大學物理實驗——緒論、誤差理論與數據處理的基礎知識華僑大學信息科學與工程學院大學物理教學部大學物理實驗華僑大學信息科學與工程學院1

一、緒論

1、課程簡介★學分2；學時54；學制2個學期，每學期開放式實驗教學約10周左右；★實驗內容：共至少必做18個實驗，每學期9個；其中，這學期包括：誤差理論及課程預備知識、固體密度測量（2）、測定物體的轉動慣量（3）、音叉的受迫振動與共振（40）、測定空氣的比熱容比（6）、電學基本器具的使用（8）、示波器的使用（10）、用非平衡電橋測量熱敏電阻的溫度特性（12）、分光計的調整和使用（19）、大學物理仿真實驗（23）；下個學期包括測定工程材料的楊氏模量（4）、聲速的測定（7）、伏安法測非線性電阻（11）、鐵磁材料的磁滯回線和基本磁化曲線（13）、RLC電路的串聯諧振（15）、霍爾效應及其應用（17）、用牛頓環測量球面曲率半徑（18）、衍射光柵（21）、傳感器技術（一）（26）★教學形式：網上選課，教師指導，學生獨立完成；本學期實驗開課時間第3周開始，第14周左右結束。★教學地點：機電大樓3樓B區。一、緒論2

2、成績評定方式：★總成績的評定總成績由平時成績和期末成績兩部分組成，分成優、良、中、及格、重修五個等級。★平時成績的評定每個實驗先按10分計，其中預習2分、操作4分、數據處理4分,最后累計各個實驗項目的分數總和，并折合成百分制,占總成績的60%(70%)。理論課的作業占總成績的5%。★期末成績的考核期末考試分為“筆試”和“操作考試”兩種方式。這學期采用筆試方式，期末成績占總成績的比例為35%。下學期采用操作方式，期末成績占總成績的比例為30%。★重修的規定同屬下列任一情況者，直接重修：①總成績低于60分②期末考成績低于40分③平時有一個實驗沒有做或沒交實驗報告。④兩個實驗(合同期末考)成績低于及格線(6分/60分)注：實驗報告無教師簽字者一率無效；實驗報告抄襲者，先檢查，后經集體討論處理。2、成績評定方式：3

3、怎樣寫實驗報告第一部分：預習報告：做實驗之前認真閱讀實驗講義，寫好以下內容：實驗目的、實驗原理、實驗儀器、實驗步驟及注意事項、數據記錄表：（預習中完成表格的設計）第二部分：數據處理與計算。此部分在實驗后進行，包括：作圖、計算結果與誤差估算：圖解法要求使用正式的坐標紙并按作圖規則進行。計算時，先將文字公式化簡，再代入數值進行運算。誤差估算要預先寫出誤差公式，并把數據代入。結果：按標準形式寫出實驗的結果。在必要時，注明結果的實驗條件。討論：對實驗中出現的問題進行說明和討論，或寫出實驗心得和建議等。作業題：完成教師指定的作業題，思考題選做。實驗報告要求同學努力做到書寫清晰，字跡端正，數據記錄整潔，圖表合格，文理通順，內容簡明扼要。實驗報告一律用專用的物理實驗報告冊書寫。4、遵守實驗規則準備充分、禮儀得當、嚴肅認真、接受檢查、善始善終3、怎樣寫實驗報告4、遵守實驗規則4二、誤差理論與數據處理的基礎知識

（一）、誤差的基本概念1．測量★根據測量方法可分為直接測量與間接測量。直接測量：可用測量儀器或儀表直接讀出測量值的測量。間接測量：測出直接測量值，根據待測物理量與直接測量值的函數關系，通過計算才能得到測量結果的過程。★從測量條件上，測量可分為等精度測量和不等精度測量。等精度測量：在對某一物理量進行多次重復測量過程中，每次測量條件都相同的一系列測量稱為等精度測量。不等精度測量：在對某一物理量進行多次重復測量時，測量條件完全不同或部分不同，各結果的可靠程度自然也不同的一系列測量稱為不等精度測量。

絕大多數實驗都采用等精度測量，本教材主要討論等精度測量。二、誤差理論與數據處理的基礎知識（一）、誤差的基本概念5

2．測量誤差★真值：反映物質固有屬性的物理量所具有的客觀的真實數值。從統計理論可以證明，在條件不變的情況下進行多次測量時，可以用算術平均值作為相對真值或叫約定真值。★誤差：我們把測量結果與真值之間的差叫做測量誤差。在數據處理時，要估算和分析誤差。測量誤差可以用絕對誤差表示，也可以用相對誤差表示，還可以用百分誤差表示。絕對誤差=測量值—真值

