學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE21-學必求其心得，業必貴于專精模塊復習課一、計數原理1．分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．3．排列數（1)從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用Aeq\o\al(m,n）表示；(2）排列數公式Aeq\o\al(m，n)＝n（n－1）（n－2)…（n－m＋1）＝eq\f（n！,n－m!）. 4．組合數(1）從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符合Ceq\o\al（m,n)表示．（2)組合數公式Ceq\o\al（m,n)＝eq\f（nn－1n－2…n－m＋1，m!)＝eq\f(n！，m!n－m！)組合數性質：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al（n－m,n)。②Ceq\o\al（m,n＋1）＝Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n）。5．二項式定理（1）二項式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n）an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n）an－kbk＋…＋Ceq\o\al（n，n）bn叫做二項式定理．(2)相關概念①公式右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式；②各項的系數Ceq\o\al（k，n)叫做二項式系數；③展開式中的Ceq\o\al（k，n)an－kbk叫做二項展開式的通項,記作Tk＋1，它表示展開式的第k＋1項．6．楊輝三角(1）楊輝三角的特點①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數相等；②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，即Ceq\o\al（r，n＋1）＝Ceq\o\al（r－1，n)＋Ceq\o\al（r，n）。（2)各二項式系數的和①Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(1，n）＋Ceq\o\al（2，n)＋…＋Ceq\o\al(n，n）＝2n；②Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al（4，n）＋…＝Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al（5,n）＋…＝2n－1.二、隨機變量及其分布1．離散型隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列的定義及性質(1）一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi（i＝1,2，…,n）的概率P（X＝xi）＝pi，以表格形式表示為:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱上表為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列．用等式可表示為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，離散型隨機變量分布列還可以用圖象表示．(2）離散型隨機變量分布列的性質：(ⅰ）pi≥0，i＝1，2，…,n；(ⅱ）eq\o（∑，\s\up8（n），\s\do16(i＝1））pi＝1。3．特殊分布（1)兩點分布X01P1－pp像上面這樣的分布列叫做兩點分布．如果隨機變量X的分布列為兩點分布,就稱X服從兩點分布，并稱P＝p（x＝1）為成功概率．(2）超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P（X＝k）＝eq\f(C\o\al(k,m)C\o\al（n－k，N－M），C\o\al(n，N)),k＝0,1，2,…，m，即X01…mPeq\f(C\o\al（0，M)C\o\al（n－0，N－M）,C\o\al（n,N)）eq\f(C\o\al（1,M)C\o\al（n－1，N－M)，C\o\al(n，N））…eq\f（C\o\al（m，M)C\o\al（n－m，N－M),C\o\al(n,N)）其中m＝min{M，n｝,且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果隨機變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機變量X服從超幾何分布．4．條件概率（1)條件概率的定義一般地，設A,B為兩個事件，且P(A）＞0，稱P(B｜A）＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率．P(B|A)讀作A發生的條件下B發生的概率．（2)條件概率的性質①任何事件的條件概率都在0和1之間,即0≤P（B|A)≤1。②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A）＝P（B｜A）＋P(C｜A)．5．事件的相互獨立性(1）相互獨立事件的概念設A,B為兩個事件，若P（AB)＝P（A）·P(B），則稱事件A與事件B相互獨立．(2）相互獨立事件的性質如果事件A與B相互獨立,那么A與eq\x\to（B）,eq\x\to(A）與B，eq\x\to(A）與eq\x\to(B)也都相互獨立．6．獨立重復試驗與二項分布（1）n次獨立重復試驗一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．（2)二項分布一般地，在n次獨立重復試驗中,用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P（X＝k）＝Ceq\o\al(k，n)pk（1－p)n－k,k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p)，并稱p為成功概率．7．離散型隨機變量的均值與方差（1）一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E（X)＝eq\o（∑,\s\up8(n）,\s\do14(i＝1））xipi為隨機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．則把D(X)＝eq\o（∑，\s\up8(n),\s\do14(i＝1））（xi－E(X）)2pi叫做隨機變量X的方差，D(X）的算術平方根eq\r（DX）叫做隨機變量X的標準差，隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．(2)兩點分布與二項分布的均值①若隨機變量X服從兩點分布,則E（X）＝p；D(X)＝p（1－p)；②若X～B（n，p）,則E(X)＝np，D（X）＝np(1－p）．(3）性質若Y＝aX＋b，其中a，b為常數，則E（Y)＝E(aX＋b）＝aE（X)．D(aX＋b)＝a2D(X)．8．正態分布(1)定義一般地,如果對于任何實數a，b（a＜b)，隨機變量X滿足P（a＜X≤b)＝eq\i\in（b,a，)φμ，σ（x）dx，則稱隨機變量X服從正態分布．正態分布完全由參數μ和σ確定，因此正態分布常記作N(μ,σ2)．如果隨機變量X服從正態分布，則記為N（μ，σ2)．（2）正態分布在三個特殊區間內取值的概率及3σ原則①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0。