2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市第七十三中學校高二上學期第一次月考數學試題一、單選題1．已知，，若，則與的值可以是（

）A．2， B．， C．－3，2 D．2，2A【分析】根據條件可得，然后算出即可.【詳解】因為，，所以，解得或，故選：A本題考查的是由空間向量的平行求參數，較簡單.2．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．D【分析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，對應的傾斜角為.故選：D本小題主要考查直線傾斜角，屬于基礎題.3．如圖，在長方體中，（

）A． B．C． D．D【分析】根據向量的運算法則得到，帶入化簡得到答案.【詳解】在長方體中，.故選：D.4．過點(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是（

）A．2x+y-12＝0 B．x-2y-1＝0或2x-5y＝0C．x-2y-1＝0 D．2x+y-12＝0或2x-5y＝0D【分析】根據直線是否過原點進行分類討論，結合截距式求得直線方程.【詳解】當直線過原點時，直線方程為，即.當直線不過原點時，設直線方程為，代入得，所以直線方程為.故選：D5．在空間直角坐標系中，平面的法向量為，已知，則到平面的距離等于()A．4 B．2 C．3 D．1B【詳解】設點到平面的距離為，則，，選B點到平面的距離的計算.6．在棱長為2的正方體中，O是底面的中心，E，F分別是的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．B【分析】取BC的中點G，連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得結論．【詳解】取BC的中點G．連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，如圖所示，∵E是CC1的中點，∴GC1EH，∴∠OEH為異面直線和所成的角．在△OEH中，，HE＝，OH＝．由余弦定理，可得cos∠OEH＝．故選：B本題考查異面直線所成的角，考查余弦定理的運用，解題的關鍵是作出異面直線所成的角，屬于中檔題．7．設aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件A【詳解】試題分析：運用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時a的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可．解：∵當a=1時，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系．8．設點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是A．B．C．D．B【詳解】試題分析：直線過定點，，若直線與線段有交點，所以或，若直線與線段沒有交點，則，即，解得：，選B.兩條直線的位置關系.【思路點晴】直線與線段沒有交點，則先求出有交點時斜率的取值范圍，然后取補集，就能得到沒有交點時的取值范圍.解決兩直線的位置關系問題要根據已知直線方程的形式靈活選用相應的條件，顯然該題中直接利用一般式方程對應的條件更為簡潔.另外利用直線的斜率和截距討論時，不要忘記斜率不存在時的討論.二、多選題9．下列四個命題中錯誤的有（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率越大B．直線傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為ACD【分析】根據直線的傾斜角和斜率的定義逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當傾斜角為銳角時，斜率大于0，當傾斜角為鈍角時，斜率小于0，故A錯誤；直線傾斜角的取值范圍是，故B正確；若一條直線的斜率為，此時可以為負角，而直線傾斜角的取值范圍是，故C錯誤；當直線的傾斜角時，直線的斜率不存在，故D錯誤.故選：ACD.10．已知空間中三點，則下列結論正確的有（

）A．與是共線向量B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是CD【分析】由空間向量共線定理判斷A，根據單位向量的定義判斷B，由向量數量積的定義求得向量夾角余弦值判斷C，利用法向量定義求得法向量判斷D．【詳解】對于，不存在實數，使得，所以與不是共線向量，所以錯誤;對于，因為，所以與共線的單位向量為或，所以錯誤;對于，向量，所以，所以C正確;對于，設平面的法向量是，因為，所以，即，令，則，所以D正確．故選.11．下列說法正確的是（

）A．截距相等的直線都可以用方程表示B．方程能表示平行y軸的直線C．經過點，傾斜角為的直線方程為D．經過兩點，的直線方程BD【分析】．當直線過原點時，無法表示；．當時，滿足條件；．當傾斜角為時，無法表示；．結合兩點式方程進行判斷即可.【詳解】解：對于A，截距相等為0的直線都不可以用方程表示，故錯誤；對于B，當時，方程能表示平行y軸的直線，故正確；對于C，經過點，傾斜角為的直線方程不能寫成，故錯；對于D，經過兩點，的直線均可寫成，故正確．故選：BD．12．已知直線,則下列命題正確的是（