相對誤差=|絕對誤差/真值|×100%百分誤差=|（測量最佳值—公認值）/公認值|×100%2．測量誤差6

3．誤差的分類測量誤差按原因與性質可分為系統誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。（1）系統誤差系統誤差是指在相同條件下，多次測量同一物理量時，測量值對真值的偏離（大小和方向）總是相同。系統誤差的主要來源有：①儀器誤差②環境誤差③個人誤差④理論和公式的近似性等。增加測量次數并不能減小系統誤差，為了減小和消除系統誤差，必須針對其來源，逐步具體考慮，或者采用一定的方法對結果進行修正。常用的方法有交換法、補償法、替代法、半周期法等等。（2）隨機誤差隨機誤差（又稱偶然誤差）是指在同一條件下多次測量同一物理量，測量結果總是稍許差異且變化不定。隨機誤差來源于各種偶然的或不確定的因素：①人們的感官的靈敏度的差異和不穩定；②外界環境的干擾;③被測對象本身的統計漲落；等等。雖然偶然誤差的存在使每一次測量偏大或偏小是不確定的，但是，根據統計規律，增加測量次數可以減少偶然誤差。（3）過失誤差過失誤差是由于觀測者不正確地使用儀器、操作錯誤、讀數錯誤、觀察錯誤、記錄錯誤、估算錯誤等不正常情況下引起的誤差。錯誤已不屬于正常的測量工作范圍，應將其剔除。3．誤差的分類7

4．誤差的估算（1）隨機誤差的估算①算術平均值的普遍表達式為這里xi是第i次測量值，n是測量次數。②殘差：每一次測量值與算術平均值的差值，用△xi表示。因為用殘差去估算誤差，所得結果為測量值的實驗標準偏差，用表示。4．誤差的估算8③標準偏差★任意一次測量值的實驗標準偏差近似為這個公式又稱貝塞爾公式，它表示如果在相同條件下進行多次測量，其隨機誤差遵從高斯分布，那么，任意一次測量值誤差出現在（-,）區間內的概率為68.3％。★算術平均值的實驗標準偏差為它表示如果多次測量的隨機誤差遵從高斯分布，那么，其值出現在區域內的概率為68.3％。③標準偏差這個公式又稱貝塞爾公式，它表示如果在相同條件下進行9④誤差的傳遞公式由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關系式稱為誤差的傳遞公式。設間接測量值為N，它是由各互不相關的直接測量值A、B、C…通過函數關系f求得的，即：N=f（A,B,C…）設各個獨立的直接測量值的誤差分別為、、…等，則間接測量值N的誤差估算需要用誤差的方和根合成：標準誤差公式：相對誤差公式：

④誤差的傳遞公式相對誤差公式：10⑤誤差取位規則約定：絕對誤差一般取一位有效數字，其尾數只進不舍，以免產生估計不足。相對誤差一般取兩位有效數字。測量值的有效數字尾數應與絕對誤差的尾數取齊，其尾數采用四舍六入五湊偶法則。5．測量結果的評價（1）精密度:表示測量結果中的隨機誤差大小的程度。它是指在一定的條件下進行重復測量時，所得結果的相互接近程度，是描述測量重復性高低的。（2）準確度表示測量結果中的系統誤差大小的程度。它是指測量值或實驗所得結果與真值符合的程度，即描述測量值接近真值的程度。（3）精確度是測量結果中系統誤差和隨機誤差的綜合。它是指測量結果的重復性及接近真值的程度。⑤誤差取位規則5．測量結果的評價11打靶結果：（a）精密度高準確度較差（b）準確度高而精密度較差（c）精密度和準確度都很好，亦即精確度高。例：打靶結果：（a）精密度高準確度較差例：12（二）、常用儀器誤差簡介★儀器誤差是指在儀器規定的使用條件下，正確使用儀器時，儀器的指示數和被測量的真值之間可能產生的最大誤差。可由制造廠家和計量單位使用更精密的儀器，經過檢定比較后給出，其符號可正可負，用△儀表示。★根據儀器的級別計算儀器誤差為△儀=量程×級別％★如果沒有注明儀器級別，在物理實驗教學中，對于一些連續刻度（可估讀）的儀器，一般用儀器的最小刻度的一半作為△儀；而非連續刻度（不可估讀）的儀器，一般用儀器的最小刻度作為△儀。★服從均勻分布的儀器的最大誤差所對應的標準誤差為：

σ儀=△儀/（二）、常用儀器誤差簡介★儀器誤差是指在儀器規定的使用條件下13★作為物理實驗教學，我們約定正確使用儀器時儀器的基本誤差(或最大誤差)如下：米尺：儀器誤差△儀=0.5mm五十分游標卡尺：儀器誤差△儀=0.02mm二十分游標卡尺：儀器誤差△儀=0.05mm螺旋測微器：儀器誤差△儀=0.005mm分光計：儀器誤差△儀=1‘讀數顯微鏡：儀器誤差△儀=0.005mm機械秒表：儀器誤差△儀=0.2S電表：儀器誤差△儀=(量程M×ε%)[單位]；ε為儀器精度等級值電阻箱：儀器誤差△儀=(ε%R+0.002m)Ω,m是總轉盤數。★作為物理實驗教學，我們約定正確使用儀器時儀器的基本誤差(或14（三）、不確定度的基本概念1．不確定度的概念由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度稱為不確定度。它是表征被測量的真值所處的量值范圍的評定。不確定度是測量結果表述中的一個重要參數，它能合理地說明測量值的分散程度和真值所在范圍的可靠程度。不確定度亦可理解為一定置信概率下誤差限的絕對值，記為△。例如，測得一單擺的周期為：T=（2.163±0.002）s（P=68.3％）其中0.002為不確定度，P=68.3％表示置信度概率。這樣表示的意義為：被測單擺周期的真值，落在（2.163-0.002，2.163+0.002）范圍內的可能性有68.3％。

