2022-2023學年烏魯木齊市高二上學期期中數學試題一、單選題1．如圖所示，在平行六面體中，E，F分別為，中點，．若，，，則向量可用表示為（

）A． B．C． D．D【分析】根據空間向量的線性運算關系可得，再轉化化簡可求.【詳解】由題可得.故選：D.2．若的三個頂點坐標分別為，，，則外接圓的圓心坐標為（

）A． B． C． D．A【分析】是直角三角形,故線段的中點即為外接圓的圓心，利用中點坐標公式求解.【詳解】由題得是直角三角形，且.所以的外接圓的圓心就是線段的中點，由中點坐標公式得.故選：A3．空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．A【分析】根據向量關系可得，再化簡計算求得即可求出.【詳解】因為，因為，所以，所以，故選：A.4．已知橢圓的左、右焦點分別為、，，，過點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（

）A．4 B．4 C． D．8C【分析】先根據題意求出，再根據橢圓定義即可求出.【詳解】因為，，又，所以，由橢圓定義可得的周長為.故選：C.5．圓截直線所得的弦長最短時，實數（）A． B． C．2 D．B【分析】根據直線方程得到直線經過定點，通過比較點到圓心的距離和半徑的大小得到點在圓的內部，再利用幾何的方法得到時弦長最短，最后利用垂直關系求解即可.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，直線，即，故直線恒過定點，又，所以點在圓內部，設到直線的距離為，當時，有最大值，即又直線被圓截得弦長為，所以當時弦長最短，此時時，又，所以，即.故選：B.6．點P在圓上，則的最小值是（

）A． B． C． D．C【分析】設，則，根據圓與直線有公共點即圓心到直線的距離不超過半徑列不等式，從而可得答案．【詳解】方程，表示以點為圓心，以1為半徑的圓．設，即，因為既在圓上又在直線上，所以直線與圓有公共點，圓心到的距離小于或等于半徑，由，解得．所以的最小值為．故選：C．7．如圖，已知正三棱柱側棱長是底面邊長的兩倍，，分別為和的中點，則下列陳述不正確的是（

）A．平面?B．C．與所成角的正弦值為D．與平面所成角的正切值為4B【分析】A選項，作出輔助線，證明，從而證明線面平行；B選項，作出輔助線，設出底面三角形的邊長為2，得到，從而不垂直，B說法錯誤；C選項，作出輔助線，找到與所成角，求出各邊長，得到正弦值；D選項，在BC選項基礎上得到∠FED為與平面所成角，求出正切值.【詳解】取AB的中點M，連接，因為，分別為和的中點，所以MEAC，且，因為AC，且，所以四邊形是平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，A正確；取AC的中點D，連接FD，BD，BF，CF，則，因為三棱柱為正三棱柱，則DF⊥底面ABC，因為底面ABC，所以DF⊥AC，DF⊥BD，因為三角形ABC為等邊三角形，所以BD⊥AC，設底面正三角形邊長為2，則側棱長為4，由勾股定理得：，，由于，故不垂直，B陳述不正確；連接DE，則，由勾股定理得：因為，所以或其補角為與所成角，故，故與所成角的正弦值為，C正確；因為DF⊥底面ABC，故∠FED為與平面所成角，D正確.故選：B.8．如圖，在菱形中，，線段，的中點分別為，，現將沿對角線翻折，則異面直線與所成的角余弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】設菱形的邊長為1，則，利用向量的平行四邊形法則得到，再利用數量積運算求出，再由，根據的范圍，利用余弦函數的性質求解.【詳解】設菱形的邊長為1，則，，，，，，所以，由圖可知：，所以，所以，所以，即異面直線與所成的角余弦的取值范圍為故選：B二、多選題9．橢圓C的方程為，焦點為，，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的焦距為B．橢圓C的長軸長為6C．橢圓C的離心率為D．橢圓C上存在點P，使得為直角AC【分析】由橢圓方程，計算，由焦距、長軸、離心率的定義可判斷選項A，B，C，當點P為左頂點或者右頂點時，最大，分析可判斷選項D【詳解】由題意，橢圓的焦距為，A正確；橢圓的長軸長為，B錯誤；橢圓的離心率，C正確；由已知，可求得，，，當點為左頂點或者右頂點時，最大，此時，又為銳角，可得，故，因此橢圓C上不存在點P，使得為直角，D錯誤故選：AC10．已知圓M：，以下四個命題表述正確的是（