683；P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0。997。三、統計案例1．回歸分析(1）回歸分析回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．(2）回歸直線方程方程eq\o(y，\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^）)x＋eq\o(a,\s\up8(^)）是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據（x1，y1）,（x2,y2），…，(xn，yn)的回歸方程,其中eq\o（a，\s\up8（^）），eq\o（b,\s\up8(^))是待定參數，其最小二乘估計分別為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(^))＝\f(\i\su（i＝1，n,)xi－\x\to(x）yi－\x\to(y），\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x）2)＝\f(\i\su(i＝1，n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1，n，x）\o\al（2，i)－n\x\to（x)2），\o（a,\s\up8（^))＝\x\to（y)－\o（b,\s\up8(^）)\x\to(x）,）)其中eq\x\to(x）＝eq\f(1，n)eq\o(∑，\s\up8(n）,\s\do14（i＝1））xi，eq\x\to（y）＝eq\f(1，n）eq\o(∑,\s\up8（n），\s\do14（i＝1）)yi,(eq\x\to（x），eq\x\to（y））稱為樣本點的中心．2．獨立性檢驗（1）2×2列聯表．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2｝，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d(2）χ2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．1．將3個不同的小球放入4個盒子中，則有不同的放法種數有34個.(×）［提示]本題是一個分步計數問題．對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，跟據分步乘法計數原理知共有4×4×4＝64種不同的放法．2．從甲、乙等6人中選出3名代表，甲一定當選，則有20種選法。(×)[提示]因為甲一定當選，所以只要從剩下的5人中選出2人即可，因此有Ceq\o\al（2,5)＝10種選法．3．三個人踢球，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢,經過5次傳遞后，球又回給甲，則不同的傳遞方式共有10種。(√）[提示］可利用樹狀圖進行求解．4．式子Aeq\o\al（m,n)＝eq\f(n!,n－m!）中m≠n.(×)[提示］當m＝n時，(n－m)！＝0！＝1，即求n個元素的全排列數．5．由0，1,2,3這4個數字組成的四位數中，有重復數字的四位數共有3×43－Aeq\o\al（3,4)＝168(個）（×)[提示］首位不含0,有3種選法，其余3位都有4種選法，共有3×43＝192個四位數；其中沒有重復數字的有3×3×2×1＝18個，故有重復數字的四位數共有192－18＝174個．6．3名醫生和6名護士被分配到三所學校為學生體檢，每校分配1名醫生和2名護士，則不同的分配方法有540種.(√）7．（a＋b）n的展開式中某一項的二項式系數與a,b無關.（√）8．在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（2，x）））6的二項展開式中，常數項為－160.（√）9．在(1－x）9的展開式中系數最大的項是第5項和第6項.（×)[提示］由通項公式得Tr＋1＝Ceq\o\al（r，9）(－1)rxr，故第r＋1項的系數為（－1）r·Ceq\o\al(r,9）。故當r＝4時，即第5項的系數最大．10．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0,則a7＋a6＋…＋a1的值為128。（×)［提示］當x＝0時，a0＝－1，當x＝1時a7＋a6＋a5＋…＋a1＋a0＝27，∴a7＋a6＋a5＋…＋a1＝27＋1＝129.11．若eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（a,\r（3，x)））)n的展開式中,僅有第5項的二項式系數最大，且x4的系數為7，則實數a＝eq\f(1，2）.(√)12．離散型隨機變量是指某一區間內的任意值．(×)[提示］隨機變量的取值都能一一列舉出來．13．在區間［0,10]內任意一個實數與它四舍五入取整后的整數的差值是離散型隨機變量．（×）［提示]可以取區間［0，10]內的一切值，無法按一定次序一一列出,故其不是離散型隨機變量．14．離散型隨機變量的分布列的每個隨機變量取值對應概率都相等．（×）[提示］因為分布列中的每個隨機變量能代表的隨機事件，并非都是等可能發生的事件．15．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1。(√)[提示］由分布列的性質可知，該說法正確．16．超幾何分布的模型是不放回抽樣．（√）17．超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點． （×)［提示]超幾何分布的模型特征是“由較明顯的兩部分組成”．18．若事件A發生的條件下，事件B發生，相當于A，B同時發生．(√）19．小王通過英語聽力測試的概率是eq\f（1,3）,他連續測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）））1eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3））)2＝eq\f（4,9).（×）［提示］所求概率應為P＝eq\f(2，3）×eq\f(2，3）×eq\f（1，3）＝eq\f（4,27）。20．試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值．（√）[提示]因為隨機試驗所有可能的結果是明確并且不只一個,只不過在試驗之前不能確定試驗結果會出現哪一個，故該說法正確．21．必然事件與任何一個事件相互獨立．(√)[提示］必然事件的發生與任何一個事件的發生，沒有影響．22．二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有正整數．（×）[提示]二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有自然數．23．若a是常數,則D（a）＝0.(√)24．已知Y＝3X＋2，且D(X）＝10，則D（Y）＝92。（×)［提示]∵D（X)＝10,且Y＝3X＋2∴D(Y）＝D(3X＋2)＝9D(X）＝90.25．離散型隨機變量的概率分布規律用分布密度曲線描述，連續型隨機變量的概率分布用分布列描述．(×）[提示］因為離散型隨機變量的概率分布規律用分布列描述，連續型隨機變量的概率分布規律用分布密度曲線（函數）描述．26．正態曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數μ，σ的變化而變化的．（×）[提示]正態曲線與x軸圍成的面積是1，它不隨μ和σ變化而變化．27．若χ2的觀測值大于6。