第一頁，共50頁。第一頁，共50頁。考綱要求1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．2．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.熱點提示1.高考卷中小題、大題均有涉及對本節內容的考查，難度多為中檔．2．考查的重點是求兩直線的交點、求點線距離、線線距離及與圓相結合解決點到直線的距離等問題．3．考查數形結合、轉化思想的靈活應用.第二頁，共50頁。考綱要求1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．熱點1．兩條直線的交點(jiāodiǎn)設兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的 就是方程組

的解；交點(jiāodiǎn)坐標第三頁，共50頁。交點(jiāodiǎn)坐標第三頁，共50頁。若方程組有唯一(wéiyī)解，則兩條直線 ，此解就是 ；若方程組 ，則兩條直線無公共點，此時兩條直線 ；反之，亦成立．相交(xiāngjiāo)交點(jiāodiǎn)的坐標無解平行第四頁，共50頁。若方程組有唯一(wéiyī)解，則兩條直線 ，此解就是 2．幾種距離(1)兩點間的距離平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝特別(tèbié)地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝(2)點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝第五頁，共50頁。2．幾種距離第五頁，共50頁。(3)兩條平行線間的距離(jùlí)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離(jùlí)d＝第六頁，共50頁。(3)兩條平行線間的距離(jùlí)第六頁，共50頁。在應用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時應注意什么問題？提示：(1)求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數相同的一般形式(xíngshì)后，才能套用公式計算.第七頁，共50頁。第七頁，共50頁。答案(dáàn)：C第八頁，共50頁。答案(dáàn)：C第八頁，共50頁。第九頁，共50頁。第九頁，共50頁。答案(dáàn)：D第十頁，共50頁。答案(dáàn)：D第十頁，共50頁。3．與直線(zhíxiàn)2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線(zhíxiàn)方程是__________．答案(dáàn)：2x＋3y＋8＝0第十一頁，共50頁。3．與直線(zhíxiàn)2x＋3y－6＝0關于點(1，－第十二頁，共50頁。第十二頁，共50頁。5．k為何(wèihé)值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點在第一象限．第十三頁，共50頁。5．k為何(wèihé)值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與第十四頁，共50頁。第十四頁，共50頁。【例1】求經過(jīngguò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．第十五頁，共50頁。第十五頁，共50頁。第十六頁，共50頁。第十六頁，共50頁。解法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(jiāodiǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.第十七頁，共50頁。解法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，第十八頁，共50頁。第十八頁，共50頁。

運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行(píngxíng)的直線系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.第十九頁，共50頁。第十九頁，共50頁。變式遷移1過兩直線x＋2y－3＝0與2x－y－1＝0的交點(jiāodiǎn)，且與點P(0,0)的距離為1的直線方程為__________．答案(dáàn)：x＝1或y＝1第二十頁，共50頁。變式遷移1過兩直線x＋2y－3＝0與2x－y－1＝0的【例2】已知直線l經過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段(xiànduàn)長為5，求直線l的方程．第二十一頁，共50頁。第二十一頁，共50頁。第二十二頁，共50頁。第二十二頁，共50頁。由直線(zhíxiàn)l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線(zhíxiàn)l的傾斜角為0°或90°.又由直線(zhíxiàn)l過點P(3,1)，故直線(zhíxiàn)l的方程為x＝3或y＝1.第二十三頁，共50頁。由直線(zhíxiàn)l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135解法二：設直線l與l1、l2分別(fēnbié)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，兩式相減得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5，①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②第二十四頁，共50頁。解法二：設直線l與l1、l2分別(fēnbié)相交于A(x(1)本題也可以按題目的自然順序要求設出l的方程，求出l與l1及l2的交點A、B，使|AB|＝5，求l.這種方法思路自然，但求解整理較難，而解法一采用數形結合，先求夾角再求直線的斜率和傾斜角，從方法上看較為簡單．