邊交會知道：

確定一個點的平面位置，需要兩個觀測量。12/19/2022

412．測邊交會

如圖，A、B為已知點，P為待定點，測量兩待定邊3、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式單三角鎖中點多邊形ABCEDAF大地四邊形ABCD線型鎖CDEFBCDEFBA12/19/2022

423、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式單三角鎖中點多邊形ABCEDAF大地四二、作業(yè)步驟

1．外業(yè)選點（圖上選點、實地勘察）、造標(biāo)、埋石、觀測（測角、測邊）2．內(nèi)業(yè)檢查手簿、抄錄起算數(shù)據(jù)（核對）、坐標(biāo)反算、歸心投影計算、求各點坐標(biāo)、評定精度。

12/19/2022

43二、作業(yè)步驟

1．外業(yè)12/16/20227一.前方交會的計算一.計算公式（余切公式、戎格公式）

ABP

已知點：A(XA,YA)、B(XB,YB)待定點：P觀測數(shù)據(jù)：、,(=180--)§9.2前方交會12/19/2022

44一.前方交會的計算一.計算公式（余切公式、戎格公式）前方交會計算公式直接計算待定點坐標(biāo)的公式：ABP余切公式正切公式12/19/2022

45前方交會計算公式直接計算待定點坐標(biāo)的公式：ABP余切公式1）計算公式是根據(jù)A、B、P為逆時針組成的圖形導(dǎo)出的，實際計算時必須按這樣的順序編號；

2）為了檢核計算，以求出的P點坐標(biāo)和A點計算B點，與B點已知值相比較。這種檢核只能檢核計算是否正確，不能發(fā)現(xiàn)角度測錯、用錯，已知點坐標(biāo)用錯，也不能提高計算精度。

12/19/2022

461）計算公式是根據(jù)A、B、P為逆時針組成的圖二、檢核

1．兩組前方交會

雙點前方交會，不能發(fā)現(xiàn)觀測錯誤及用錯起算數(shù)據(jù)的錯誤。為了檢核，通常是布設(shè)成兩組前方交會，比較兩組計算結(jié)果，其差異是否在允許范圍之內(nèi)。

2．限差規(guī)定12/19/2022

47二、檢核

1．兩組前方交會

雙點前方交會，不三、圖形要求1．交會角γ：在測角交會圖形中，由未知點至相鄰兩起始點間方向的夾角。交會角太小或太大，相同的測角誤差將使待定點的點位誤差增大，如右圖所示。2．要求：30°≤γ≤150°12/19/2022

48三、圖形要求1．交會角γ：在測角交會圖形中，由未知點至相鄰兩四、變形圖形為了滿足交會角的要求，有時需要改變前方交會的基本圖形。

四點前方交會

折迭圖形

基線邊不通視的情況12/19/2022

49四、變形圖形為了滿足交會角的要求，有時需要改變前方交會基線邊不通視的情況的計算可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點前方交會，另外，也可以按下式計算：它省去了坐標(biāo)反算的步驟。注意圖形編號順序，對地形控制點，坐標(biāo)取至cm，三角函數(shù)要取6位小數(shù)。

12/19/2022

50基線邊不通視的情況的計算可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點前方交會，前方交會計算實例野外點位略圖

已知數(shù)據(jù)

點號

x/m

y/m

D6116.942683.295D7522.909794.647D8781.305435.018觀測數(shù)據(jù)

Ⅰ組α1=59°10′42″

β1=56°32′54″

Ⅱ組α2=53°48′45″

β2=57°33′33″

計算結(jié)果

(1)由I組計算得：

XP′=398.151mYP′=413.249m(2)由Ⅱ組計算得：XP″=398．127mYP″=413.215m

(3)兩組坐標(biāo)較差：

0.042m≤限差

(4)P點最后坐標(biāo)為：XP=398.139mYP=413.232m12/19/2022

51前方交會計算實例野外點位略圖已點號x/my/mD61§9.3側(cè)方交會

一、適應(yīng)條件一個已知點不能設(shè)站，而未知點上可以設(shè)站。二、計算公式把側(cè)方交會轉(zhuǎn)化為前方交會，β=180°-α–γ