（三）、不確定度的基本概念152．不確定度與誤差不確定度是在誤差理論的基礎上發展起來的，不確定度A類分量的估算用到了標準誤差計算的公式。誤差用于定性描述實驗測量的有關理論和概念，不確定度用于實驗結果的定量分析和運算等。用測量不確定度代替誤差評定測量結果，具有方便性、合理性和實用性。誤差可正可負，而不確定度永遠是正的。誤差是不確定度的基礎，不確定度是對經典誤差理論的一個補充，是現代誤差理論的內容之一，它還有待于進一步的研究、完善和發展。2．不確定度與誤差163．不確定度的分類測量不確定度由幾個分量構成。通常，按不確定度值的計算方法分為A類不確定度和B類不確定度，或A類分量和B類分量。★

A類不確定度是在一系列重復測量中，用統計學方法計算的分量△A：★

B類不確定度是用其他方法（非統計學方法）評定的分量△B：作為簡化處理，A類分量△A指標準偏差，B類分量△B僅考慮儀器標準偏差，并約定式中C=（假定儀器誤差滿足均勻分布）★將A類和B類分量采用方和根合成，得到合成不確定度表達式為：3．不確定度的分類★B類不確定度是用其他方法（非統計學方法174、測量結果與不確定度的估算

1）直接測量結果處理①、單次測量單次測量的結果表示式為：其中x測是單次測量值，也稱為單次測量最佳值。不確定度取儀器基本誤差△儀，儀器基本誤差可在儀器說明書或某些技術標準中查到，或通過估算獲得。4、測量結果與不確定度的估算1）直接測量結果處理18②、多次測量多次測量的結果表示式為：其中是一列測量數據（即測量列）的算術平均值（即測量列的最佳值）；△是合成不確定度，即：（置信度68.3%）

不確定度取位規則：在物理實驗中，絕對不確定度△一般取一位有效數字，其尾數采用只進不舍法則。相對不確定度E一般取兩位有效數字。測量值有效數字取位規則：測量值的尾數應與絕對不確定度的尾數取齊，其尾數的進位采用四舍六入五湊偶法則。②、多次測量其中是一列測量數據（即測量列）的算19例：用米尺（△儀=0.5mm）測一鋼絲長度，結果：x1=14.0，x2=14.4，x3=14.9，x4=14.2，x5=14.1，x6=14.8mm，試寫出它的測量結果，并用不確定度表示。例：用米尺（△儀=0.5mm）測一鋼絲長度，結果：x1=120例：用螺旋測微計（△儀=0.005mm）測量某一鐵板的厚度：①單次測量值為3.779mm；②8次測量一列數據為3.784，3.779，3.786，3.781，3.778，3.782，3.780，3.778mm。試分別寫出它的測量結果。

例：用螺旋測微計（△儀=0.005mm）測量某一鐵板的厚212）間接測量結果處理

①

不確定度傳遞公式不確定度的傳遞公式與標準偏差的傳遞公式形式上完全相同，即按方和根合成。對于待測的間接物理量N=f（A,B,C…）★絕對不確定度的計算式為：★相對不確定度計算式為：公式1公式2公式3其中，公式2適用于和差形式的函數，公式3適用于積商形式的函數。

2）間接測量結果處理①不確定度傳遞公式★相對不確定度計22表：幾種常用的不確定度傳遞公式表：幾種常用的不確定度傳遞公式23②計算處理思路在處理間接測量結果時，對于以加減運算為主的函數關系，一般利用函數關系算出算術平均值，然后用公式1計算絕對不確定度，再用公式2求出相對不確定度。而以乘除運算為主的函數關系，一般先用公式3計算相對不確定度，再計算絕對不確定度，步驟如下：1）利用函數關系算出：2）對函數取對數lnN=lnf（A,B,C…）3）求相對不確定度

（公式3

）4）求絕對不確定度5）給出數據結果：②計算處理思路24例：用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為，若測得m=（29.05±0.03）g,m1=（19.07±0.03）g,=（0.9998±0.0002）g/cm3,分別計算出和例：用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為255．不確定度的分配與儀器的合理選配不確定度傳遞公式還可以用來分析各直接測量值的不確定度對間接測量結果不確定度影響的大小，為合理選用測量儀器和實驗方法提供依據。均分原則：假定各個分不確定度對總不確定度的影響相等，由此得各直接測量量的不確定度，最后確定測量各個直接測量量應選用的儀器。若要求：可令

