易錯疑難集訓(一)集訓易錯點1求軌跡方程時忽略題中的限制條件1.已知△ABC的頂點A(?5,0),B(5,0),且△ABC的內切圓的圓心M在直線x=3上,求頂點C的軌跡方程.答案

易錯點1求軌跡方程時忽略題中的限制條件

答案

【方法總結】動點軌跡問題的解題方法(1)直譯法:一般步驟為①建系,建立適當的坐標系;②設點,設軌跡上的任一點P(x,y);③列式,列出動點P所滿足的關系式;④代換,依條件式的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x,y的方程式,并化簡;⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.(2)定義法:先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.(3)代入法(相關點法):動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而變化,并且點Q又在某已知曲線上,則可先用x,y的代數式表示x0,y0,再將x0,y0代入已知曲線整理可得出要求的軌跡方程.(4)參數法:當動點P(x,y)坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將x,y均用一中間變量(參數)表示,得參數方程,再消去參數得普通方程.易錯點2忽略橢圓、雙曲線定義中的限制條件3.已知F1,F2是兩個定點,且|F1F2|=2a(a是大于0的常數),動點P滿足|PF1|+|PF2|=a2+1,則動點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.橢圓或線段 D.直線答案3.C

因為a2+1≥2a(當且僅當a=1時,等號成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.當a≠1時,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此時動點P的軌跡是橢圓;當a=1時,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此時動點P的軌跡是線段F1F2,故選C.易錯點2忽略橢圓、雙曲線定義中的限制條件4.若一個動點P(x,y)到兩個定點F1(?1,0),F2(1,0)的距離之差的絕對值為定值m(0≤m≤2),求動點P的軌跡方程.答案

易錯點3求橢圓或雙曲線的標準方程時忽略焦點的位置

答案

易錯點3求橢圓或雙曲線的標準方程時忽略焦點的位置

答案

易錯點4忽略橢圓或雙曲線中某些量的取值范圍

答案

易錯點4忽略橢圓或雙曲線中某些量的取值范圍

答案

專項拓展訓練1橢圓、雙曲線的離心率的有關問題專項1答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案

課時1拋物線及其標準方程第三節拋物線教材必備知識精練知識點1拋物線的定義1.[2022河北石家莊二中高二上期中]已知點F(1,0),直線l:x=?1,點B是l上的動點.若過點B且垂直于y軸的線與線段BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是(

)A.雙曲線

B.橢圓C.圓

D.拋物線答案1.D

連接MF.由垂直平分線性質知|MB|=|MF|,即點M到定點F的距離與它到直線l的距離相等,因此,點M的軌跡是拋物線.故選D.知識點1拋物線的定義

答案

知識點1拋物線的定義3.(1)求到點A(2,0)的距離等于到直線x=2的距離的動點P的軌跡方程;(2)平面上動點P到定點F(1,0)的距離比點P到y軸的距離大1,求動點P的軌跡方程.答案

方法二

由于點F(1,0)到y軸的距離為1,所以當x<0時,直線y=0上的點滿足題意;當x≥0時,已知條件等價于點P到點F(1,0)的距離與其到直線x=?1的距離相等,所以點P的軌跡是以點F為焦點,直線x=?1為準線的拋物線,方程為y2=4x.于是動點P的軌跡方程為y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程

答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程

答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程

答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程

答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程8.[2022重慶九校聯盟高二上聯考]已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點M(4,y0)為C上一點,若|MF|=2y0,則C的準線方程為(

)A.x=?2

B.y=?2C.x=?3

D.y=?3答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程

答案

知識點2拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程10.根據下列條件寫出拋物線的標準方程:(1)經過點(?3,?5);(2)焦點為直線x?2y?4=0與坐標軸的交點.答案

知識點3利用拋物線的定義求與距離有關的最值

答案

知識點3利用拋物線的定義求與距離有關的最值

答案

知識點3利用拋物線的定義求與距離有關的最值13.[2022黑龍江雞西密山一中高二上期中]已知點P為拋物線y2=16x上的一個動點,設點P到拋物線準線的距離為d,點Q(0,3),則|PQ|+d的最小值為

.

答案

知識點3利用拋物線的定義求與距離有關的最值14.[2021福建福州一中調考]設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦點.(1)若點P到直線x=?1的距離為d,A(?1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

答案

學科關鍵能力構建答案1.[2022北京八十中高二上期中]已知mn≠0,則方程mx2+ny2=1與mx+ny2=0在同一坐標系內表示的曲線可能是(

)

答案

3.(多選)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,設l與x軸的交點為K,P為C上異于O的任意一點,P在l上的射影為E,∠EPF的外角平分線交x軸于點Q,過Q作QM⊥PF于點M,過Q作QN⊥PE交線段EP的延長線于點N,則(

)

A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|答案3.ABD

由拋物線的定義知A正確;因為∠FQP=∠QPN=∠QPF,所以|PF|=|QF|,B正確;由題意知四邊形QKEN為矩形,所以|PN|=|NE|?|PE|=|QK|?|FQ|=|KF|,D正確;顯然當PF⊥x軸時,F,M重合,|PN|≠|MF|,C錯誤.

