曲線運動萬有引力與宇宙航行第四章第4講萬有引力與宇宙航行主干梳理對點激活橢圓

焦點

面積

半長軸

公轉周期

物體的質量m1和m2的乘積它們之間距離r的二次方

質點

7.9地球表面

發射

環繞

地球

11.2

太陽

16.7

相同

相同

不一定

牛頓運動定律

宏觀

低速

光速

波動

量子力學

特殊

遠小于

相對論物理學

量子力學

一定條件下

一

堵點疏通1．只有天體之間才存在萬有引力。(

)2．行星在橢圓軌道上的運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越小。(

)3．人造地球衛星繞地球運動，其軌道平面一定過地心。(

)4．地球同步衛星一定在赤道的正上方。(

)5．同步衛星的運行速度一定小于地球第一宇宙速度。(

)6．發射火星探測器的速度必須大于11.2km/s。(

)×

√

√

√

√

√

答案解析答案解析3．地球的公轉軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓。天文學家哈雷曾經在1682年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉半徑的18倍(如圖所示)，并預言這顆彗星將每隔一定時間就會出現。哈雷的預言得到證實，該彗星被命名為哈雷彗星。哈雷彗星最近出現的時間是1986年，請你根據開普勒第三定律估算，它下次飛近地球大約將在哪一年？答案答案2026年

解析4．一個質子由兩個u夸克和一個d夸克組成。一個夸克的質量是7.1×10－30kg，求兩個夸克相距1.0×10－16m時的萬有引力。答案解析答案3.36×10－37N

考點細研悟法培優答案嘗試解答選CD。由開普勒第二定律可知，相等時間內，太陽與海王星連線掃過的面積都相等，A錯誤；由機械能守恒定律知，從Q到N階段，除萬有引力做功之外，沒有其他的力對海王星做功，故機械能守恒，B錯誤；從P到Q階段，萬有引力做負功，動能轉化成海王星的勢能，所以動能減小，速率逐漸變小，C正確；從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負功后做正功，D正確。嘗試解答繞太陽沿橢圓軌道運行的行星在近日點線速度最大，越靠近近日點線速度越大，線速度大小與行星到太陽的距離成反比。[變式1－1]

(2021·安徽省皖西南八校高三上聯考)2020年是我國第一顆人造地球衛星“東方紅一號”衛星成功發射50周年。已知該衛星發射后先以近地點M點所在的圓為軌道做圓周運動，穩定后再變軌為如圖所示的橢圓軌道。下列說法正確的是(

)A．衛星在圓軌道上運動的周期小于在橢圓軌道上運動的周期B．衛星在橢圓軌道上運動時，在M點的線速度小于在N點的線速度C．衛星在變軌為橢圓軌道時需要減速D．衛星從M點運動到N點的過程中，地球對衛星的引力做正功，衛星的動能增大答案解析根據開普勒第三定律，衛星的軌道半長軸越大，周期越大，A正確；由開普勒第二定律得，衛星在近地點的速度大于在遠地點的速度，B錯誤；衛星在M點由圓軌道變為橢圓軌道是離心運動，需要加速，C錯誤；衛星從M點運動到N點的過程中，遠離地球，地球對衛星的引力做負功，衛星的動能減小，D錯誤。解析[變式1－2]

(2020·東北三省四市教研聯合體高三下模擬)如圖所示，已知地球半徑為R，甲、乙兩顆衛星繞地球運動。衛星甲做勻速圓周運動，其軌道直徑為4R，C是軌道上任意一點；衛星乙的軌道是橢圓，橢圓的長軸長為6R，A、B是軌道的近地點和遠地點。不計衛星間相互作用，下列說法正確的是(

)答案A．衛星甲在C點的速度一定小于衛星乙在B點的速度B．衛星甲的周期大于衛星乙的周期C．衛星甲在C點的速度一定小于衛星乙在A點的速度D．在任意相等的時間內，衛星甲與地心的連線掃過的面積一定等于衛星乙與地心的連線掃過的面積解析解析答案提示：火星自轉。