：則

計算出后，確定儀器誤差。5．不確定度的分配與儀器的合理選配可令：則計算26（四）有效數字及其計算1．有效數字的定義我們把測量結果中可靠的幾位數字加上可疑的一位數字統稱為測量結果的有效數字。有效數字中的最后一位雖然是可疑的，即有誤差，但它還是在一定的程度上反映了客觀實際，因此，它也是有效數字，不能去掉。2．有效數字在實際中的應用（1）有效數字與儀器的關系測量值的有效數字一方面反映被測物理量的大小，另一方面它又反映所用儀器的測量精度，可見測量儀器的精度越高，所得結果的有效數字位數越多。而對于表頭，讀數誤差可能小于儀表誤差，要計算儀表相應量程的誤差來確定可疑位，然后按有效數字記錄數據。（2）誤差的取位和結果的表示誤差決定有效數字。在物理實驗中，一般情況下絕對誤差的位數只取一位，相對誤差的有效數字一般只取到兩位，其尾數采用只進不舍的法則。測量值的尾數應與絕對誤差所在位取齊，其尾數采用四舍六入五湊偶的法則。（四）有效數字及其計算27（3）科學表示法為表示方便，特別是對較大或較小的數值，測量結果常用科學表示法。科學表示法是把數字寫成10的冪次方形式，通常小數點前只寫一位非零數字。（4）換算單位在十進制換算單位中，測量結果的單位變換不影響有效數字位數。非十進制的單位中，測量結果的變換單位，還要用誤差來定有效數字的位數。如t=（1.8±0.1）min=（108±6）s。例題按四舍六入五湊偶的原則，將下列數據舍入到小數點后第二位8.0260；7.0445；6.0656；5.6351；4.2055（3）科學表示法例題按四舍六入五湊偶的原則，將下列數據舍283．有效數字運算規則有效數字的正確運算關系到實驗結果的精確表達，由于運算條件不一樣，運算規則也不一樣。以下分別介紹四則運算法、簡算法和由不確定度決定有效數字的方法。（1）四則運算法四則運算法的運算規則為：▲參加運算的各數字可以認為僅最后一位數碼是可疑位，其他的數碼是可靠位；▲可疑數與可疑數四則運算結果仍為可疑數；▲可疑數與可靠數的四則運算結果是可疑數；▲可靠數與可靠數的運算結果為可靠數；▲進位和借位一般都算是可靠數。最后結果按四舍六入五湊偶法則，僅保留一位可疑位。3．有效數字運算規則29例題：用四則運算法計算6.325+72.2=和69.68—51.845=6.325+72.278.52569.68—51.845

17.835解：∴6.325+72.2=78.5∴69.68-51.845=17.84

例題：用四則運算法計算6.325+72.2=和69.68—30大物實驗誤差理論2-課件31大物實驗誤差理論2-課件32（2）簡算法簡算法的運算規則為：①加減法運算規則幾個數相加減時，仍然按正常運算進行；計算結果的可疑位與各數值中最高的可疑位對齊。②乘除法運算規則幾個數相乘除時，計算結果的有效數字位數與各數值中有效數字位數最少的一個相同（或最多再保留一位）。③乘方、開方的有效數字與其底數的有效數字相同或多取一位。④三角函數的有效數字與角度的有效數字相同。⑤對于自然對數或常用對數：某數x的自然對數lnx，其小數部份的位數取與該數的有效數字位數相同；某數x的常用對數lgx，其小數部份的位數取與該數的有效數字位數相同或多取一位。實際上③—⑤的簡算法非常粗略、難以適用，僅供參考。它們的計算結果必須按照下面的不確定度規則處理。（2）簡算法33大物實驗誤差理論2-課件34（3）由不確定度決定有效數字的原則函數運算不像四則運算那樣簡單，而要根據不確定度傳遞公式計算出函數的不確定度，然后，根據測量結果最后一位數字與不確定度對齊的原則來決定有效數字，稱不確定度法。

（3）由不確定度決定有效數字的原則35大物實驗誤差理論2-課件36大物實驗誤差理論2-課件37大物實驗誤差理論2-課件38（五）、常用實驗數據的處理方法1．列表法在記錄和處理實驗測量數據時，經常把數據列成表格，它可以簡單而明確地表示有關物理量之間的對應關系，便于隨時檢查測量結果是否正確合理，及時發現問題，利于計算和分析誤差，并在必要時對數據隨時查對。通過列表法可有助于找出有關物理量之間的規律性，得出定量的結論或經驗公式等。2．作圖法物理實驗中所得到的一系列測量數據，也可以用圖線直觀地表示出來。作圖法就是在坐標紙上描繪出一系列數據間對應關系的圖線。它是研究物理量之間變化規律，找出對應的函數關系，求經驗公式的常用方法之一。通過作圖，可以求出待測的物理量及修正曲線和校準曲線等。（五）、常用實驗數據的處理方法1．列表法39（1）作圖的規則①作圖一定要使用坐標紙和鉛筆，圖的大小位置要合理，要根據測量的有效數字的多少和結果的需要正確選擇單位、比例和原點（坐標軸的起點不一定從變量的“0”開始）。②寫出圖紙名稱，標明軸名及單位，軸上按選定的比例標出若干等距離的整齊的數值標度，標度的數值的位數應與實驗有效數字位數一致。③用鉛筆以“＋”標出實驗數據點，不同曲線可以用不同符號，如“☉”、“△”、“×”等。重要點的坐標要寫出，如計算斜率時所選取兩點的坐標。④連線要用直尺（直線、折線）或曲線尺（光滑曲線），要使數據點在線的兩側合理分布。用鉛筆連線要細而清晰、光滑和完整。⑤最后寫明實驗者姓名和實驗日期，并將圖紙貼在實驗報告的適當位置。作好一張正確、美觀的圖是實驗技能訓練中的一項重要的基本功，要求每個同學都應該掌握。（1）作圖的規則40（2）直線圖解法簡介①取點在直線上任取兩點A（x1,y1）,B（x2,y2）,用“△”符號表示所取的點，注明兩點坐標值以后與實驗點相區別。一般不要取原實驗點。所取兩點在實驗范圍內應盡量彼此分開一些，以減小誤差。②求斜率k在坐標紙的適當空白的位置,由直線方程y=kx+b,寫出斜率的計算公式將兩點坐標值代入上式，寫出計算結果。③求截距b如果橫坐標的起點為零，其截距b為x=0時y的值，其直線的截距即由圖上直接讀出。如果起點不為零，可由式求出截距。（2）直線圖解法簡介413．逐差法逐差法是對等間距測量的有序數據，進行逐項或相等間隔項相減得到結果。它具有以下優點：①充分利用測量數據，具有對數據取平均的效果；②可以繞過一些具有定值的未知量，而求出所需要的實驗結果。它是物理實驗中常用的一種數據處理方法。1）逐差法的使用條件①自變量x是等間距變化的②函數可以寫成x的多項式形式，即2）逐差法的應用①驗證函數形式是線性關系②求物理量數值4.最小二乘法3．逐差法4.最小二乘法42補充：電阻箱電阻箱的面板如下圖所示，它的內部線路是用一套錳鋼線繞成的標準電阻。旋轉電阻箱的旋鈕，可以得到不同的電阻值。(1)電阻箱的使用常識①工作電流不能超過各電阻所規定額定電流值。②實驗中，使用電阻箱時不能使電阻值為零，以免損壞其它儀表。因此，當遇到電阻由90Ω變為100Ω時,應先將x100檔撥到1處，然后再將x10檔撥至0。補充：電阻箱43(2)電阻箱的主要指標①總電阻：電阻箱各旋鈕都放在最大值9時的總電阻。②額定功率：電阻箱每個電阻的功率額定值。由它可計算通過每個電阻的額定電流：

