年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國(guó)二卷）適用省份海南、重慶、遼寧、貴州、廣西、吉林、黑龍江、甘肅、四川、云南、內(nèi)蒙古、陜西、山西、青海、寧夏、新疆、西藏。一、試卷結(jié)構(gòu)與難度分布試卷依舊保持19題的結(jié)構(gòu)模式，整體難度適中，計(jì)算量與閱讀量相比去年有所減少，對(duì)考生較為友好。試卷難度呈現(xiàn)梯度分布，起點(diǎn)較低，入口多樣。其中，單選題1-8題、多選題9-10題、填空題12-13題以及解答題15題、16題第（1）問(wèn)、17題第（1）問(wèn)都屬于基礎(chǔ)題，主要考查學(xué)生對(duì)基本概念、公式和方法的掌握，易于作答，這使得多數(shù)學(xué)生能夠順利入手，緩解考試緊張情緒，也有助于穩(wěn)定整體得分。然而，試卷也具備一定的區(qū)分度，如解答題18題和19題難度較大，對(duì)學(xué)生的思維能力和綜合素養(yǎng)提出了較高要求，能夠有效選拔出數(shù)學(xué)能力突出的學(xué)生。二、考查內(nèi)容特點(diǎn)1.

雙基固本，強(qiáng)化核心知識(shí)：試卷全面覆蓋集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等核心知識(shí)模塊，注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的熟練程度與靈活應(yīng)用能力，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和連貫性。例如，前幾道單選題分別考查了樣本平均數(shù)計(jì)算、復(fù)數(shù)運(yùn)算、集合運(yùn)算、解分式不等式、解三角形等基礎(chǔ)內(nèi)容；填空題12題考查向量運(yùn)算，13題考查導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，這些都是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的直接檢驗(yàn)。2.

情境賦能，鏈接生活實(shí)際：創(chuàng)設(shè)了多元的生活實(shí)際情境，實(shí)現(xiàn)從“考知識(shí)”到“考能力”的轉(zhuǎn)變。如填空題14題以圓柱形容器內(nèi)放置兩個(gè)同半徑的球?yàn)榍榫常疾閷W(xué)生的空間想象能力和構(gòu)建方程解題的能力；19題以學(xué)生熟悉的乒乓球練習(xí)為背景，構(gòu)建概率模型，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，增強(qiáng)實(shí)踐能力。3.

素養(yǎng)貫通，凸顯育人功能：緊扣數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，彰顯學(xué)科育人價(jià)值。例如18題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)，在含參數(shù)的區(qū)間上研究函數(shù)的單調(diào)性，并判斷極值點(diǎn)的2倍與零點(diǎn)的大小關(guān)系，考查學(xué)生的理性思維和邏輯推理能力；19題要求學(xué)生建立重復(fù)獨(dú)立事件的概率模型進(jìn)行計(jì)算與證明，體現(xiàn)了從直觀感知到嚴(yán)格論證的課標(biāo)要求，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。三、試題創(chuàng)新點(diǎn)1.

創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，考查思維能力：在命題上積極創(chuàng)新，如19題引入新穎的乒乓球練習(xí)情境研究概率關(guān)系，打破常規(guī)，考查學(xué)生在新情境下創(chuàng)造性分析問(wèn)題、建立新知識(shí)聯(lián)系并形成解題思路的能力。2.

增強(qiáng)探究開(kāi)放，考查思維品質(zhì)：創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式，增強(qiáng)試題的探索性和綜合性，如18題研究函數(shù)極值點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)問(wèn)由淺入深，邏輯性強(qiáng)，具有一定開(kāi)放性，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，有效考查學(xué)生的思維過(guò)程和思維品質(zhì)。3.