）A．直線的傾斜角是B．無論如何變化,直線不過原點C．直線的斜率一定存在D．當直線和兩坐標軸都相交時,它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1BD【分析】根據直線方程考慮的值，當取時，顯然選項A錯誤；將原點代入直線方程；可知選項B正確，當時選項C錯誤；求出直線和兩坐標軸的交點，求出面積范圍即可判斷選項D正誤.【詳解】解:由題知,直線，若，則直線為，傾斜角為,與選項A不符,故選項A錯誤，將原點代入直線方程可得不符，故選項B正確，若,則直線為,斜率不存在,故選項C錯誤，當直線和兩坐標軸都相交時，交點為，它和坐標軸圍成的三角形的面積為，，故選項D正確，故選:BD三、填空題13．經過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線的方程為________.先聯立直線方程求出交點，再由垂直求出斜率即可求出直線方程.【詳解】由方程組，解得，即交點為，因為所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率為.由點斜式得所求直線方程為，即.故答案為.14．不論m為何實數，直線恒過的定點坐標是______________.【詳解】直線方程即：，求解方程組：可得：，即直線恒過定點.15．已知直三棱柱中,,,,為的中點,則點到平面的距離為______．1【分析】根據題意建立空間直角坐標系,找到點的坐標和平面的法向量,利用公式求出點到面的距離即可.【詳解】解:由題知,直三棱柱,且,故以為原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸建立如圖所示空間直角坐標系,,,為的中點,,,記平面法向量為,即,令,則,到平面的距離為.故答案為:116．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，點D是A1C1的中點，則異面直線AD和BC1所成角的大小為__________．【詳解】試題分析：如圖，以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，所以，即異面直線AD和BC1所成角為．異面直線所成角．四、解答題17．已知的三個頂點坐標分別為，，，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊的垂直平分線所在直線的方程．(1)(2)【分析】（1）利用斜率計算公式可得直線的斜率，利用點斜式即可得出．（2）利用中點坐標公式可得線段的中點坐標，利用相互垂直的直線斜率之間的關系可得的垂直平分線的斜率，利用點斜式即可得出．【詳解】（1）解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即（2）解：線段的中點坐標為，的垂直平分線的斜率為，的垂直平分線的方程為，即．18．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．(1)證明見解析(2)【分析】建立空間直角坐標系利用向量法即可證明線面平行.利用法向量和直線方向向量之間的關系即可求得正弦值.【詳解】（1）證明：以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，因為為棱的中點，為棱的中點，所以，，所以，，，設平面的一個法向量為，則令，則，因為，所以，因為平面，所以平面．（2）由（1）得，，設直線與平面所成的角為，則．19．直線l過點P（4,1），（1）若直線l過點Q（－1,6），求直線l的方程；（2）若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程．（1）；（2）或【分析】（1）由題，此直線經過兩點，故采用直線的兩點式方程，將P（4,1），Q（－1,6），代入到兩點式方程中，得到直線方程；（2）由題，經過一點的直線可設為直線的點斜式方程，將點坐標代入，得到y－1＝k（x－4），分別將x，y軸上的截距表示出來，由題中的關系可得到的關系式，求解即可.【詳解】解：（1）直線l的方程為＝，化簡，得x＋y－5＝0.（2）由題意知直線有斜率且不為零，設直線l的方程為y－1＝k（x－4），l在y軸上的截距為1－4k，在x軸上的截距為4－，故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，直線l的方程為或y＝－2x＋9.20．如圖所示，在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，點在上，，與平面成的角.（1）平面；（2）平面平面.（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】建立空間直角坐標系，（1）平面轉化為證明與平面的法向量垂直（2）先證明線面垂直，即證平面，再證面面垂直即可.【詳解】證明以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系∵平面∴為與平面所成的角.∴，∵∴，∴(1)設為平面的一個法向量,由即令，得又平面∴平面(2)如圖,取的中點連接則∵又∴又∴平面又平面∴平面⊥平面21．直線經過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程．，或【詳解】設所求直線方程為.∵直線過點P(－5，－4)，∴，得4a＋5b＝－ab，①又由已知得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，②由①②解得或∴所求方程為或.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.截距式直線方程，三角形面積.22．如圖，在多面體中，底面是邊長為的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，為線段的中點．（1）求到平面的距離及三棱錐的體積；（2）求證：平面．（1）到平面的距離為，；（2）證明見解析.【分析】（1）設，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離，計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積；（2）