立體圖形與路徑最短問題商丘市第十三中學趙來福立體圖形與路徑最短問題商丘市第十三中學趙來福1BA問題情境一在棱長為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？它有幾種爬行方法？（注：每一個面均能爬行）BA問題情境一在棱長為1的立方體的右下角A處有2知識準備1、什么是線段公理？兩點之間，線段最短2、勾股定理在Rt△ABC中，兩直角邊為a、b,斜邊為c，則a2+b2=c2.知識準備1、什么是線段公理？兩點之間，線段最短2、勾股定理在3思維點撥1、在立體圖形中，怎樣利用線段公理解決路徑最短問題？2、怎樣展開立方體的表面？展開哪幾個面呢？3、和A相連的面有哪幾個？和B相連的面有哪幾個？4、最短路徑要走幾個面？怎么走？思維點撥1、在立體圖形中，怎樣利用線段公理解決4BA前面右面上面后面左面下面標注六個表面BA前面右面上面后面左面下面標注六個表面5思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點從A到B走最短路徑要走幾個面？①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點從A到B走最短6AB1前面右面B方法一1、展開前面和右面2、連接AB1則AB1為最短路徑由勾股定理得AB1=AB1前面右面B方法一1、展開前面和右面2、連接AB1則AB7AB2B前面上面方法二2、連接AB2則AB2為最短路徑AB2=1、展開前面和上面由勾股定理得AB2B前面上面方法二2、連接AB2則AB2為最短路徑AB28左面上面A1B3方法三2、連接A1B3則A1B3為最短路徑A1B3=1、展開前面和上面由勾股定理得左面上面A1B3方法三2、連接A1B3則A1B3為最短路徑A9方法四2、連接AB4則AB4為最短路徑AB4=1、展開左面和后面由勾股定理得AB4方法四2、連接AB4則AB4為最短路徑AB4=1、展開左面和10方法五2、連接AB5則AB5為最短路徑AB5=1、展開下面和右面由勾股定理得AB5方法五2、連接AB5則AB5為最短路徑AB5=1、展開下面和11方法六2、連接AB6則AB6為最短路徑AB6=1、展開下面和后面由勾股定理得AB6方法六2、連接AB6則AB6為最短路徑AB6=1、展開下面和12總結從A到B共有六種最短路徑最短路徑為BA總結從A到B共有六種最短路徑最短路徑為BA13AB問題情境二在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境二在底面半徑為1、高為2的圓柱體的14AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖15在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面如圖迂回爬行去吃左上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境三在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一16AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖17AB問題情境四在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境四在底面半徑為1、高為2的圓柱體的18思維分析1、問題四和問題二的區別在哪兒？問題二指明在側面爬行；問題四沒有說明.2、問題四沒有指明側面會發生什么變化？可能出現2種情況：①在側面爬行②沿A向上再沿上底面直徑爬行到B思維分析1、問題四和問題二的區別在哪兒？問題二指明在側面爬行19AB情況一解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB情況一解決從A點向上剪開，則側面展開20情況二解決ABB

如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短路徑.最短路徑為：4情況二解決ABB如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種21比較選擇最短路徑兩個最短路徑和4哪一個最小呢？比較大小：因此最短路徑為側面爬行的是否所有的情況下都是側面爬行路徑最短嗎？高和底面半徑換一些數據試一試.比較選擇最短路徑兩個最短路徑和22AB延伸問題五在底面半徑為r、高為h的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB延伸問題五在底面半徑為r、高為h的圓柱體的23AB情況一從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB情況一從A點向上剪開，則側面展開圖如24情況二解決ABB

