教學設計一元二次方程的根與系數的關系【學習目標】1、學會用韋達定理求代數式的值。2、理解并掌握應用韋達定理求待定系數。3、理解并掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。4、能應用韋達定理分解二次三項式。【內容分析】韋達定理：對于一元二次方程，如果方程有兩個實數根，那么說明：（1）定理成立的條件（2）注意公式重的負號與b的符號的區別根與系數關系的三大用處（1）計算對稱式的值例若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．解：由題意，根據根與系數的關系得：(1)(2)(3)(4)說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達定理體現了整體思想．【課堂練習】1．設x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，則x12＋x22的值為_________2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝3．已知方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2EQ\F(1,2)，則k=;4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=;5．若關于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那么m的值為;設x1,x2是方程2x2－6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)EQ\F(1,x1)－EQ\F(1,x2)7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：（2）構造新方程理論：以兩個數為根的一元二次方程是。例解方程組x+y=5

xy=6

解：顯然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的兩根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程組的解為x1=2,y1=3

x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。（3）定性判斷字母系數的取值范圍例一個三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求k的取值范圍。解：設此三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b為的兩根，則c=2由題意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4∴為所求。【典型例題】例1已知關于的方程，根據下列條件，分別求出的值．(1)方程兩實根的積為5； (2)方程的兩實根滿足．分析：(1)由韋達定理即可求之；(2)有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論．解：(1)∵方程兩實根的積為5 ∴ 所以，當時，方程兩實根的積為5． (2)由得知： ①當時，，所以方程有兩相等實數根，故； ②當時，，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時，方程的兩實根滿足．說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足．例2已知是一元二次方程的兩個實數根． (1)是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由． (2)求使的值為整數的實數的整數值．解：(1)假設存在實數，使成立． ∵一元二次方程的兩個實數根 ∴， 又是一元二次方程的兩個實數根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在實數，使成立． (2)∵ ∴要使其值是整數，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值為整數的實數的整數值為．說明：(1)存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在． (2)本題綜合性較強，要學會對為整數的分析方法．

一元二次方程根與系數的關系練習題A組1．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是( ) A． B． C． D．2．若是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D．3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關于的方程的根，則等于( ) A． B． C． D．4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是( ) A． B． C． D．大小關系不能確定5．若實數，且滿足，則代數式的值為( ) A． B． C． D．6．如果方程的兩根相等，則之間的關系是______7．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是_______．8．若方程的兩根之差為1，則的值是_____．9．設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則=_____，=_____．10．已知實數滿足，則=_____，=_____，=_____．11．對于二次三項式，小明得出如下結論：無論取什么實數，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請您說明理由．12．若，關于的方程有兩個相等的的正實數根，求的值．13．已知關于的一元二次方程． (1)求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根； (2)若方程的兩根為，且滿足，求的值．14．已知關于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長． (1)取何值時，方程存在兩個正實數根？ (2)當矩形的對角線長是時，求的值．B組1．已知關于的方程有兩個不相等的實數根． (1)求的取值范圍； (2)是否存在實數，使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由．2．已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11．求證：關于的方程有實數根．3．若是關于的方程的兩個實數根，且都大于1． (1)求實數的取值范圍； (2)若，求的值