P為額定功率，R為某檔中每個電阻的阻值

③準確度等級：標準電阻箱的準確度等級分為0.01,0.02,0.05,0.1,0.2,0.5,1.0七個等級。若電阻箱為0.2級，則電阻箱的相對誤差為△R≤R×0.2%。④旋鈕的接觸電阻：不同等級電阻箱的接觸電阻不同，同一電阻箱上不同旋鈕的接觸電阻也不一樣。若只需用0.9Ω或9.9Ω以下的電阻值時，應選用“0”與“0.9”或“9.9”接線柱。(2)電阻箱的主要指標P為額定功率，R為某檔中每個電阻的阻44(3)電阻箱的儀器相對誤差通常由下面的公式計算：其中，ε為電阻箱的準確度等級；R為電阻箱所取的電阻值；b為與準確度等級有關的系數，m是所使用的電阻箱的轉盤數。例：一電阻箱取值為150Ω，電阻箱的準確度等級為0.1級（對0.1級電阻箱來說，ε=0.1，b=0.2），額定功率為0.25W，計算其工作電流和誤差．解：工作電流Ｉ＝ΔＲ＝Ｒ?ε％＋0.2%?M=150×0.1%+0.2%×6=0.15+0.012=0.162=0.2Ω

(3)電阻箱的儀器相對誤差通常由下面的公式計算：其中，ε為45作業：作業：46完完47

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一、緒論

1、課程簡介★學分2；學時54；學制2個學期，每學期開放式實驗教學約10周左右；★實驗內容：共至少必做18個實驗，每學期9個；其中，這學期包括：誤差理論及課程預備知識、固體密度測量（2）、測定物體的轉動慣量（3）、音叉的受迫振動與共振（40）、測定空氣的比熱容比（6）、電學基本器具的使用（8）、示波器的使用（10）、用非平衡電橋測量熱敏電阻的溫度特性（12）、分光計的調整和使用（19）、大學物理仿真實驗（23）；下個學期包括測定工程材料的楊氏模量（4）、聲速的測定（7）、伏安法測非線性電阻（11）、鐵磁材料的磁滯回線和基本磁化曲線（13）、RLC電路的串聯諧振（15）、霍爾效應及其應用（17）、用牛頓環測量球面曲率半徑（18）、衍射光柵（21）、傳感器技術（一）（26）★教學形式：網上選課，教師指導，學生獨立完成；本學期實驗開課時間第3周開始，第14周左右結束。★教學地點：機電大樓3樓B區。一、緒論49

2、成績評定方式：★總成績的評定總成績由平時成績和期末成績兩部分組成，分成優、良、中、及格、重修五個等級。★平時成績的評定每個實驗先按10分計，其中預習2分、操作4分、數據處理4分,最后累計各個實驗項目的分數總和，并折合成百分制,占總成績的60%(70%)。理論課的作業占總成績的5%。★期末成績的考核期末考試分為“筆試”和“操作考試”兩種方式。這學期采用筆試方式，期末成績占總成績的比例為35%。下學期采用操作方式，期末成績占總成績的比例為30%。★重修的規定同屬下列任一情況者，直接重修：①總成績低于60分②期末考成績低于40分③平時有一個實驗沒有做或沒交實驗報告。④兩個實驗(合同期末考)成績低于及格線(6分/60分)注：實驗報告無教師簽字者一率無效；實驗報告抄襲者，先檢查，后經集體討論處理。2、成績評定方式：50