(2)求火星的密度需要先求哪些物理量？提示：火星的質量和半徑。

嘗試解答[變式2－1]

(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一組數據，不能計算出地球質量的是(

)A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)B．人造衛星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離答案解析[變式2－2]

(2020·湖北省宜昌市高三4月線上統一調研)(多選)行星各自衛星的軌道可以看作是圓形的。某同學根據A行星和B行星的不同衛星做圓周運動的半徑r與周期T的觀測數據，作出如圖所示的圖像，其中圖線a是根據A行星的不同衛星的數據作出的，圖線b是根據B行星的不同衛星的數據作出的。已知圖線a的斜率為k1，圖線b的斜率為k2，A行星半徑為B行星半徑的n倍，則(

)答案解析3．極地衛星和近地衛星(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋。(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。(3)兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心。例3

(2020·天津高考)北斗問天，國之夙愿。我國北斗三號系統的收官之星是地球靜止軌道衛星，其軌道半徑約為地球半徑的7倍。與近地軌道衛星相比，地球靜止軌道衛星(

)A．周期大

B.線速度大C．角速度大

D.加速度大答案嘗試解答[變式3－1]

(2020·安徽省皖江名校聯盟高三下第五次聯考)(多選)2019年9月12日，我國在太原衛星發射中心“一箭三星”發射成功?，F假設三顆星a、b、c均在赤道平面上繞地球做勻速圓周運動，其中a、b轉動方向與地球自轉方向相同，c轉動方向與地球自轉方向相反，a、b、c三顆星的周期分別為Ta＝6h、Tb＝24h、Tc＝12h，下列說法正確的是(

)A．a、b每經過6h相遇一次B．a、b每經過8h相遇一次C．b、c每經過8h相遇一次D．b、c每經過6h相遇一次答案解析[變式3－2]

(2020·湖北省荊門市高三元月調考)有a、b、c、d四顆地球衛星：a還未發射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動；b在地球的近地圓軌道上正常運行；c是地球同步衛星；d是高空探測衛星。各衛星排列位置如圖，則下列說法正確的是(

)A．a的向心加速度大于b的向心加速度B．四顆衛星的速度大小關系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同時間內d轉過的弧長最長D．d的運動周期可能是30h答案解析解析2．衛星軌道的突變：由于技術上的需要，有時要在適當的位置短時間內啟動飛行器上的發動機，使飛行器軌道發生突變，使其進入預定的軌道。如圖所示，發射同步衛星時，可以分多過程完成：例4

(多選)某火星探測器接近火星后，該探測器需經歷如圖所示的變軌過程，軌道Ⅰ為圓軌道，已知引力常量為G，則下列說法正確的是(

)A．探測器在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能B．探測器在軌道上運動時，運行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠC．探測器若從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，需要在P點朝速度反向噴氣D．若軌道Ⅰ貼近火星表面，并已知探測器在軌道Ⅰ上運動的角速度，可以推知火星的密度答案(1)探測器怎樣才能從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ？提示：在P點減速。(2)要求火星的密度，需要知道什么量？提示：火星的質量和半徑。嘗試解答[變式4]

我國于2020年發射火星探測器。假設圖示三個軌道是探測器繞火星飛行的軌道，其中軌道Ⅰ、Ⅲ均為圓形軌道，軌道Ⅱ為橢圓形軌道，三個軌道在同一平面內，軌道Ⅱ與軌道Ⅰ相切于P點，與軌道Ⅲ相切于Q點，不計探測器在變軌過程中的質量變化，則下列說法正確的是(