解法二技巧性較強，采用設而不求，設出交點坐標，利用整體思想處理問題(wèntí)，在一定程度上簡化了運算過程．第二十五頁，共50頁。第二十五頁，共50頁。(2)這類題一般有下列三種情況，被兩已知平行直線截得的線段為定長a的直線，當a小于兩平行線間的距離(jùlí)時無解，當a等于兩平行線間的距離(jùlí)時有唯一解，當a大于兩平行線間的距離(jùlí)時，有且只有兩解.第二十六頁，共50頁。(2)這類題一般有下列三種情況，被兩已知平行直線截得的線段為變式遷移(qiānyí)2(2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為則m的傾斜角可以是 ()①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是__________．(寫出所有正確答案的序號)第二十七頁，共50頁。變式遷移(qiānyí)2(2009·全國卷Ⅰ)若直線m答案(dáàn)：①⑤第二十八頁，共50頁。答案(dáàn)：①⑤第二十八頁，共50頁。【例3】(1)在直線(zhíxiàn)l：3x－y－1＝0上求一點P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線(zhíxiàn)l：3x－y－1＝0上求一點Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小．第二十九頁，共50頁。第二十九頁，共50頁。甲第三十頁，共50頁。甲第三十頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。乙第三十二頁，共50頁。乙第三十二頁，共50頁。已知兩點A，B在直線l的異側，可在l上找一點M使|MA|－|MB|為最大．方法是可先求出點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，連結A′B或(AB′)，設它與l的交點為M，則M即為所求．在直線l上找一點P到兩定點A、B的距離(jùlí)之和最小，則P必在線段AB上，故將l同側的點利用對稱轉化為異側的點；若到兩定點A、B的距離(jùlí)之差最大，則P必定在AB的延長線上，或BA的延長線上，故將l異側上的點利用對稱性變為同側的點第三十三頁，共50頁。第三十三頁，共50頁。變式遷移3直線(zhíxiàn)x－2y＋1＝0關于直線(zhíxiàn)x＝1對稱的直線(zhíxiàn)方程是 ()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0第三十四頁，共50頁。變式遷移3直線(zhíxiàn)x－2y＋1＝0關于直線答案(dáàn)：D第三十五頁，共50頁。答案(dáàn)：D第三十五頁，共50頁。【例4】求證：任意△ABC中，垂心H、重心G和外心I三點共線，并且HG＝2GI.證明(zhèngmíng)：如下圖，以直線AB為x軸，過點C且垂直于直線AB的直線為y軸，建立直角坐標系．第三十六頁，共50頁。第三十六頁，共50頁。第三十七頁，共50頁。第三十七頁，共50頁。第三十八頁，共50頁。第三十八頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。本題充分利用直線方程、直線與直線的位置關系(guānxì)等知識，通過運算證明了平面幾何中一個重要定理．在上述解答過程中，先根據條件建立適當的平面直角坐標系，使點用有序數對(坐標)表示，直線用方程表示．點是否在同一直線上等價于點的坐標是否都滿足于同一個二元一次方程，求兩條直線的交點等價于求兩條直線的方程所組成的方程組的解等等．這些都充分體現了坐標法思想的本質，即通過數量關系(guānxì)去刻畫幾何關系(guānxì).第四十頁，共50頁。第四十頁，共50頁。變式遷移4如右圖所示，已知P是等腰△ABC的底邊BC上一點，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析(jiěxī)法證明：|PM|＋|PN|為定值．第四十一頁，共50頁。變式遷移4如右圖所示，已知P是等腰△ABC的底邊BC上一證明：過點A作AO⊥BC，垂足為O，以O為原點，建立如右圖所示的直角坐標系，設B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(0，b)，P(x1,0)，a，b為定值，x1為參數(cānshù)，－a≤x1≤a，∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，AC的方程是bx＋ay－ab＝0，第四十二頁，共50頁。證明：過點A作AO⊥BC，垂足為O，以O為原點，建立如右圖所第四十三頁，共50頁。第四十三頁，共50頁。1．用解析法研究平面內兩條直線(zhíxiàn)的位置關系時，有平行、相交、重合三種．從方程的角度來說，對于兩條直線(zhíxiàn)的方程組成的方程組若有唯一解，則兩直線(zhíxiàn)相交；若無解，則兩直線(zhíxiàn)平行；若有無窮多個解，則兩直線(zhíxiàn)重合，反之亦然．第四十四頁，共50頁。第四十四頁，共50頁。2．距離公式和中點坐標公式是解析幾何中的兩個重要工具，應用廣泛．(1)通過距離與長度的計算可以解決三點共線問題(wèntí)、三角形面積計算問題(wèntí)、四邊形形狀判斷問題(wèntí)，以及距離最值問題(wèntí)．(2)通過中點坐標公式與其他知識的有機結合，可以解決一系列的對稱問題(wèntí)．第四十五頁，共50頁。2．距離公式和中點坐標公式是解析幾何中的兩個重要工具，應用廣①點P(x0，y0)關于Q(a，b)的對稱點的坐標為(2a－x0,2b－y0)．②點P(x0，y0)關于直線l：Ax＋By＋C＝0的對稱點為P′(x′，y′)，l⊥PP′且PP′的中點在直線l上，所以(suǒyǐ)x′，y′滿足的方程組為第四十六頁，共50頁。①點P(x0，y0)關于Q(a，b)的對稱點的坐標為(2a－由此可解得P′的坐標為(x′，y′)．③代點轉移法是求已知直線關于軸l對稱的直線方程(fāngchéng)的有效方法，應通過解題把握實質．第四十七頁，共50頁。由此可解得P′的坐標為(x′，y′)．第四十七頁，共50頁。3．