3、怎樣寫實驗報告第一部分：預習報告：做實驗之前認真閱讀實驗講義，寫好以下內容：實驗目的、實驗原理、實驗儀器、實驗步驟及注意事項、數據記錄表：（預習中完成表格的設計）第二部分：數據處理與計算。此部分在實驗后進行，包括：作圖、計算結果與誤差估算：圖解法要求使用正式的坐標紙并按作圖規則進行。計算時，先將文字公式化簡，再代入數值進行運算。誤差估算要預先寫出誤差公式，并把數據代入。結果：按標準形式寫出實驗的結果。在必要時，注明結果的實驗條件。討論：對實驗中出現的問題進行說明和討論，或寫出實驗心得和建議等。作業題：完成教師指定的作業題，思考題選做。實驗報告要求同學努力做到書寫清晰，字跡端正，數據記錄整潔，圖表合格，文理通順，內容簡明扼要。實驗報告一律用專用的物理實驗報告冊書寫。4、遵守實驗規則準備充分、禮儀得當、嚴肅認真、接受檢查、善始善終3、怎樣寫實驗報告4、遵守實驗規則51二、誤差理論與數據處理的基礎知識

（一）、誤差的基本概念1．測量★根據測量方法可分為直接測量與間接測量。直接測量：可用測量儀器或儀表直接讀出測量值的測量。間接測量：測出直接測量值，根據待測物理量與直接測量值的函數關系，通過計算才能得到測量結果的過程。★從測量條件上，測量可分為等精度測量和不等精度測量。等精度測量：在對某一物理量進行多次重復測量過程中，每次測量條件都相同的一系列測量稱為等精度測量。不等精度測量：在對某一物理量進行多次重復測量時，測量條件完全不同或部分不同，各結果的可靠程度自然也不同的一系列測量稱為不等精度測量。

絕大多數實驗都采用等精度測量，本教材主要討論等精度測量。二、誤差理論與數據處理的基礎知識（一）、誤差的基本概念52

2．測量誤差★真值：反映物質固有屬性的物理量所具有的客觀的真實數值。從統計理論可以證明，在條件不變的情況下進行多次測量時，可以用算術平均值作為相對真值或叫約定真值。★誤差：我們把測量結果與真值之間的差叫做測量誤差。在數據處理時，要估算和分析誤差。測量誤差可以用絕對誤差表示，也可以用相對誤差表示，還可以用百分誤差表示。絕對誤差=測量值—真值

相對誤差=|絕對誤差/真值|×100%百分誤差=|（測量最佳值—公認值）/公認值|×100%2．測量誤差53

3．誤差的分類測量誤差按原因與性質可分為系統誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。（1）系統誤差系統誤差是指在相同條件下，多次測量同一物理量時，測量值對真值的偏離（大小和方向）總是相同。系統誤差的主要來源有：①儀器誤差②環境誤差③個人誤差④理論和公式的近似性等。增加測量次數并不能減小系統誤差，為了減小和消除系統誤差，必須針對其來源，逐步具體考慮，或者采用一定的方法對結果進行修正。常用的方法有交換法、補償法、替代法、半周期法等等。（2）隨機誤差隨機誤差（又稱偶然誤差）是指在同一條件下多次測量同一物理量，測量結果總是稍許差異且變化不定。隨機誤差來源于各種偶然的或不確定的因素：①人們的感官的靈敏度的差異和不穩定；②外界環境的干擾;③被測對象本身的統計漲落；等等。雖然偶然誤差的存在使每一次測量偏大或偏小是不確定的，但是，根據統計規律，增加測量次數可以減少偶然誤差。（3）過失誤差過失誤差是由于觀測者不正確地使用儀器、操作錯誤、讀數錯誤、觀察錯誤、記錄錯誤、估算錯誤等不正常情況下引起的誤差。錯誤已不屬于正常的測量工作范圍，應將其剔除。3．誤差的分類54

4．誤差的估算（1）隨機誤差的估算①算術平均值的普遍表達式為這里xi是第i次測量值，n是測量次數。②殘差：每一次測量值與算術平均值的差值，用△xi表示。因為用殘差去估算誤差，所得結果為測量值的實驗標準偏差，用表示。4．誤差的估算55③標準偏差★任意一次測量值的實驗標準偏差近似為這個公式又稱貝塞爾公式，它表示如果在相同條件下進行多次測量，其隨機誤差遵從高斯分布，那么，任意一次測量值誤差出現在（-,）區間內的概率為68.3％。★算術平均值的實驗標準偏差為它表示如果多次測量的隨機誤差遵從高斯分布，那么，其值出現在區域內的概率為68.3％。③標準偏差這個公式又稱貝塞爾公式，它表示如果在相同條件下進行56④誤差的傳遞公式由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關系式稱為誤差的傳遞公式。設間接測量值為N，它是由各互不相關的直接測量值A、B、C…通過函數關系f求得的，即：N=f（A,B,C…）設各個獨立的直接測量值的誤差分別為、、…等，則間接測量值N的誤差估算需要用誤差的方和根合成：標準誤差公式：相對誤差公式：

