第六節(jié)高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意義通量與散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意義環(huán)流與旋度五、作業(yè)第六節(jié)高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式一、高斯公式定理一、高斯公式定理證明思路與格林公式的證明思路類似只證明：R關(guān)于x，y的曲面積分等于相應(yīng)的三重積分（其余類似可證）對空間區(qū)域進行分類：（1）區(qū)域由上下兩片和垂直于xoy面的柱面圍成（2）區(qū)域為單連通區(qū)域（3）區(qū)域為多連通區(qū)域證明思路與格林公式的證明思路類似先證明：先證明：證明證明根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件同理可證：高斯（Gauss）公式所以：同理可證：高斯（Gauss）公式所以：Gauss公式的實質(zhì)

表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知Gauss公式的實質(zhì)表達了空間閉區(qū)域上的三重使用Gauss公式時應(yīng)注意:使用Gauss公式時應(yīng)注意:Guass公式應(yīng)用之一:簡化曲面積分計算解(利用柱面坐標得)課本例2注：對稱性+截面法更簡單，自己練習(xí)！Guass公式應(yīng)用之一:簡化曲面積分計算解(利用柱面坐標得)添加曲面（取下側(cè)）使之封閉，在閉區(qū)域上使用高斯公式。對新添加之曲面（實為平面），用“一投、二代、三定號”的基本方法計算其曲面積分.課本例3，07期末題添加曲面（取下側(cè)）使之封閉，在閉區(qū)域上課本例3，07期末題高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件增加課本例4?增加課本例4?試題鏈接：上一節(jié)例3試題鏈接：上一節(jié)例3高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件課本例5課本例5解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件故所求積分為故所求積分為Gauss公式的應(yīng)用之二：體積公式提示：課本例1Gauss公式的應(yīng)用之二：體積公式提示：課本例1二、高斯公式物理意義--通量與散度1.通量的定義:二、高斯公式物理意義--通量與散度1.通量的定義:2.散度的定義:物理意義：通量對體積的變化率，稱為通量密度.2.散度的定義:物理意義：通量對體積的變化率，稱為通量密度散度在直角坐標系下的形式積分中值定理兩邊取極限,散度在直角坐標系下的形式積分中值定理兩邊取極限,高斯公式可寫成高斯公式右端：單位時間內(nèi)離開區(qū)域的流體總質(zhì)量(流量).高斯公式左端：區(qū)域內(nèi)源頭在單位時間所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值.高斯公式可寫成高斯公式右端：單位時間內(nèi)離開區(qū)域的高斯公式左端小結(jié)應(yīng)用的條件物理意義高斯公式的實質(zhì)高斯公式小結(jié)應(yīng)用的條件物理意義高斯公式的實質(zhì)高斯公式三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則證明如圖是有向曲面的右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分12思路曲面積分二重積分曲線積分1211根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證所以，.同理可證所以，.另一種形式便于記憶形式另一種形式便于記憶形式Stokes公式的實質(zhì):

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形Stokes公式的實質(zhì):表達了有向曲面上的曲簡單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有簡單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件解則解則即即四、斯托克斯公式的物理意義--環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:四、斯托克斯公式的物理意義--環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義利用stokes公式,有2.旋度的定義:利用stokes公式,有2.旋度的定義:高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯公式的向量形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解釋:Stokes公式的物理解釋:解由力學(xué)知道點的線速度為觀察旋度由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系.解由力學(xué)知道點的線速度為觀察旋度由此可看出旋度與旋小結(jié)斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式小結(jié)斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式第六節(jié)高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意義通量與散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意義環(huán)流與旋度五、作業(yè)第六節(jié)高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式一、高斯公式定理一、高斯公式定理證明思路與格林公式的證明思路類似只證明：R關(guān)于x，y的曲面積分等于相應(yīng)的三重積分（其余類似可證）對空間區(qū)域進行分類：（1）區(qū)域由上下兩片和垂直于xoy面的柱面圍成（2）區(qū)域為單連通區(qū)域（3）區(qū)域為多連通區(qū)域證明思路與格林公式的證明思路類似先證明：先證明：證明證明根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件同理可證：高斯（Gauss）公式所以：同理可證：高斯（Gauss）公式所以：Gauss公式的實質(zhì)

表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知Gauss公式的實質(zhì)表達了空間閉區(qū)域上的三重使用Gauss公式時應(yīng)注意:使用Gauss公式時應(yīng)注意:Guass公式應(yīng)用之一:簡化曲面積分計算解(利用柱面坐標得)課本例2注：對稱性+截面法更簡單，自己練習(xí)！Guass公式應(yīng)用之一:簡化曲面積分計算解(利用柱面坐標得)添加曲面（取下側(cè)）使之封閉，在閉區(qū)域上使用高斯公式。對新添加之曲面（實為平面），用“一投、二代、三定號”的基本方法計算其曲面積分.課本例3，07期末題添加曲面（取下側(cè)）使之封閉，在閉區(qū)域上課本例3，07期末題高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件增加課本例4?增加課本例4?試題鏈接：上一節(jié)例3試題鏈接：上一節(jié)例3高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件課本例5課本例5解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件故所求積分為故所求積分為Gauss公式的應(yīng)用之二：體積公式提示：課本例1Gauss公式的應(yīng)用之二：體積公式提示：課本例1二、高斯公式物理意義--通量與散度1.通量的定義:二、高斯公式物理意義--通量與散度1.通量的定義:2.散度的定義:物理意義：通量對體積的變化率，稱為通量密度.2.散度的定義:物理意義：通量對體積的變化率，稱為通量密度散度在直角坐標系下的形式積分中值定理兩邊取極限,散度在直角坐標系下的形式積分中值定理兩邊取極限,高斯公式可寫成高斯公式右端：單位時間內(nèi)離開區(qū)域的流體總質(zhì)量(流量).高斯公式左端：區(qū)域內(nèi)源頭在單位時間所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值.高斯公式可寫成高斯公式右端：單位時間內(nèi)離開區(qū)域的高斯公式左端小結(jié)應(yīng)用的條件物理意義高斯公式的實質(zhì)高斯公式小結(jié)應(yīng)用的條件物理意義高斯公式的實質(zhì)高斯公式三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式.

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則證明如圖是有向曲面的右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分12思路曲面積分二重積分曲線積分1211根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證所以，.同理可證所以，.另一種形式便于記憶形式另一種形式便于記憶形式Stokes公式的實質(zhì):

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形Stokes公式的實質(zhì):表達了有向曲面上的曲簡單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有簡單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件解則解則即即四、斯托克斯公式的物理意義--環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:四、斯托克斯公式的物理意義--環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義利用stokes公式,有2.旋度的定義:利用stokes公式,有2.旋度的定義:高等數(shù)學(xué)9-6高斯公式與斯托克斯公式課件斯托克斯公式