）A．若圓與圓M恰有一條公切線，則m=-8B．圓與圓M的公共弦所在直線為C．直線與圓M恒有兩個公共點D．點P為x軸上一個動點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與MP交于點C，若Q，則CQ的最大值為BCD【分析】A選項，兩圓內切，根據圓心距等于半徑之差的絕對值，列出方程，求出；B選項，兩圓相減即為兩圓公共弦所在直線方程；C選項，求出直線所過定點坐標，得到定點在圓內，故直線與圓M恒有兩個公共點；D選項，由題意得到四點共圓，且為直徑，從而求出該圓的方程，與相減后得到直線的方程，進而求出直線MP的方程，聯立求出點坐標，消參后得到點的軌跡方程為圓，從而求出CQ的最大值.【詳解】由題意得：與內切，其中圓心為，半徑為，則，解得：，A錯誤；與相減得：，且兩圓相交，故圓與圓M的公共弦所在直線為，B正確；變形為，令，解得：，所以直線恒過點，由于，點在圓M內，故與圓M恒有兩個公共點，C正確；設，，由題意可知：四點共圓，且為直徑，故圓心為，半徑為，所以此圓的方程為，整理得，與相減得：，即為直線直線AB的方程，直線MP的方程為，整理得，聯立與，得到，故，由，解得：，將代入中，得，故，代入中，得到，軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以CQ的最大值為，即，D正確.故選：BCD求軌跡方程常用的方法：直接法，相關點法，交軌法，定義法，本題的難點在于求出點C的坐標后下一步的處理方法，本題中用到了求軌跡方程的交軌法，屬于較難一些的方法，要結合交點橫縱坐標的特點，整理得到，再代入其中一個式子中，即可求解.三、填空題11．若直線和直線平行，則___________．1【分析】由兩直線平行，可得出斜率之間的關系.【詳解】直線轉化為，故直線的斜率存在，而，所以直線的斜率也存在，直線轉化為，所以有，解得：或2.而當時，兩直線重合，所以.故112．設圓的圓心為，直線過，且與圓交于，兩點，若，則直線的方程為___________.或【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，根據弦長求出圓心到直線的距離，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.【詳解】解：圓，即，所以圓心為，半徑，又直線被圓截得的弦長，圓心到直線的距離，①當直線過且斜率不存在時，的方程為，滿足圓心到的距離為，，滿足題意；②當直線過且斜率存在時，設為，即，圓心到直線的距離，解得，直線方程為，綜合可得直線的方程為或，故或．13．已知焦點在x軸上的橢圓的左、右焦點分別為、，直線l過，且和橢圓C交于A，B兩點，，，則橢圓C的離心率為____________．##【分析】根據橢圓定義及已知可得在橢圓的短軸上，再表示出點B坐標，代入橢圓方程即可求出.【詳解】由橢圓定義可得，，因為，，則可得，所以在橢圓的短軸上，不妨設為上端點，則，設，則，因為，所以，將坐標代入橢圓方程可得，解得.故答案為.四、雙空題14．在棱長為3的正方體中，點，，G分別是棱，，上一點，，且平面，交于點O，當三棱柱的體積最大時，CF=____________．點G到平面ODE的距離是____________．

##0.75

【分析】設，可表示，借助二次函數性質可求得最值，在上取使得，在上取使，可證明，為中點，建立空間直角坐標系，由點到平面距離的向量公式可求解.【詳解】由題意，平面，設，則，故，當時，三棱柱的體積最大，此時.故，在上取使得，在上取使，則，平面，故平面，平面，平面平面，故，故，又，故，即為中點.以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，則，故,故點G到平面ODE的距離是.故，.五、解答題15．已知點，，.(1)求過點C且和直線平行的直線的方程；(2)若過B的直線和直線關于直線對稱，求的方程.(1)(2)【分析】（1）求出的斜率，根據直線平行的斜率關系，利用點斜式方程即可求出直線的方程；（2）求出C關于直線的對稱點，利用兩點式方程，即可求的方程.【詳解】（1）直線的斜率為，則過點C且和直線平行的直線的方程的斜率；則直線方程為，即.（2）直線的方程為設C關于對稱的點的坐標為，則，即，即，∵經過點，∴的方程為，即.16．已知正三棱錐P-ABC的所有棱長均為，點E，F分別為PA，BC的中點，點N在EF上，且，設．(1)用向量表示向量；(2)求PN與EB夾角的余弦值．(1)(2)【分析】（1）根據空間向量的線性運算結合空間向量基本定理求解，（2）利用基底法表示向量，利用向量的夾角求解線線角即可.【詳解】（1）由EN=3NF可得,由F為BC的中點可得,所以（2），兩兩夾角為，模長均為，所以，所以，，，設求PN與EB夾角為，則17．已知圓E經過點A（0，0），B（4，2），且圓心在直線x+y-1=0上.(1)求圓E的標準方程;(2)求過點P（-1，7）的圓E的切線方程.(1)(2)或【分析】(1)根據題意，設出圓的標準方程，聯立求出，再根據圓心在直線上即可求出圓心坐標和半徑，進而求解；(2)根據題意，先求出斜率不存在時的切線方程，然后設出斜率存在的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）由題意可知：設圓的標準方程為，所以將點分別代入圓的方程可得：，兩式相減可得：，又因為圓心在直線上，所以，所以，故圓的標準方程為,（2）由（1）可知：圓的方程為,過點作圓的切線，當斜率不存在時，切線方程為，當斜率存在時，設其切線方程為，也即，圓心到直線的距離，解得：，此時切線方程為，故過點的圓的切線方程為或.18．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面底面，，，且，分別為，的中點．(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，可得，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）取中點，由題可得平面，則為直線與平面所成的角，令，進而可得，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得．【詳解】（1）證明：取中點，連接，，為的中點，且，又且，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）解：平面平面，平面平面，平面，，平面，取中點，連接、，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，令，則，，所以，因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標系，，，，，，設平面的一個法向量，，即，令，則，，所以，又平面的一個法向量，設平面與平面所成銳二面角為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．19．已知橢圓，分別為的右頂點、下頂點．(1)過作直線的垂線，分別交橢圓于點，若，求橢圓離心率；(2)設，，直線過點的兩條相互垂直的直線，直線與圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，求面積的最大值．(1)；(2).【分析】（1）聯立方程組求出的橫坐標，根據，即可得到，從而求得離心率；（2）根據弦長的幾何求法可得，聯立直線與橢圓方程可得，從而可得面積，利用基本不等式即可求得最大值.【詳解】（1）由題意得：，，故可設直線的方程為，聯立方程組，解得，同理：直線的方程為，聯立方程組，解得：，因為，可得，即，整理得：，即，故橢圓離心率（2）由，，可得橢圓的方程為：，當直線的