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52§9.3側(cè)方交會一、適應(yīng)條件12/16/202

三、檢核

在待定點觀測另一個已知點C得檢查角ε，計算出P點坐標(biāo)后，反算PC、PB的方位角，其差值為ε計，兩者的差異Δε應(yīng)滿足下式規(guī)定：

Δε允=

Spc不能太短，否則Δε允可以允許很大。四、圖形要求：同前方交會

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53三、檢核

在待定點觀測另一個已知點C得檢查角ε，計五、變形圖形

A與B不通視，但可以觀測到另一個已知點D，如何求出α角？12/19/2022

54五、變形圖形

A與B不通視，但可以觀測到§9.4后方交會一、適應(yīng)條件適應(yīng)已知點不能安置儀器或不易到達(dá)的情況。二、基本圖形及計算公式1．余切公式

1）求12/19/2022

55§9.4后方交會一、適應(yīng)條件12/16/202212）求N3）求坐標(biāo)12/19/2022

562）求N3）求坐標(biāo)12/16/2022202．仿權(quán)公式（安謝麥特公式）

：ABCPRaRbRc∠A、∠B、∠C為三個已知點構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角。即后方交會基本圖形中的∠CAB、∠ABC、∠BCA。α、β、γ為后方交會基本圖形中∠A、∠B、∠C所對的角。

12/19/2022

572．仿權(quán)公式（安謝麥特公式）：ABCPRaRbRc∠三、后方交會的危險圓1．定義：過三個已知點構(gòu)成的外接圓稱為危險圓。2．影響：當(dāng)待定點位于危險圓上任一位置時，α、β角不變，無法求解。3．注意：待定點不要在危險圓附近，否則誤差很大。

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58三、后方交會的危險圓1．定義：過三個已知點構(gòu)成的外接圓稱為危四、后方交會的檢核1．觀測檢查角ε（同側(cè)方交會）2．分兩組計算

12/19/2022

59四、后方交會的檢核1．觀測檢查角ε（同側(cè)方交會）12/16/§9.5交會點的精度概述待定點坐標(biāo)XP、YP是已知點坐標(biāo)和觀測角的函數(shù)。

XP=f（XA，YA，…，α，β，…）YP=φ（XA，YA，…，α，β，…）對上面兩式求全微分，忽略已知點坐標(biāo)的誤差，應(yīng)用誤差傳播定律，得，則交會點的點位中誤差為：

下面只簡要介紹前方交會的幾個結(jié)論。

12/19/2022

60§9.5交會點的精度概述下面只簡要介紹前方交會的幾個一、兩點前方交會

若s、m不變，則與α、β有關(guān)，即與交會點相對于A點位置有關(guān)。對上兩式求極值，分析點位誤差與交會點位置的關(guān)系。12/19/2022

61一、兩點前方交會若s、m不變，則與α、β有關(guān)，即與交會點相1．交會點P位于A、B、P三點的圓周上

此時，交會角不變，即上兩式的分母不變，變量只有α和β。令

上式對α、β求偏導(dǎo)，在α=β條件下對U求二階導(dǎo)數(shù)，

可見：γ＜90°，U“＜0，U有極大值；

γ＝90°，U“＝0，U無極值；（中誤差處處相等）

γ＞90°，U“＞0，U有極小值；

12/19/2022

621．交會點P位于A、B、P三點的圓周上

此時，交會角不變，即結(jié)論：

1）當(dāng)交會角γ＞90°時，前方交會點宜選在與已知點構(gòu)成等腰三角形的位置，最佳位置為γ=109°28′16″；

2）當(dāng)交會角γ＜90°時，則以靠近已知點的位置為好。

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63結(jié)論：

1）當(dāng)交會角γ＞90°時，前方交會點宜選在與已知點構(gòu)§9.6單三角形一、特點及適應(yīng)條件1．由兩個已知點和一個待定點組成三角形，觀測三角形的三個內(nèi)角。2．適應(yīng)于控制點少或不通視