優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，靈活調(diào)整順序：對(duì)各知識(shí)模塊的考查順序和難易度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，如以往作為壓軸題的圓錐曲線題調(diào)整到16題，而概率題加強(qiáng)能力考查力度，安排在19題。這種調(diào)整打破學(xué)生機(jī)械應(yīng)試的套路，測(cè)試學(xué)生的應(yīng)變能力。一.2025年高考數(shù)學(xué)試題特色——數(shù)學(xué)運(yùn)算1.（2025全國(guó)二卷第5題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【技巧】又因，故，選A2.（2025全國(guó)二卷第13題）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則【答案】【解析】由題意有，所以，【技巧】不用展開(kāi)，利用運(yùn)算法則求導(dǎo)因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以.二．2025年高考數(shù)學(xué)試題特色——知識(shí)交匯2025年新高考試題中知識(shí)的交匯大多在本模塊內(nèi)進(jìn)行，如圓錐曲線與圓，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，立體幾何初步與空間向量等，二項(xiàng)分布與古典概型等符合大單元教學(xué)的理念。1．（2025全國(guó)二卷第11題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為2．（2025全國(guó)二卷第15題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點(diǎn)3．（2025全國(guó)二卷第17題）如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．4．（2025全國(guó)二卷第19題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)，記為打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)m，．2025年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)試題雙向細(xì)目表題號(hào)分值題型新高考Ⅰ卷考查內(nèi)容命題點(diǎn)15單選統(tǒng)計(jì)平均數(shù)25單選復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算35單選集合交集的運(yùn)算45單選不等式分式不等式55單選解三角形余弦定理65單選圓錐曲線拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)弦75單選數(shù)列等差數(shù)列基本量運(yùn)算85單選三角函數(shù)三角恒等變換96多選數(shù)列等比數(shù)列基本量運(yùn)算106多選函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值116多選圓錐曲線雙曲線的性質(zhì)125填空平面向量向量垂直的坐標(biāo)表示135填空導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值145填空立體幾何球的切接1513解答三角函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)1615解答圓錐曲線橢圓方程，弦長(zhǎng)1715解答立體幾何線面平面，二面角1817解答導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)，證明不等式1917解答概率與統(tǒng)計(jì)古典概型，二項(xiàng)分布的概率的最大問(wèn)題教學(xué)中注意改變學(xué)生以往的學(xué)習(xí)觀.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)不能單純地死記硬背，要理

深思熟慮仔細(xì)做一遍，確保基本概念、公式等真正理解牢固掌握.一些基本的運(yùn)算方法和

技巧也要掌握并能靈活運(yùn)用，做到熟能生巧.新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題引導(dǎo)我們要轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)理念.課

2025年新高考全國(guó)二卷數(shù)學(xué)試題及解析一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（

）A．8 B．9 C．12 D．18【答案】C【解析】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.2．已知，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)椋?故選：A.【知識(shí)拓展】除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3．已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故，故選：D.【知識(shí)拓展】對(duì)于集合的交運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．4．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】即為即，故，解集為，故選C.【知識(shí)拓展】不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項(xiàng)再通分(不要去分母),使不等號(hào)右邊為零,然后再用上述方法轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解.5．在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，又，所以，故選：A【知識(shí)拓展】解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)A在C上，過(guò)A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】對(duì)，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C【知識(shí)拓展】拋物線定義的應(yīng)用根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題．7．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以，故選：B.【知識(shí)拓展】（1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)椋瑒t，則，則.故選：D.【知識(shí)拓展】給值求值問(wèn)題一般是將待求式子化簡(jiǎn)整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；對(duì)B，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，則，故D正確；故選AD.【知識(shí)拓展】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否則會(huì)漏解或增解．10．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)A，因?yàn)槎x在上奇函數(shù)，則，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則是極大值點(diǎn)，故D正確；故選ABD.【知識(shí)拓展】1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．2.函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．11．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】不妨設(shè)漸近線為，在第一象限，在第三象限，對(duì)于A，由雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對(duì)于B，方法一：因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，故且，設(shè)，則，故，故，由A得，故即，故B錯(cuò)誤；方法二：因?yàn)椋驗(yàn)殡p曲線中，，則，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A與的一條漸近線交于、，則，則若過(guò)點(diǎn)往軸作垂線，垂足為，則，則點(diǎn)與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方法一：因?yàn)椋剩葿可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因?yàn)椋瑒t，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.【知識(shí)拓展】求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過(guò)解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量若，則【答案】【解析】，因?yàn)椋瑒t，則，解得.則，則.【知識(shí)拓展】1.求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．2.兩個(gè)向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．13．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則【答案】【解析】由題意有，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以.【知識(shí)拓展】根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．14．一個(gè)底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為．【答案】【解析】圓柱的底面半徑為，設(shè)鐵球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質(zhì)知，即，，【知識(shí)拓展】?jī)?nèi)切球問(wèn)題的處理思路通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，解題思路如下：（1）定球心：內(nèi)切球中球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知函數(shù)．(1)求;(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．【解】（1）由題意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋睿獾茫睿獾茫院瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【知識(shí)拓展】1.三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．2.已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．16．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求．【解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.（2）由題設(shè)直線的斜率不為0，故設(shè)直線，，由可得，故即，且，故，解得，故.【知識(shí)拓展】1.根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2＋m)＋eq\f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．2.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝17．如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．【解】（1）設(shè)，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋允瞧叫兴倪呅危裕裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫郑矫妫云矫嫫矫妫制矫妫云矫妫?）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕詾樵c(diǎn)，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋矫媾c平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.【知識(shí)拓展】1.判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2.利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過(guò)這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．18．已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點(diǎn)和零點(diǎn).（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【解】（1）由題得，因?yàn)椋裕O(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單