)A．探測器在軌道Ⅱ的任何位置都具有相同速度B．探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同加速度C．不論在軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ運行，探測器在P點的動量都相同D．不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點的加速度都相同答案解析根據開普勒第二定律可知，探測器在軌道Ⅱ上運動時，在距離火星較近的點速度較大，較遠的點速度較小，A錯誤；探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同大小的加速度，但是加速度的方向不同，B錯誤；探測器從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ要在P點加速，則探測器在軌道Ⅰ上P點的動量小于在軌道Ⅱ上P點的動量，C錯誤；不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點時受到火星的萬有引力相同，則其加速度相同，D正確。解析啟智微專題思想方法建模提能2雙星、多星模型前面我們討論的是類似太陽系的單星系統，其特點是有一個主星，質量遠大于周圍的其他星體，可以看成近似不動，所以其他星體繞它運動。除此之外，在宇宙空間，還存在兩顆或多顆質量差別不大的星體，它們離其他星體很遠，在彼此間的萬有引力作用下運動，組成雙星或多星系統。雙星系統軌道比較穩定，很常見，三星及其他更多星體的系統軌道不穩定，非常罕見。下面介紹具有代表性的雙星模型和三星模型。1．雙星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉動，如圖1所示。2．三星模型(1)三星系統繞共同圓心在同一平面內做圓周運動時比較穩定，三顆星的質量一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運動所需的向心力由其他星體對該星體的萬有引力的合力提供。(2)特點：對于這種穩定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉動的方向相同，運行的角速度、周期相同。(3)理想情況下，它們的位置具有對稱性，下面介紹兩種特殊的對稱軌道。①三顆星位于同一直線上，兩顆質量均為m的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖3甲所示)。②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖3乙所示)?！镜漕}例證】(2020·河北衡中同卷模擬)“雙星系統”由相距較近的星球組成，每個星球的半徑均遠小于兩者之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點O做勻速圓周運動。如圖所示，某一雙星系統中A星球的質量為m1，B星球的質量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是(

)答案解析解析名師點睛解決雙星、多星問題，要抓住四點(1)根據雙星或多星的運動特點及規律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和向心力?！踞槍τ柧殹?2020·遼寧省遼南協作校高三一模)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統。其中有一種三星系統如圖所示，三顆質量均為M的星位于等邊三角形的三個頂點上，任意兩顆星的距離均為R，并繞其中心O做勻速圓周運動。如果忽略其他星體對它們的引力作用，引力常量為G，以下對該三星系統的說法中正確的是(

)答案解析解析高考模擬隨堂集訓答案解析答案解析答案解析答案解析解析答案解析6．(2020·北京高考)我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”。已知火星質量約為地球質量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是(

)A．火星探測器的發射速度應大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發射速度應介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案解析解析7.(2020·浙江7月選考)火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運動的(

)答案解析8．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖象是(

)答案解析答案解析10．(2019·全國卷Ⅰ)(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖中虛線所示。假設兩星球均為質量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則(

)A．M與N的密度相等B．Q的質量是P的3倍C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍答案解析如圖，當x＝0時，對P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；對Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。解析解析11．(2018·全國卷Ⅰ)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星(

)A．質量之積

B．質量之和C．速率之和

D．各自的自轉角速度答案解析12．(2021·四川省達州市高三上第一次診斷性測試)假如地球自轉角速度增大，下列說法正確的是(

)A．放在赤道地面上的物體所受地球的萬有引力增大B．放在赤道地面上的物體重力減小C．放在兩極地面上的物體重力減小D．“一晝夜”時間不變答案解析地球的質量和半徑都沒有變化，故赤道地面上物體所受地球的萬有引力大小保持不變，A錯誤；地球繞地軸轉動，在赤道地面處物體所受的重力為mg＝F引－mω2R，則當地球自轉角速度變大時，放在赤道地面上的物體重力減小，B正確；在兩極點，物體轉動半徑為0，轉動所需向心力為0，此時物體的重力與萬有引力相等，故地球自轉角速度增加時，兩極地面上物體的重力保持不變，C錯誤；地球自轉角速度增大，則自轉周期變小，即“一晝夜”時間變短，D錯誤。解析課時作業一、選擇題(本題共12小題，每小題6分，共72分。其中1～9題為單選，10～12題為多選)1．(2019·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定(