635，則在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下，認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病．(×）［提示]χ2是檢驗吸煙與患肺病相關程度的量，是相關關系，而不是確定關系，是反映有關和無關的概率，故此說法不正確．28．如果兩個變量x與y之間不存在著線性關系，那么根據它們的一組數據（xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個線性方程．（×）［提示]任何一組（xi，yi）（i＝1，2，…，n)都能寫出一個線性方程,只是有無意義的問題，因此這個說法錯誤，線性關系是可以檢驗的，可以畫出帶狀散點圖,可以寫出一個擬合效果最好的線性方程．29．利用線性回歸方程求出的值是準確值．(×)[提示］因為利用線性回歸方程求出的值為估計值，而不是真實值．30．變量x與y之間的回歸直線方程表示x與y之間的真實關系形式．(×）［提示]因為變量x與y之間的線性回歸直線方程僅表示x與y之間近似的線性關系,x與y之間滿足y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差．1．（2017·全國卷Ⅰ）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，x2））)（1＋x)6展開式中x2的系數為（）A．15 B．20C．30 D．35C[因為（1＋x）6的通項為Ceq\o\al（r，6）xr，所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,x2）))（1＋x)6展開式中含x2的項為1·Ceq\o\al(2,6）x2和eq\f(1，x2)·Ceq\o\al（4,6)x4.因為Ceq\o\al（2,6）＋Ceq\o\al（4，6）＝2Ceq\o\al(2，6）＝2×eq\f(6×5，2×1）＝30，所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，x2))）(1＋x）6展開式中x2的系數為30.故選C。］2．(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（)A．12種 B．18種C．24種 D．36種D[由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為Ceq\o\al（1,3)·Ceq\o\al（2，4）·Aeq\o\al(2,2）＝36（種)，或列式為Ceq\o\al(1,3）·Ceq\o\al(2，4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f（4×3,2）×2＝36（種）．故選D.］3．(2018·全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23。在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是(）A。eq\f（1,12) B.eq\f（1，14)C.eq\f（1，15） D。eq\f（1,18）C[不超過30的所有素數有2,3,5,7，11,13，17，19，23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數有Ceq\o\al（2，10）種不同的取法，這10個數中兩個不同的數的和等于30的有3對,所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al（2，10)）＝eq\f（1，15），故選C.]4．（2018·全國卷Ⅲ）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f（2,x）))5的展開式中x4的系數為（）A．10 B．20C．40 D．80C[Tr＋1＝Ceq\o\al（r,5）（x2）5－req\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，x)））r＝Ceq\o\al(r,5）2rx10－3r,由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系數為Ceq\o\al（2,5)×22＝40.]5．(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數,DX＝2。4，P(X＝4)＜P（X＝6)，則p＝()A．0.7 B．0.6C．0。4 D．0。3B[由題意知，該群體的10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以DX＝10p（1－p)＝2.4，所以p＝0。6或p＝0.4.由P(X＝4）＜P（X＝6)，得Ceq\o\al(4,10)p4（1－p）6＜Ceq\o\al（6，10）p6（1－p)4,即(1－p）2＜p2,所以p＞0.5，所以p＝0.6。]6．（2017·全國卷Ⅱ）一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數，則DX＝________。1．96[由題意得X～B（100，0.02)，∴DX＝100×0。02×（1－0。02）＝1。96。］7．（2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗．設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0。(2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品,以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．(ⅰ)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？[解］（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）＝Ceq\o\al（2,20）p2(1－p)18.因此f′（p）＝Ceq\o\al（2,20）[2p(1－p)18－18p2(1－p）17]＝2Ceq\o\al(2,20)p（1－p）17(1－10p)．令f′（p)＝0，得p＝0。1.當p∈（0,0。1)時，f′(p)＞0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點為p0＝0。1。（2)由(1)知，p＝0。1.(ⅰ)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y～B(180,0。1）,X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y。所以EX＝E（40＋25Y)＝40＋25EY＝490。(ⅱ）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元．由于EX＞400，故應該對余下的產品作檢驗．8．(2018·全國卷Ⅱ）下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y（單位：億元)的折線圖．為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1,2,…，17）建立模型①:eq\o（y，\s\up8(^）)＝－30。4＋13。5t；根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1，2,…，7)建立模型②：eq\o（y,\s\up8(^））＝99＋17.5t.（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；(2）你認為用哪個模型得到的預