④誤差的傳遞公式相對誤差公式：57⑤誤差取位規則約定：絕對誤差一般取一位有效數字，其尾數只進不舍，以免產生估計不足。相對誤差一般取兩位有效數字。測量值的有效數字尾數應與絕對誤差的尾數取齊，其尾數采用四舍六入五湊偶法則。5．測量結果的評價（1）精密度:表示測量結果中的隨機誤差大小的程度。它是指在一定的條件下進行重復測量時，所得結果的相互接近程度，是描述測量重復性高低的。（2）準確度表示測量結果中的系統誤差大小的程度。它是指測量值或實驗所得結果與真值符合的程度，即描述測量值接近真值的程度。（3）精確度是測量結果中系統誤差和隨機誤差的綜合。它是指測量結果的重復性及接近真值的程度。⑤誤差取位規則5．測量結果的評價58打靶結果：（a）精密度高準確度較差（b）準確度高而精密度較差（c）精密度和準確度都很好，亦即精確度高。例：打靶結果：（a）精密度高準確度較差例：59（二）、常用儀器誤差簡介★儀器誤差是指在儀器規定的使用條件下，正確使用儀器時，儀器的指示數和被測量的真值之間可能產生的最大誤差。可由制造廠家和計量單位使用更精密的儀器，經過檢定比較后給出，其符號可正可負，用△儀表示。★根據儀器的級別計算儀器誤差為△儀=量程×級別％★如果沒有注明儀器級別，在物理實驗教學中，對于一些連續刻度（可估讀）的儀器，一般用儀器的最小刻度的一半作為△儀；而非連續刻度（不可估讀）的儀器，一般用儀器的最小刻度作為△儀。★服從均勻分布的儀器的最大誤差所對應的標準誤差為：

σ儀=△儀/（二）、常用儀器誤差簡介★儀器誤差是指在儀器規定的使用條件下60★作為物理實驗教學，我們約定正確使用儀器時儀器的基本誤差(或最大誤差)如下：米尺：儀器誤差△儀=0.5mm五十分游標卡尺：儀器誤差△儀=0.02mm二十分游標卡尺：儀器誤差△儀=0.05mm螺旋測微器：儀器誤差△儀=0.005mm分光計：儀器誤差△儀=1‘讀數顯微鏡：儀器誤差△儀=0.005mm機械秒表：儀器誤差△儀=0.2S電表：儀器誤差△儀=(量程M×ε%)[單位]；ε為儀器精度等級值電阻箱：儀器誤差△儀=(ε%R+0.002m)Ω,m是總轉盤數。★作為物理實驗教學，我們約定正確使用儀器時儀器的基本誤差(或61（三）、不確定度的基本概念1．不確定度的概念由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度稱為不確定度。它是表征被測量的真值所處的量值范圍的評定。不確定度是測量結果表述中的一個重要參數，它能合理地說明測量值的分散程度和真值所在范圍的可靠程度。不確定度亦可理解為一定置信概率下誤差限的絕對值，記為△。例如，測得一單擺的周期為：T=（2.163±0.002）s（P=68.3％）其中0.002為不確定度，P=68.3％表示置信度概率。這樣表示的意義為：被測單擺周期的真值，落在（2.163-0.002，2.163+0.002）范圍內的可能性有68.3％。

（三）、不確定度的基本概念622．不確定度與誤差不確定度是在誤差理論的基礎上發展起來的，不確定度A類分量的估算用到了標準誤差計算的公式。誤差用于定性描述實驗測量的有關理論和概念，不確定度用于實驗結果的定量分析和運算等。用測量不確定度代替誤差評定測量結果，具有方便性、合理性和實用性。誤差可正可負，而不確定度永遠是正的。誤差是不確定度的基礎，不確定度是對經典誤差理論的一個補充，是現代誤差理論的內容之一，它還有待于進一步的研究、完善和發展。2．不確定度與誤差633．不確定度的分類測量不確定度由幾個分量構成。通常，按不確定度值的計算方法分為A類不確定度和B類不確定度，或A類分量和B類分量。★

A類不確定度是在一系列重復測量中，用統計學方法計算的分量△A：★

B類不確定度是用其他方法（非統計學方法）評定的分量△B：作為簡化處理，A類分量△A指標準偏差，B類分量△B僅考慮儀器標準偏差，并約定式中C=（假定儀器誤差滿足均勻分布）★將A類和B類分量采用方和根合成，得到合成不確定度表達式為：3．不確定度的分類★B類不確定度是用其他方法（非統計學方法644、測量結果與不確定度的估算

1）直接測量結果處理①、單次測量單次測量的結果表示式為：其中x測是單次測量值，也稱為單次測量最佳值。不確定度取儀器基本誤差△儀，儀器基本誤差可在儀器說明書或某些技術標準中查到，或通過估算獲得。4、測量結果與不確定度的估算1）直接測量結果處理65②、多次測量多次測量的結果表示式為：其中是一列測量數據（即測量列）的算術平均值（即測量列的最佳值）；△是合成不確定度，即：（置信度68.3%）

不確定度取位規則：在物理實驗中，絕對不確定度△一般取一位有效數字，其尾數采用只進不舍法則。相對不確定度E一般取兩位有效數字。測量值有效數字取位規則：測量值的尾數應與絕對不確定度的尾數取齊，其尾數的進位采用四舍六入五湊偶法則。②、多次測量其中是一列測量數據（即測量列）的算66例：用米尺（△儀=0.5mm）測一鋼絲長度，結果：x1=14.0，x2=14.4，x3=14.9，x4=14.2，x5=14.1，x6=14.8mm，試寫出它的測量結果，并用不確定度表示。例：用米尺（△儀=0.5mm）測一鋼絲長度，結果：x1=167例：用螺旋測微計（△儀=0.005mm）測量某一鐵板的厚度：①單次測量值為3.779mm；②8次測量一列數據為3.784，3.779，3.786，3.781，3.778，3.782，3.780，3.778mm。試分別寫出它的測量結果。