)A．a金>a地>a火

B.a火>a地>a金C．v地>v火>v金

D.v火>v地>v金答案解析2．(2018·全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉周期T＝5.19ms，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為(

)A．5×109kg/m3 B.5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D.5×1018kg/m3答案解析3．(2019·北京高考)2019年5月17日，我國成功發射第45顆北斗導航衛星，該衛星屬于地球靜止軌道衛星(同步衛星)。該衛星(

)A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發射速度大于第二宇宙速度D．若發射到近地圓軌道所需能量較少答案解析4．(2021·八省聯考福建卷)人造地球衛星的軌道可近似為圓軌道。下列說法正確的是(

)A．周期是24小時的衛星都是地球同步衛星B．地球同步衛星的角速度大小比地球自轉的角速度小C．近地衛星的向心加速度大小比地球兩極處的重力加速度大D．近地衛星運行的速率比地球表面赤道上的物體隨地球自轉的速率大答案解析5．(2021·浙江省寧波市慈溪市高三上適應性測試)中國首個火星探測器“天問一號”于2020年7月23日發射升空，計劃飛行約7個月抵達火星。若已知火星半徑為地球半徑的一半、質量為地球的十分之一，則(

)A．此次天問一號的發射速度大于16.7km/sB．火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為∶1C．火星表面處的重力加速度為地球的0.4倍D．天問一號在火星表面環繞飛行時的周期與地球近地衛星的周期相等答案解析解析6．(2020·湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯盟10月聯考)北京時間2019年4月10日晚21點，人類史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質集中于空間一點，其周圍會產生奇異的現象，即在質點周圍存在一個界面——事件視界面，一旦進入界面，即使光也無法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周圍事件視界面看作球面，球面的半徑稱為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400km，地球的第一宇宙速度為7.9km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，光速為3.0×108

m/s，假設地球保持質量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近(

)A．1mm B．1cmC．1m D．1km答案解析7．(2020·廣東省揭陽市高三線上教學摸底)如圖所示，衛星a和b分別在半徑相同的軌道上繞金星和地球做勻速圓周運動，已知金星的質量小于地球的質量，則(

)A．a、b的線速度大小相等

B．a的角速度較大C．a的周期較大

D．a的向心加速度較大答案解析8．(2021·八省聯考廣東卷)2020年12月17日，嫦娥五號成功返回地球，創造了我國到月球取土的偉大歷史。如圖所示，嫦娥五號取土后，在P處由圓形軌道Ⅰ變軌到橢圓軌道Ⅱ，以便返回地球。下列說法正確的是(

)A．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時均超重B．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時機械能相等C．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至P處時速率相等D．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至P處時加速度大小相等答案解析答案解析10．(2020·廣東省潮州市高三下二模)2019年春節期間，中國科幻電影里程碑作品《流浪地球》熱播，影片中為了讓地球逃離太陽系，人們在地球上建造特大功率發動機，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過程可設想成如圖所示，地球在橢圓軌道Ⅰ上運行到遠日點B變軌，進入圓形軌道Ⅱ，在圓形軌道Ⅱ上運行到B點時再次加速變軌，從而最終擺脫太陽束縛。對于該過程，下列說法正確的是(

)A．沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期B．在軌道Ⅰ上由A點運行到B點的過程，速度逐漸增大C．沿軌道Ⅰ運行時，在A點的加速度大于在B點的加速度D．沿軌道Ⅰ運動至B點時，需向前噴氣減速才能進入軌道Ⅱ答案解析11．(2021·八省聯考湖南卷)在“嫦娥五號”任務中，有一個重要環節，軌道器和返回器的組合體(簡稱“甲”)與上升器(簡稱“乙”)要在環月軌道上實現對接，以便將月壤樣品從上升器轉移到返回器中，再由返回器帶回地球。對接之前，甲、乙分別在各自的軌道上做