【名師點評】解決此類問題的關鍵是利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相互轉化.

A?焦點坐標為(1,0),準線方程為x=?1.B√C√D√答案4.BCD

答案

6.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則拋物線C的方程為(

)A.y2=4x或y2=8x

B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x答案

答案

答案

9.已知點M(20,40),拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F.若對于拋物線上的任意點P,|PM|+|PF|的最小值為41,則p的值為

.

答案

答案

答案

課時2拋物線的簡單幾何性質第三節拋物線教材必備知識精練知識點1拋物線的幾何性質及其應用1.以x軸為對稱軸,頂點為坐標原點,焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是(

)A.y2=8x

B.y2=?8x

C.y2=8x或y2=?8x

D.x2=8y或x2=?8y答案

知識點1拋物線的幾何性質及其應用2.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓C:(x+1)2+(y?2)2=9相切,則p=(

)A.2 B.4C.8 D.16答案

知識點1拋物線的幾何性質及其應用

答案

知識點1拋物線的幾何性質及其應用4.已知拋物線的離心率為e,焦點為(0,e),則拋物線的標準方程為

.

答案4.x2=4y

解析由e=1,得焦點為(0,1),所以拋物線的標準方程為x2=4y.知識點1拋物線的幾何性質及其應用5.[2022天津一中高二上期中]已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為x=?1.若M為C上的一個動點,N(3,0),則|MN|的最小值為

.

答案

知識點1拋物線的幾何性質及其應用

答案

知識點2直線與拋物線的位置關系7.已知拋物線的方程為y2=8x,若過點Q(?2,0)的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(

)A.[?1,1]B.[?1,0)∪(0,1]C.(?∞,?1]∪[1,+∞)D.(?∞,?1)∪(1,+∞)答案7.A

由題意知,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+2),代入拋物線方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2?8)x+4k2=0.當k=0時,顯然滿足題意;當k≠0時,Δ=(4k2?8)2?4k2·4k2=64(1?k2)≥0,解得?1≤k<0或0<k≤1.綜上,?1≤k≤1,選A.知識點2直線與拋物線的位置關系

答案

知識點2直線與拋物線的位置關系

答案

知識點2直線與拋物線的位置關系[變式][2022江蘇南通如東高二上期中]已知O為坐標原點,A,B為拋物線y2=2px(p>0)上異于點O的兩個動點,且∠AOB=90°.若點O到直線AB的距離的最大值為8,則p的值為

.

答案[變式]4

解析由拋物線的兩垂直弦的性質,可得直線AB恒過定點(2p,0),所以當直線AB垂直于x軸時,點O到直線AB的距離最大,為2p,則2p=8,得p=4.知識點2直線與拋物線的位置關系10.[2022陜西西安長安一中高二上期中]已知點M(?1,1)和拋物線C:y2=4x,過拋物線C的焦點有斜率存在且不為0的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則直線AB的方程為(

)A.2x?y?2=0

B.x?y?1=0C.2x+y?2=0

D.x+y?1=0答案

知識點2直線與拋物線的位置關系11.(多選)[2022山東高二“山東學情”期中聯考]已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4,直線l過點F且與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若M(m,2)是線段AB的中點,則(

)A.p=4 B.拋物線的方程為y2=16xC.直線l的方程為y=2x?4 D.|AB|=10答案

知識點2直線與拋物線的位置關系

答案

知識點3拋物線的焦點弦

答案

知識點3拋物線的焦點弦

答案

知識點3拋物線的焦點弦15.[2022河北徐水綜合高級中學高二上月考]已知拋物線y2=8x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,若|AF|=6,則|BF|=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

知識點3拋物線的焦點弦

答案

知識點3拋物線的焦點弦17.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于M,N兩點(M,N的橫坐標不相等),弦MN的垂直平分線交x軸于點H,若|MN|=40,則|HF|=(

)A.14 B.16 C.18 D.20答案

知識點3拋物線的焦點弦18.已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為

.

答案18.2

解析由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|?2=|AB|?2.依據拋物線定義知,當AB為通徑,即|AB|=2p=4時,|AB|取最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.

【歸納總結】拋物線過焦點的弦中,通徑最短,為2p.知識點3拋物線的焦點弦19.已知拋物線E:y2=12x的焦點為F,準線為l,過F的直線m與E交于A,B兩點,過A作AM⊥l,垂足為M,AM的中點為N,若AM⊥FN,則|AB|=

.