直線系方程(fāngchéng)具有某一個共同性質的一組直線叫做直線系，它的方程(fāngchéng)叫做直線系方程(fāngchéng)．(1)平行直線系：與Ax＋By＋C＝0平行的直線可以表示為Ax＋By＋m＝0(C≠m)(其中m為參數)；(2)垂直直線系：與Ax＋By＋C＝0垂直的直線可以表示為Bx－Ay＋m＝0(其中m為參數)；第四十八頁，共50頁。3．直線系方程(fāngchéng)第四十八頁，共50頁。(3)過兩已知直線(zhíxiàn)交點的直線(zhíxiàn)系：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1與l2相交，則過l1與l2交點的直線(zhíxiàn)可以寫為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，不包含l2)．第四十九頁，共50頁。(3)過兩已知直線(zhíxiàn)交點的直線(zhíxià4．解析(jiěxī)法即坐標法，就是用代數的方法研究平面幾何問題．其實質就是在幾何圖形上建立適當的坐標系，使點用坐標表示，直線、線段用方程表示．利用數形結合思想方法把直線與方程有機結合起來，運用方程的知識解決問題．第五十頁，共50頁。4．解析(jiěxī)法即坐標法，就是用代數的方法研究平面第一頁，共50頁。第一頁，共50頁。考綱要求1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．2．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.熱點提示1.高考卷中小題、大題均有涉及對本節內容的考查，難度多為中檔．2．考查的重點是求兩直線的交點、求點線距離、線線距離及與圓相結合解決點到直線的距離等問題．3．考查數形結合、轉化思想的靈活應用.第二頁，共50頁。考綱要求1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．熱點1．兩條直線的交點(jiāodiǎn)設兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的 就是方程組

的解；交點(jiāodiǎn)坐標第三頁，共50頁。交點(jiāodiǎn)坐標第三頁，共50頁。若方程組有唯一(wéiyī)解，則兩條直線 ，此解就是 ；若方程組 ，則兩條直線無公共點，此時兩條直線 ；反之，亦成立．相交(xiāngjiāo)交點(jiāodiǎn)的坐標無解平行第四頁，共50頁。若方程組有唯一(wéiyī)解，則兩條直線 ，此解就是 2．幾種距離(1)兩點間的距離平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝特別(tèbié)地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝(2)點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝第五頁，共50頁。2．幾種距離第五頁，共50頁。(3)兩條平行線間的距離(jùlí)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離(jùlí)d＝第六頁，共50頁。(3)兩條平行線間的距離(jùlí)第六頁，共50頁。在應用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時應注意什么問題？提示：(1)求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數相同的一般形式(xíngshì)后，才能套用公式計算.第七頁，共50頁。第七頁，共50頁。答案(dáàn)：C第八頁，共50頁。答案(dáàn)：C第八頁，共50頁。第九頁，共50頁。第九頁，共50頁。答案(dáàn)：D第十頁，共50頁。答案(dáàn)：D第十頁，共50頁。3．與直線(zhíxiàn)2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線(zhíxiàn)方程是__________．答案(dáàn)：2x＋3y＋8＝0第十一頁，共50頁。3．與直線(zhíxiàn)2x＋3y－6＝0關于點(1，－第十二頁，共50頁。第十二頁，共50頁。5．k為何(wèihé)值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點在第一象限．第十三頁，共50頁。5．k為何(wèihé)值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與第十四頁，共50頁。第十四頁，共50頁。【例1】求經過(jīngguò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．第十五頁，共50頁。第十五頁，共50頁。第十六頁，共50頁。第十六頁，共50頁。解法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(jiāodiǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.第十七頁，共50頁。解法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，第十八頁，共50頁。第十八頁，共50頁。