如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短路徑.最短路徑為：h+2r情況二解決ABB如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種25比較與總結比較和h+2r的大小=h+2r比較與總結比較和h26543AB在長為5、寬為3、高為4的長方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？問題情境六543AB在長為5、寬為3、高為4的長方體的右27思維分析1、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么相同和不同點呢？和A相連的面是左面、前面和下面；和B相連的面是上面、右面和后面.共有六種不同的選擇路徑這六種不同選擇的路徑大小相同嗎？思維分析1、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么相同和不同28思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點543AB思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點543AB29543ABB情況一展開前面和右面，連接AB，此時路徑最短.543ABB情況一展開前面和右面，連接AB，此時路徑最短.30543ABB情況二展開前面和上面，連接AB，此時路徑最短.543ABB情況二展開前面和上面，連接AB，31543ABBA情況三展開左面和上面，連接AB，此時路徑最短.543ABBA情況三展開左面和上面，連接AB32比較和總結比較三種情況的最短路徑且另三種情況與上述三種情況結果分別相同因此爬行的最短路徑為比較和總結比較三種情況的最短路徑且另三種情況與上述三種情況結33ABC問題情境七如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長為4,一只螞蟻要從底面圓周上一點B出發,沿圓錐側面爬行一圈再回到點B,問它爬行的最短路線是多少?ABC問題情境七如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長為34ABCB’思維分析圓錐的側面展開圖如圖所示，連接BB‘，則BB’為螞蟻爬行的最短路徑.ABCB’思維分析圓錐的側面展開圖如圖所示，連接35ABC41B’解:設圓錐的側面展開圖為扇形ABB’,∠BAB’=n°∴△ABB’是直角三角形解得:n=90∵圓錐底面半徑為1,母線長為4連接BB’,即為螞蟻爬行的最短路線∴2π=4nπ180問題解決∴BB’=答:螞蟻爬行的最短路線為.ABC41B’解:設圓錐的側面展開圖為扇形ABB’,∠BA36如圖，圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻要從底面圓周上一點B出發，沿圓錐側面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC上，問它爬行的最短路線是多少？ABC問題情境八如圖，圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻要從底37將圓錐沿AB展開成扇形ABB’問題解決將圓錐沿AB展開成扇形ABB’問題解決38立體圖形與路徑最短問題商丘市第十三中學趙來福立體圖形與路徑最短問題商丘市第十三中學趙來福39BA問題情境一在棱長為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？它有幾種爬行方法？（注：每一個面均能爬行）BA問題情境一在棱長為1的立方體的右下角A處有40知識準備1、什么是線段公理？兩點之間，線段最短2、勾股定理在Rt△ABC中，兩直角邊為a、b,斜邊為c，則a2+b2=c2.知識準備1、什么是線段公理？兩點之間，線段最短2、勾股定理在41思維點撥1、在立體圖形中，怎樣利用線段公理解決路徑最短問題？2、怎樣展開立方體的表面？展開哪幾個面呢？3、和A相連的面有哪幾個？和B相連的面有哪幾個？4、最短路徑要走幾個面？怎么走？思維點撥1、在立體圖形中，怎樣利用線段公理解決42BA前面右面上面后面左面下面標注六個表面BA前面右面上面后面左面下面標注六個表面43思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點從A到B走最短路徑要走幾個面？①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點從A到B走最短44AB1前面右面B方法一1、展開前面和右面2、連接AB1則AB1為最短路徑由勾股定理得AB1=AB1前面右面B方法一1、展開前面和右面2、連接AB1則AB45AB2B前面上面方法二2、連接AB2則AB2為最短路徑AB2=1、展開前面和上面由勾股定理得AB2B前面上面方法二2、連接AB2則AB2為最短路徑AB246左面上面A1B3方法三2、連接A1B3則A1B3為最短路徑A1B3=1、展開前面和上面由勾股定理得左面上面A1B3方法三2、連接A1B3則A1B3為最短路徑A47方法四2、連接AB4則AB4為最短路徑AB4=1、展開左面和后面由勾股定理得AB4方法四2、連接AB4則AB4為最短路徑AB4=1、展開左面和48方法五2、連接AB5則AB5為最短路徑AB5=1、展開下面和右面由勾股定理得AB5方法五2、連接AB5則AB5為最短路徑AB5=1、展開下面和49方法六2、連接AB6則AB6為最短路徑AB6=1、展開下面和后面由勾股定理得AB6方法六2、連接AB6則AB6為最短路徑AB6=1、展開下面和50總結從A到B共有六種最短路徑最短路徑為BA總結從A到B共有六種最短路徑最短路徑為BA51AB問題情境二在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境二在底面半徑為1、高為2的圓柱體的52AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖53在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面如圖迂回爬行去吃左上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境三在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一54AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB問題解決從A點向上剪開，則側面展開圖55AB問題情境四在底面半徑為1、高為2的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB問題情境四在底面半徑為1、高為2的圓柱體的56思維分析1、問題四和問題二的區別在哪兒？問題二指明在側面爬行；問題四沒有說明.2、問題四沒有指明側面會發生什么變化？可能出現2種情況：①在側面爬行②沿A向上再沿上底面直徑爬行到B思維分析1、問題四和問題二的區別在哪兒？問題二指明在側面爬行57AB情況一解決從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB情況一解決從A點向上剪開，則側面展開58情況二解決ABB

如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短路徑.最短路徑為：4情況二解決ABB如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種59比較選擇最短路徑兩個最短路徑和4哪一個最小呢？比較大小：因此最短路徑為側面爬行的是否所有的情況下都是側面爬行路徑最短嗎？高和底面半徑換一些數據試一試.比較選擇最短路徑兩個最短路徑和60AB延伸問題五在底面半徑為r、高為h的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？AB延伸問題五在底面半徑為r、高為h的圓柱體的61AB情況一從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接AB，則AB為爬行的最短路徑.最短路徑：AB情況一從A點向上剪開，則側面展開圖如62情況二解決ABB

如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短路徑.最短路徑為：h+2r情況二解決ABB如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種63比較與總結比較和h+2r的大小=h+2r比較與總結比較和h64543AB在長為5、寬為3、高為4的長方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？問題情境六543AB在長為5、寬為3、高為4的長方體的右65思維分析1、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么相同和不同點呢？和A相連的面是左面、前面和下面；和B相連的面是上面、右面和后面.共有六種不同的選擇路徑這六種不同選擇的路徑大小相同嗎？思維分析1、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么相同和不同66思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點543AB思維方法和過程A點前面左面下面上面右面后面B點543AB67543ABB情況一展開前面和右面，連接AB，此時路徑最短.543ABB情況一展開前面和右面，連接AB，此時路徑最短.68543ABB情況二展開前面和上面，連接AB，此時路