答案

知識點3拋物線的焦點弦20.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,引兩條互相垂直的弦AC和BD,求四邊形ABCD面積的最小值.答案

知識點3拋物線的焦點弦21.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,AB為拋物線C過焦點F的弦.已知以AB為直徑的圓D與l相切于點(?1,0).(1)求p的值及圓D的標準方程;(2)設M為l上任意一點,過點M作C的切線,切點為N,證明:MF⊥NF.答案

知識點4拋物線的實際應用22.[2022湖南師范大學附屬中學高二上期中]蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑,“門”的造型是“東方之門”的立意基礎,“門”的內側曲線是拋物線的一部分,如圖1.兩棟建筑之間有一條長60m的連橋AB,在該拋物線兩側距連橋150m處各有一窗戶,兩窗戶的水平距離|CD|=30m,如圖2.則此拋物線頂點O到連橋AB的距離為(

)A.180mB.200mC.220m D.240m答案

知識點4拋物線的實際應用

答案

學科關鍵能力構建答案1.已知等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△AOB的面積是(

)A.8p2 B.4p2 C.2p2

D.p2

2.拋物線上任意兩點A,B處的切線交于點P,稱△PAB為“阿基米德三角形”,當線段AB經過拋物線的焦點F時,△PAB具有以特征:①點P必在拋物線的準線上;②PF⊥AB.若經過拋物線y2=4x的焦點的一條弦為AB,“阿基米德三角形”為△PAB,且點P的縱坐標為4,則直線AB的方程為(

)A.x?2y?1=0

B.2x+y?2=0C.x+2y?1=0

D.2x?y?2=0答案

答案

4.[2021新高考八省(市)聯考]已知拋物線y2=2px(p>0)上三點A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x?2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為(

)A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0答案

答案

答案

7.在平面直角坐標系中,已知O為坐標原點,點列Pn(8,n),直線系ln:x=n,n∈N*,若直線ln與直線OPn交于點Mn.(1)求證:點Mn在拋物線上,并求出該拋物線的方程;(2)設A,B為(1)中拋物線上兩個不同的點,直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,且(k1+1)(k2+1)=2,證明:直線AB經過定點.

答案

易錯疑難集訓(二)集訓教材易混易錯集訓易錯點1忽視拋物線標準方程的“特征”

答案

易錯點1忽視拋物線標準方程的“特征”2.拋物線的焦點F在x軸上,點A(m,?3)在拋物線上,且|AF|=5,求拋物線的標準方程.答案

易錯點2誤把“非焦點弦”當成“焦點弦”

答案

易錯點3直線與拋物線位置關系考慮不全面致誤4.過定點P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程為

.

答案

易錯點3直線與拋物線位置關系考慮不全面致誤5.平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=?1的距離相等.若機器人能接觸到過點P(?1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是

.答案

常考疑難問題突破疑難點與拋物線有關的最值或取值范圍問題

答案

疑難點與拋物線有關的最值或取值范圍問題

答案

疑難點與拋物線有關的最值或取值范圍問題

答案

疑難點與拋物線有關的最值或取值范圍問題4.如圖,已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點F的直線交拋物線C于A,B兩點,點D為準線l與x軸的交點,則△DAB的面積S的取值范圍為

.答案

專項拓展訓練2與圓錐曲線有關的最值或取值范圍問題專項2答案

答案

答案

答案

【歸納總結】(1)圓錐曲線中最值問題的解決方法一般分兩種:①代數法,從代數的角度考慮,通過建立函數、不等式等模型,利用二次函數或基本不等式、換元法等求最值;②幾何法,從圓錐曲線的幾何性質的角度考慮,根據圓錐曲線的幾何性質求最值.(2)解決圓錐曲線中的取值范圍問題常從以下方面考慮:①利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍;②利用已知參數的范圍求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系;③利用已知或隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍;④建立關于某變量的一元二次方程,利用判別式求參數的范圍;⑤利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍.專項拓展訓練3與圓錐曲線有關的定點、定值或定直線問題專項3答案

答案

答案

答案

專項拓展訓練4圓錐曲線中的探索性問題專項4答案

答案

答案

答案

章末培優專練綜合素養創新應用素養解讀

本章通過對圓錐曲線相關知識的學習,使同學們能夠運用圓錐曲線的定義與簡單幾何性質解決實際問題.過素養部分將圓錐曲線與新定義問題、實際問題結合進行考查,旨在提升同學們的直觀想象、數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養.答案

答案

答案

高考真題同步挑戰答案1.B

連接PF,由題意及拋物線的定義可知|PQ|=|FP|,則△QPF為等腰三角形,故線段FQ的垂直平分線經過點P.故選B.1.[2020北京卷·7,4分]設拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為l,P是拋物線上異于O的一點,過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線(

)A.經過點O

B.經過點PC.平行于直線OP

D.垂直于直線OP考點1圓錐曲線的方程和性質

考點1圓錐曲線的方程和性質答案

考點1圓錐曲線的方程和性質答案

考點1圓錐曲線的方程和性質答案

考點1圓