運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行(píngxíng)的直線系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.第十九頁，共50頁。第十九頁，共50頁。變式遷移1過兩直線x＋2y－3＝0與2x－y－1＝0的交點(jiāodiǎn)，且與點P(0,0)的距離為1的直線方程為__________．答案(dáàn)：x＝1或y＝1第二十頁，共50頁。變式遷移1過兩直線x＋2y－3＝0與2x－y－1＝0的【例2】已知直線l經過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段(xiànduàn)長為5，求直線l的方程．第二十一頁，共50頁。第二十一頁，共50頁。第二十二頁，共50頁。第二十二頁，共50頁。由直線(zhíxiàn)l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線(zhíxiàn)l的傾斜角為0°或90°.又由直線(zhíxiàn)l過點P(3,1)，故直線(zhíxiàn)l的方程為x＝3或y＝1.第二十三頁，共50頁。由直線(zhíxiàn)l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135解法二：設直線l與l1、l2分別(fēnbié)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，兩式相減得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5，①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②第二十四頁，共50頁。解法二：設直線l與l1、l2分別(fēnbié)相交于A(x(1)本題也可以按題目的自然順序要求設出l的方程，求出l與l1及l2的交點A、B，使|AB|＝5，求l.這種方法思路自然，但求解整理較難，而解法一采用數形結合，先求夾角再求直線的斜率和傾斜角，從方法上看較為簡單．解法二技巧性較強，采用設而不求，設出交點坐標，利用整體思想處理問題(wèntí)，在一定程度上簡化了運算過程．第二十五頁，共50頁。第二十五頁，共50頁。(2)這類題一般有下列三種情況，被兩已知平行直線截得的線段為定長a的直線，當a小于兩平行線間的距離(jùlí)時無解，當a等于兩平行線間的距離(jùlí)時有唯一解，當a大于兩平行線間的距離(jùlí)時，有且只有兩解.第二十六頁，共50頁。(2)這類題一般有下列三種情況，被兩已知平行直線截得的線段為變式遷移(qiānyí)2(2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為則m的傾斜角可以是 ()①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是__________．(寫出所有正確答案的序號)第二十七頁，共50頁。變式遷移(qiānyí)2(2009·全國卷Ⅰ)若直線m答案(dáàn)：①⑤第二十八頁，共50頁。答案(dáàn)：①⑤第二十八頁，共50頁。【例3】(1)在直線(zhíxiàn)l：3x－y－1＝0上求一點P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線(zhíxiàn)l：3x－y－1＝0上求一點Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小．第二十九頁，共50頁。第二十九頁，共50頁。甲第三十頁，共50頁。甲第三十頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。乙第三十二頁，共50頁。乙第三十二頁，共50頁。已知兩點A，B在直線l的異側，可在l上找一點M使|MA|－|MB|為最大．方法是可先求出點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，連結A′B或(AB′)，設它與l的交點為M，則M即為所求．在直線l上找一點P到兩定點A、B的距離(jùlí)之和最小，則P必在線段AB上，故將l同側的點利用對稱轉化為異側的點；若到兩定點A、B的距離(jùlí)之差最大，則P必定在AB的延長線上，或BA的延長線上，故將l異側上的點利用對稱性變為同側的點第三十三頁，共50頁。第三十三頁，共50頁。變式遷移3直線(zhíxiàn)x－2y＋1＝0關于直線(zhíxiàn)x＝1對稱的直線(zhíxiàn)方程是 ()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0第三十四頁，共50頁。變式遷移3直線(zhíxiàn)x－2y＋1＝0關于直線答案(dáàn)：D第三十五頁，共50頁。答案(dáàn)：D第三十五頁，共50頁。【例4】求證：任意△ABC中，垂心H、重心G和外心I三點共線，并且HG＝2GI.證明(zhèngmíng)：如下圖，以直線AB為x軸，過點C且垂直于直線AB的直線為y軸，建立直角坐標系．第三十六頁，共50頁。第三十六頁，共50頁。第三十七頁，共50頁。第三十七頁，共50頁。第三十八頁，共50頁。第三十八頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。本題充分利用直線方程、直線與直線的位置關系(guānxì)等知識，通過運算證明了平面幾何中一個重要定理．在上述解答過程中，先根據條件建立適當的平面直角坐標系，使點用有序數對(坐標)表示，直線用方程表示．點是否在同一直線上等價于點的坐標是否都滿足于同一個二元一次方程，求兩條直線的交點等價于求兩條直線的方程所組成的方程組的解等等．這些都充分體現了坐標法思想的本質，即通過數量關系(guānxì)去刻畫幾何關系(guānxì).第四十頁，共50頁。第四十頁，共50頁。變式遷移4如右圖所示，已知P是等腰△ABC的底邊BC上一點，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析(jiěxī)法證明：|PM|＋|PN|為定值．第四十一頁，共50頁。變式遷移4如右圖所示，已知P是等腰△ABC的底邊BC上一證明：過點A作AO⊥BC，垂足為O，以O為原點，建立如右圖所示的直角坐標系，設B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(0，b)，P(x1,0)，a，b為定值，x1為參數(cānshù)，－a≤x1≤a，∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，AC的方程是bx＋ay－ab＝0，第四十二頁，共50頁。證明：過點A作AO⊥BC，垂足為O，以O為原點，建立如右圖所第四十三頁，共50頁。第四十三頁，共50頁。1．用解析法研究平面內兩條直線(zhíxiàn)的位置關系時，有平行、相交、重合三種．從方程的角度來說，對于兩條直線(zhíxiàn)的方程組成的方程組若有唯一解，則兩