例：用螺旋測微計（△儀=0.005mm）測量某一鐵板的厚682）間接測量結果處理

①

不確定度傳遞公式不確定度的傳遞公式與標準偏差的傳遞公式形式上完全相同，即按方和根合成。對于待測的間接物理量N=f（A,B,C…）★絕對不確定度的計算式為：★相對不確定度計算式為：公式1公式2公式3其中，公式2適用于和差形式的函數，公式3適用于積商形式的函數。

2）間接測量結果處理①不確定度傳遞公式★相對不確定度計69表：幾種常用的不確定度傳遞公式表：幾種常用的不確定度傳遞公式70②計算處理思路在處理間接測量結果時，對于以加減運算為主的函數關系，一般利用函數關系算出算術平均值，然后用公式1計算絕對不確定度，再用公式2求出相對不確定度。而以乘除運算為主的函數關系，一般先用公式3計算相對不確定度，再計算絕對不確定度，步驟如下：1）利用函數關系算出：2）對函數取對數lnN=lnf（A,B,C…）3）求相對不確定度

（公式3

）4）求絕對不確定度5）給出數據結果：②計算處理思路71例：用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為，若測得m=（29.05±0.03）g,m1=（19.07±0.03）g,=（0.9998±0.0002）g/cm3,分別計算出和例：用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為725．不確定度的分配與儀器的合理選配不確定度傳遞公式還可以用來分析各直接測量值的不確定度對間接測量結果不確定度影響的大小，為合理選用測量儀器和實驗方法提供依據。均分原則：假定各個分不確定度對總不確定度的影響相等，由此得各直接測量量的不確定度，最后確定測量各個直接測量量應選用的儀器。若要求：可令

：則

計算出后，確定儀器誤差。5．不確定度的分配與儀器的合理選配可令：則計算73（四）有效數字及其計算1．有效數字的定義我們把測量結果中可靠的幾位數字加上可疑的一位數字統稱為測量結果的有效數字。有效數字中的最后一位雖然是可疑的，即有誤差，但它還是在一定的程度上反映了客觀實際，因此，它也是有效數字，不能去掉。2．有效數字在實際中的應用（1）有效數字與儀器的關系測量值的有效數字一方面反映被測物理量的大小，另一方面它又反映所用儀器的測量精度，可見測量儀器的精度越高，所得結果的有效數字位數越多。而對于表頭，讀數誤差可能小于儀表誤差，要計算儀表相應量程的誤差來確定可疑位，然后按有效數字記錄數據。（2）誤差的取位和結果的表示誤差決定有效數字。在物理實驗中，一般情況下絕對誤差的位數只取一位，相對誤差的有效數字一般只取到兩位，其尾數采用只進不舍的法則。測量值的尾數應與絕對誤差所在位取齊，其尾數采用四舍六入五湊偶的法則。（四）有效數字及其計算74（3）科學表示法為表示方便，特別是對較大或較小的數值，測量結果常用科學表示法。科學表示法是把數字寫成10的冪次方形式，通常小數點前只寫一位非零數字。（4）換算單位在十進制換算單位中，測量結果的單位變換不影響有效數字位數。非十進制的單位中，測量結果的變換單位，還要用誤差來定有效數字的位數。如t=（1.8±0.1）min=（108±6）s。例題按四舍六入五湊偶的原則，將下列數據舍入到小數點后第二位8.0260；7.0445；6.0656；5.6351；4.2055（3）科學表示法例題按四舍六入五湊偶的原則，將下列數據舍753．有效數字運算規則有效數字的正確運算關系到實驗結果的精確表達，由于運算條件不一樣，運算規則也不一樣。以下分別介紹四則運算法、簡算法和由不確定度決定有效數字的方法。（1）四則運算法四則運算法的運算規則為：▲參加運算的各數字可以認為僅最后一位數碼是可疑位，其他的數碼是可靠位；▲可疑數與可疑數四則運算結果仍為可疑數；▲可疑數與可靠數的四則運算結果是可疑數；▲可靠數與可靠數的運算結果為可靠數；▲進位和借位一般都算是可靠數。最后結果按四舍六入五湊偶法則，僅保留一位可疑位。3．有效數字運算規則76例題：用四則運算法計算6.325+72.2=和69.68—51.845=6.325+72.278.52569.68—51.845

17.835解：∴6.325+72.2=78.5∴69.68-51.845=17.84

例題：用四則運算法計算6.325+72.2=和69.68—77大物實驗誤差理論2-課件78大物實驗誤差理論2-課件79（2）簡算法簡算法的運算規則為：①加減法運算規則幾個數相加減時，仍然按正常運算進行；計算結果的可疑位與各數值中最高的可疑位對齊。②乘除法運算規則幾個數相乘除時，計算結果的有效數字位數與各數值中有效數字位數最少的一個相同（或最多再保留一位）。③乘方、開方的有效數字與其底數的有效數字相同或多取一位。④三角函數的有效數字與角度的有效數字相同。⑤對于自然對數或常用對數：某數x的自然對數lnx，其小數部份的位數取與該數的有效數字位數相同；某數x的常用對數lgx，其小數部份的位數取與該數的有效數字位數相同或多取一位。實際上③—⑤的簡算法非常粗略、難以適用，僅供參考。它們的計算結果必須按照下面的不確定度規則處理。（2）簡算法80大物實驗誤差理論2-課件81（3）由不確定度決定有效數字的原則函數運算不像四則運算那樣簡